CU. IV. — NOMBRES ALGÉBRIQUES ET NOMBRES TRANSCENDANTS

numérique approchée *. Il ne faut pas dire que les nombres décimaux successifs qui constituent les valeurs de plus en plus approchées de ir, par exemple, s'approchent d'un nombre déterminé qui serait n : ce nombre n'existe pas ; ee qui existe, et ce qui suffit à expliquer l'approximation indéfinie, c'est la longueur de la circonférence de diamètre 1, dont les nombres susdits sont des valeurs approchées ; ou plutôt, dont approchent indéfiniment des périmètres polygonaux mesurés par ces nombres. L'approximation n'a pas lieu dans le domaine du nombre, mais dans celui de la grandeur.

Cette objection enveloppe une idée juste et profonde, à savoir la distinction radicale des deux catégories du nombre et de la grandeur. C'est en effet à cette distinction qu'il faut aboutir, quand on veut rendre raison de la généralisation de l'idée de nombre. Nous avons montré, dans le présent Chapitre, que cette généralisation ne s'explique et ne se justifie pas, tant qu'on se confine dans le domaine du nombre pur et dans les combinaisons arithmétiques et algébriques de nombres entiers. Nous avons été en même temps amené à marquer une séparation profonde entre l'Analyse, d'une part, l'Arithmétique et l'Algèbre, d'autre part. Cette opposition est fondée sur la distinction du nombre et de la grandeur; car l'Analyse est la science des grandeurs f, tandis que l'Arithmétique, généralisée par l'Algèbre pure, est la science du nombre. Nous arrivons donc à cette conclusion, que le domaine de la grandeur dépasse infiniment celui du nombre, et que si l'extension de l'ensemble des nombres entiers a une raison d'être, c'est dans l'application du nombre à la grandeur.

D'ailleurs les nombres transcendants ne sont pas les setiis qui s'expliquent par la considération des grandeurs; toutes les autres espèces de nombres sont dans le même cas, comme nous le verrons dans le Livre suivant. Les iinitistes s'attaquent en général à la « réalité » du nombre irrationnel; mais le nombre rationnel, lui aussi, tire- son origine de la considération de grandeurs divisibles, car l'unité arithmétique est essentiellement indivisible, et l'on n'aurait jamais eu l'idée de la diviser si on ne l'avait employée à la mesure de grandeurs concrètes. Si donc Ton ne veut pas reconnaître les nombres transcendants pour des nombres, on doit en

1. Cette thèse, ruineuse pour le finitisme, a été soutenue par M. Rbxoi'vieh, Critique philosophique, t. X!.