M. Rbnouvieh, Critique philosophique, t. XI

r.H. IV. — NOMBRES ALGEBRIQUES ET NOMBRES TRANSCENDANTS 129

les nombres rationnels, c'est-à-dire en définitive les nombres entiers, suffisent à tous les besoins du calcul algébrique. A ce point de vue, les nombres transcendants et même irrationnels ne seraient que des symboles d'approximation indéfinie. Les nombres e et *, par exemple, ne seraient rien de plus que les nombres décimaux illimités

dont on peut calculer autant de chiffres décimaux qu'on voudra, de manière à obtenir telle approximation qu'on désire. Même, pour être conséquent avec soi-même et s'en tenir strictement au point de vue purement arithmétique, on pourrait soutenir que le nombre entier est l'unique élément de l'Analyse, et que toutes les formules de cette science expriment en définitive des relations entre des nombres entiers '.

Assurément, c'est là une thèse philosophique parfaitement soutenable, et même logiquement irréfutable. Maison peut voir (Note III) à quelle complication et à quelles difficultés donne lieu cette conception rigoureuse, mais trop étroite, et par quels subterfuges on parvient à éluder la nécessité d'admettre toute autre espèce de nombres que les nombres entiers. On peut dire que Kronecker, en poussant à l'extrême la théorie algébrique du nombre, en a donné la meilleure réfutation, ou plutôt la seule possible, car sa tentative montre que, plus cette théorie est logique, moins elle est rationnelle *. Il répugne à la raison d'admettre que des nombres qui occupent dans la science une place aussi considérable que les nombres e et tt, et sur lesquels s'appuient les formules fondamentales de l'Analyse, ne soient que des symboles d'approximation indéfinie, des nombres décimaux toujours incomplets, de sorte que toutes les formules où ces nombres figurent ne seraient jamais que des vérités inexactes, ou pour mieux dire ne seraient pas vraies. Sans doute, on n'effectue jamais les calculs que sur des nombres entiers ou rationnels, et tout calcul portant sur des nombres irra-

1. Opinion de Lejeune-Dirichmct, rapportée par Dkdkkind, Was sind itnd was solien die Zahlen, p. xi.

2. M. Dedbkihi) (loc. cit.) est beaucoup plus modéré et plus « raisonnable », car, loin de vouloir, comme Kroxecker, se passer de toutes les formes du nombre généralisé et les réduire au nombre entier, il reconnaît que la généralisation du nombre est nécessaire à l'Analyse, et constitue « le progrés le plus important et le plus fécond de la Mathématique •.

tionnels est naturellement approximatif; mais s'il suffît, pour les applications pratiques, de posséder la valeur approchée de ces nombres, la raison mathématique ne s'en contente pas, car c'est leur valeur exacte que Ton considère dans la théorie. Et que l'on ne dise pas que ces nombres n'ont pas de valeur exacte, mais seulement des valeurs plus ou moins approchées, et même indéfiniment approchées; car toute approximation suppose nécessairement un nombre fixe dont on s'approche, et par rapport auquel on peut mesurer le degré d'approximation. On peut ne considérer les nombres e et * que comme des lois d'approximation indéfinie; mais ces lois elles-mêmes ne sont intelligibles que par l'idée d'une valeur exacte qui soit la limite des valeurs de plus eu plus approchées. Ainsi ces dernières impliquent l'existence de cette valeur exacte, loin de la suppléer ou de la supplanter. Le fait même qu'on puisse évaluer ces nombres avec une approximation croissant à l'infini, c'est-à-dire prolonger indéfiniment les nombres décimaux qui les représentent, n'est concevable que si ces nombres sont en eux-mêmes précis et absolument déterminés. C'est ainsi que le nombre décimal indéfini

ne se « comprend » que par le nombre rationnel -» dont il est la

valeur indéfiniment approchée; en général, la loi suivant laquelle se succèdent des chiffres décimaux ne s'explique que parle nombre dont on cherche une représentation décimale approximative. Enfin, les nombres transcendants e et ic sont si peu des nombres décimaux, et il est si peu permis de les confondre avec leurs valeurs approchées, qu'ils jouissent de propriétés originales toutes différentes de celles des nombres rationnels, et même tout à fait opposées. En un mot, s'ils n'étaient rien de plus que des nombres décimaux plus ou moins prolongés, on n'aurait jamais pu démontrer qu'ils sont irrationnels et même transcendants. Il fallait donc que les savants qui ont découvert ces vérités mathématiques en eussent une idée exacte et précise, absolument distincte des approximations qu'on en donne, et qui serve au contraire de base à ces approximations. 16. Une seule objection reste possible : on pourra dire que les nombres transcendants ne sont pas des nombres, mais des symboles de grandeurs; que c et t: représentent des grandeurs exactes, sans doute, mais dont on ne peut jamais trouver qu'une représentation

ff :-