Pascal, Pensées, Vil, 22, éd. Havet

Cil. I. — CRITIQUE DE LA GÉNÉRALISATION ALGÉBRIQUE 139

a deux racines réelles et inégales quand [II, ni, 14, note]

b* — Âac > 0, deux racines réelles et égales quand

bl — Aac = 0, deux racines imaginaires conjuguées quand

/,* \ac < 0,

il serait à la fois plus 6imple et plus raisonnable de dire qu'elle a deux racines dans le premier cas, une racine dans le second, et aucune dans le dernier. En tout cas, il ne faut voir dans les expressions citées plus haut qu'une uniformité absolument factice, une convention plus ou moins commode, mais arbitraire et purement verbale. Concluons donc qu'au point de vue de l'Algèbre pure les nombres algébriques eux-mêmes ne sont pas suffisamment justifiés, et que leur introduction dans l'Arithmétique générale n'a pas de raison d'être.

8. On pourrait encore faire appel, pour expliquer la création des nombres algébriques, et notamment des racines imaginaires, à de vagues notions d'harmonie, à un besoin mystérieux de continuité. Pour reprendre l'exemple précédent, on dira que l'équation du second degré a toujours deux racines, afin de relier entre eux, par une sorte de continuité, les trois cas spécifiés plus haut. On peut considérer, en particulier, le second cas, où il n'y a qu'une racine, comme la limite du premier, où il y a deux racines distinctes : car ces deux racines se rapprochent de plus en plus quand la quantité positive (bl — Aac) diminue et tend vers zéro, et elles se confondent quand cette quantité s'annule, de sorte qu'on peut dire qu'elles sont encore deux, mais égales.

Mais ce sont là des considérations d'Analyse, étrangères à l'Algèbre pure. En effet, c'est en Analyse seulement, et une fois qu'on a construit l'ensemble complet des nombres réels, que l'on peut parler de la variation continue d'une quantité numérique, et dire qu'elle tend vers une limite déterminée. Or il s'agit précisément de savoir si l'on peut constituer cet ensemble avec des notions de pure Arithmétique, et nous savons déjà que l'ensemble des nombres algébriques (en le supposant parfaitement justifié) n'y suffirait même pas. En Algèbre, où, comme nous l'avons dit [11, iv, 6], on envisage le nombre sous la forme statique, on ne peut passer par continuité de l'un à l'autre des cas considérés. Les trois nombres a, />, c étant donnés fixes, la

quantité (bl — Âuc) est ou n'est pas nulle : il n'y a pas de milieu; ce n'est qu'en Analyse qu'on peut dire qu'elle devient nulle. Si elle n'est pas nulle (positive) il y a deux racines; si elle est nulle, il n'y a qu'une racine; il n'y a pas de transition possible entre ces deux cas, Quant à prétendre que les deux racines du premier cas viennent coïncider et se confondre dans l'unique racine du second cas pour se séparer de nouveau dans le troisième cas en devenant imaginaires, une telle conception est contraire à l'esprit de l'Algèbre, et n'a pas de sens au point de vue purement arithmétique l.

9. Le raisonnement que nous venons de faire sur un exemple particulier pourrait se répéter au sujet de toute espèce de nombres algébriques. En général, le principe de continuité n'a pas de place en Algèbre, et ne peut pas être invoqué pour justifier la généralisation algébrique du nombre. Non seulement la continuité n'est nullement nécessaire aux spéculations de l'Arithmétique générale, mais elle répugne à l'esprit de cette science et à la nature même du nombre. Le nombre, en effet, est essentiellement discontinu, ainsi que presque toutes ses propriétés arithmétiques2; or les lettres et les formules de l'Algèbre pure ne représentent jamais que des nombres, et spécialement des nombres entiers ou des combinaisons arithmétiques des nombres entiers. On ne peut donc imposer la continuité aux fonctions algébriques, si compliquées qu'elles soient, puisque le nombre entier, qui en fournit tous les éléments, est discontinu, et « saute » en quelque sorte d'une valeur à l'autre sans transition possible :>. Ainsi, loin que le principe de continuité puisse

1. On dira peut-être que le trinôme du second degré, qui forme le premier membre de l'équation, est dans le second cas un carré parfait, c'est-à-dire le carré du binôme du premier degré (x — a), de sorte que l'équation, mise sous la forme

a deux racines, qui correspondent respectivement aux deux binômes en lesquels son premier membre se décompose. Mais ces deux racines sont indiscernables et n'en sont qu'une, à savoir la racine de l'équation du premier degré

Peu importe combien de fois le binôme (.*• — a) se trouve répété comme facteur dans le premier membre d'une équation : celui-ci ne s'annulera toujours qu'une fois pour x-a. Tout ce qu'on peut dire, c'est que l'équation du second degré admet alors une racine double a, le mot « double » n'ayant pas d'autre but que d'indiquer la puissance a laquelle le binôme {x — a) entre dans le premier membre. U n'en est pas moins vrai que le nombre a est le seul qui annule ce premier membre, et constitue par suite la racine unique de cette équation.

2. Cf. Colknot, Correspondance entre VAlgèhrc et la Géométrie, chap. u, n6 16.

3. Cela ne contredit nullement celte proposition d'Analyse, à savoir que le»