CRITIQUE DE LA GÉNÉRALISATION ALGÉBRIQUE

1. Malgré son étroitesse et son insuffisance, la généralisation algébrique du nombre, que nous venons de développer, paraît encore plus satisfaisante pour l'esprit que la théorie analytique et formaliste exposée au Livre I. Mais si elle est plus concrète et moins arbitraire que celle-ci, elle est en revanche moins rigoureuse et plus détournée. Elle a, il est vrai, l'avantage d'une parfaite symétrie; mais cette symétrie est artificielle : car si, pour les nombres négatifs et imaginaires, elle se rapproche de leur genèse historique en les présentant comme solutions des équations du premier et du second degré, la même conception s'applique malaisément aux nombres fractionnaires et irrationnels, dont l'origine naturelle n'est pas algébrique, mais en réalité intuitive. Nous ne parlons pas des distinctions que cette théorie établit parmi les nombres irrationnels, en justifiant les nombres algébriques et en excluant les nombres transcendants : nous avons suffisamment insisté sur ce point dans le dernier Chapitre, et nous avons montré que la conception purement algébrique du nombre laisse échapper, non seulement l'immense majorité des nombres irrationnels, mais, ce qui est plus grave, les plus importants d'entre eux et les plus nécessaires à l'Analyse. Nous ajouterons seulement que cette distinction si tranchée entre les nombres algé-

briques et les nombres transcendants est factice et superficielle : elle ne correspond pas à la nature intrinsèque de ces nombres, mais à la forme algébrique de leurs relations, qui est, au fond, accidentelle. Elle a sans doute une valeur relative en Algèbre pure; mais elle n'a aucune raison d'être en Analyse, où tous les nombres réels sont admis au même titre, figurent sur le même plan et possèdent la même « réalité ».

2. Nous passons donc condamnation sur ce grief, si sérieux qu'il soit au point de vue de la Mathématique générale, parce qu'il est fondé sur des considérations étrangères à l'Algèbre; nous nous placerons désormais, pour juger la théorie purement algébrique du nombre, à son propre point de vue, et nous nous déclarerons satisfait si elle réussit à rendre compte de l'ensemble des nombres algébriques. Il faut à présent examiner le principe même de cette théorie, et en rechercher le fondement rationnel ou philosophique. Or, pour justifier l'introduction des racines « imaginaires » * des équations algébriques, on a invoqué des raisons d'analogie, de symétrie, de généralité surtout. 11 s'agit de préciser ces raisons un peu vagues, et d'en apprécier la valeur et la légitimité au point de vue strictement algébrique, dont on ne doit jamais se départir dans toute cette théorie. Remarquons tout de suite que nous ne remettons pas en question la valeur logique de cette généralisation, qui a été établie et discutée précédemment [Livre II, Chap. i, 6-8, et n, 6] ; nous n'avons garde de lui imputer ni confusion ni contradiction. C'est de sa valeur rationnelle que nous nous occupons maintenant, c'est-à-dire du degré de simplicité, d'ordre et d'unité qu'offre cette conception. Il est entendu qu'on peut logiquement construire l'ensemble des nombres algébriques au moyen des seuls nombres entiers et des opérations de l'Arithmétique ; mais il reste à savoir s'il y a une raison suffisante de le faire, et l'on peut se demander quelle est la nécessité rationnelle, quelle est même l'utilité de ces nouveaux nombres, puisqu'en définitive le nombre entier seul aune valeur primitive et une essence irréductible.

3. On a vu que tous les nombres algébriques (autres que les nombres entiers) sont à l'origine des symboles d'impossibilité arithmétique, et s'introduisent comme racines « imaginaires» des équations

1. Nous prendrons ce mot, dans tout ce Chapitre, avec le sens général que nous lui avons donné [Livre II, Chap. h] à l'exemple d'Argand; mais pour éviter toute confusion, nous le mettrons toujours, dans ce sens, entre guillemets.

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algébriques à coefficients entiers. Prenons pour exemple le nombre négatif; en vertu même de l'analogie (naturelle ou factice, peu importe) que la théorie établit entre les diverses formes généralisées du nombre, ce que nous dirons de celle-ci vaudra, mutatismutandis, pour toutes les autres.

On est amené, avons-nous dit, à créer les nombres négatifs, à cause de l'indétermination des lettres qui figurent dans l'équation algébrique du premier degré

d'où Ton tire la formule de résolution

qui est la solution générale de l'équation littérale (i). Or les lettres a et by en vertu de leur indétermination, peuvent recevoir, chacune séparément, toutes les valeurs numériques entières. Mais la formule (2) n'a de sens arithmétique, et par suite l'équation (i) n'a de racine, que si ces valeurs numériques vérifient l'inégalité

(Test pour fjénvraliser, comme on dit, la solution (2), c'est-à-dire pour que l'équation (!) ait dans tous les cas une racine arithmétique, que l'on convient de considérer l'expression (a — b) comme un nombre, même lorsque l'on a

et de dire que ce nouveau nombre vérifie l'équation (1). Telle est Ja justification algébrique du nombre négatif; quelle en est la valeur rationnelle?

4. Rappelons tout d'abord qu'une équation quelconque n'est que la traduction en lettres et en signes d'un problème à résoudre ou, plus exactement, des relations qui unissent des nombres inconnus à des nombres connus, et qui permettent, en général, de déterminer les premiers en fonction des derniers. 11 faut bien se garder de faire de l' « équation algébrique » une entité mystérieuse, un être mythologique qui, comme le Sphinx antique, exigerait à tout prix une solution. Une équation n'a de sens que si elle correspond à un problème déterminé, et sa racine n'a de signification que comme réponse à ce problême. Si l'équation traduit exactement les conditions du problème (ce qui, comme on sait, n'est pas toujours le cas), le problème sera possible si l'équation a une racine, impossible si

elle n'en a pas. L'équation considérée (1) n'est donc que la traduction d'un problème, quand ce ne serait que celle question d'Arithmétique élémentaire (problème de la soustraction) : Quel est le nombre qui, ajouté au nombre entier b, reproduit le nombre entier a? Or ce problème n'est possible que si le nombre donné a est plus grand que le nombre donné b; l'équation numérique qui le traduit n'a de solution que dans ce cas, et il n'y a aucun intérêt à lui attribuer une racine, quand elle ne peut et ne doit en avoir aucune.

5. On invoque ici, il est vrai, l'indétermination propre aux formules littérales, qui fait qu'on ne sait pas à l'avance si le nombre a sera effectivement plus grand que le nombre 6, et qu'on indique à tout hasard la soustraction (a — b) qui sera peut-être impossible, mais qui, si elle est possible, répondu la question. — Mais cette indétermination n'est qu'apparente, chaque lettre représentant nécessairement un nombre qui sera tôt ou tard déterminé; et la formule

n'est qu'une solution hypothétique de l'équation

Elle aura un sens dans le cas où l'équation sera possible; elle n'aura pas de sens si l'équation est impossible. L'indétermination provisoire des leltrcs ne fait donc que reculer le moment « critique » ; elle ne permet pas de l'éluder. On peut toujours, en attendant que les nombres a et b soient donnés, metlre l'équation (1) sous Ja forme explicite (2); mais ce qu'on ne pourra jamais, c'est tirer une solution numérique de la formule (2) quand l'équalion (4) n'en comporterait aucune. Que l'on considère l'équation (1) ou la formule équivalente (2), il faudra toujours y substituer finalement aux lettres des valeurs numériques déterminées, et alors apparaîtra l'impossibilité du problème, différée, mais non supprimée. Encore une fois, on ne voit pas quelle utililé il y a à attribuer un sens numérique à une expression algébrique dans le cas où elle n'en a aucun; il n'y a pas de raison pour ériger en nombre le résultat d'une opération impossible, puisque ce nombre lui-même ne peut être qu'un symbole d'impossibilité.

6. Éclaircissons ces considéralions par un exemple exlrêmement simple, pour ne pas dire enfantin; mais ce qui est vrai du problème que nous allons énoncer pourrait s'appliquer aux problèmes les plus difficiles, et les raisonnements que nous faisons sur l'équation du

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premier degré se répéteraient sur les équations algébriques de degré quelconque. Supposons que Pierre nous ait dit que Paul a 25 ans, et qu'il ajoute, dans la conversation : « J'aurai son âge (actuel) dans 5 ans ». Nous en concluons, par un calcul mental instantané, que Pierre a aujourd'hui 20 ans. Qu'avons-nous fait? Nous avons résolu l'équation du premier degré

x -+- 5 ~ 25 et nous en avons tiré :

X rrr 25 — 5 = 20.

Supposons à présent que Pierre nous ait dit (toujours dans la même hypothèse) : « J'aurai son âge dans 30 ans ». Immédiatement,, un raisonnement presque intuitif nous montre que ces paroles n'ont aucun sens, et que, par un lapsus linguœ ou par étourderie, Pierre a énoncé une absurdité. Pourquoi? Parce que l'équation qui traduit ce nouveau problème :

est impossible, c'est-à-dire qu'il n'y a aucun nombre entier qui la vériûe. Que si, en appliquant machinalement la formule de résolution

on essaie de soustraire 30 de 25, on est aussitôt arrêté par une impossibilité arithmétique qui nous avertit, au cas où nous ne l'aurions pas prévu, que le problème n'a pas de solution. Que gagnerait-on à dire, dans ce cas, que (25 — 30) est encore un nombre, à savoir le nombre négatif — 5, et que ce nombre est la racine de l'équation? Ce n'en serait pas moins, a l'égard du problème considéré, une solution absurde, un symbole d'impossibilité. Quel avantage y a-t-il à généraliser la solution des équations algébriques et à leur attribuer des racines « imaginaires », si les problèmes que traduisent ces équations ne sont pas moins insolubles qu'auparavant? Le bénéfice d'une telle généralisation est absolument illusoire.

7. Ainsi, au point de vue purement arithmétique, les raisons alléguées pour justifier les nombres algébriques à titre de racines « imaginaires » n'ont aucune valeur !. Invoquera- t-on la généralité

4. Seule la théorie de Khomsckkr, qui se propose d'éviter loui concept étranger à PArilhméliquc pure el prétend se passer de tout autre nombre que le nombre entier, est parfaitement conséquente, et c'est pourquoi nous avons cru devoir

essentielle à l'Algèbre? Mais cette généralité n'est qu'un leurre, puisqu'au point de vue arithmétique toutes les racines « imaginaires » ue sont que des symboles d'impossibilité. Dira-t-on que V analogie exige la création de ces nouveaux nombres, parce qu'ils résultent des mêmes formules littérales que les nombres « réels »*? Mais quelle analogie peut-il exister entre des solutions numériques vraies et des solutions qui n'en sont pas, entre les résultats d'opérations possibles et les prétendus résultats d'opérations impossibles? N'oublions pas, en effet, que les expressions littérales telles que (a — b)t (a : b)y etc., n'ont qu'une valeur conditionnelle, que leur indétermination n'est que provisoire, et que sous une forme identique elles traduisent à la fois les cas de possibilité et d'impossibilité d'un problème concret. Or, s'il faut toujours en lin de compte en tirer une valeur numérique, et s'il n'existe primitivement et à proprement parler que les nombres entiers, ces formules ne répondent au problème que si elles représentent un nombre entier; dans tout autre cas, elles ne signifient plus rien et ne peuvent être considérées comme des solutions véritables. Allèguera-t-on enfin la symétrie que ces symboles conventionnels introduisent dans les propriétés des équations algébriques, par exemple dans celte proposition capitale, d'une simplicité lumineuse : « Toute équation algébrique de degré n a t racines réelles ou imaginaires»? Mais n'est-ce pas un mathématicien qui a blâmé « ceux qui font de fausses fenêtres pour la symétrie * »? Or c'est bien ce qu'on fait quand on assimile des solutions a imaginaires » ou « fausses » aux solutions « réelles » et « vraies ». La symétrie qu'on obtient au moyen de ces fictions est un véritable trompe-l'œil, et la prétendue simplicité que l'on confère ainsi aux propositions de l'Algèbre n'est qu'une manière abrégée de parler, ou plutôt un abus de langage, une espèce de jeu de mots. Il n'est même pas certain que dans tous les cas le discours y gagne en brièveté ce que la science paraît perdre en logique et en clarté. Par exemple, au lieu de dire que l'équation générale du second degré à coefficients réels

a.v* -+- bx H- c --- 0

lui consacrer la Note III; mais nous avons montré en même temps combien elle est peu satisfaisante au point de vue rationnel.

i. Par exemple (a — 6) peut représenter indiffère ni ment un nombre négatif ou un nombre positif; (a : b) peut être aussi bien un nombre fractionnaire qu'un nombre entier, etc.