CU. I. — CRITIQUE DE LA GÉNÉRALISATION ALGEBRIQUE

servir à généraliser la solution des équations algébriques et à franchir la barrière qui sépare les racines réelles des racines imaginaires par l'intermédiaire des racines égales, il devrait plutôt rendre suspecte une telle généralisation, car, appliqué à la notion de nombre, il ne peut que la fausser, en y introduisant de force une idée qui est contraire, sinon contradictoire à son essence.

10. Toutes les considérations que nous venons d'exposer et d'écarter ont un caractère plus ou moins rationnel et philosophique. Mais il y a beaucoup de mathématiciens à l'esprit pratique qui ont essayé de justifier a posteriori les nombres « imaginaires » par des arguments purement empiriques et de fait. Us se contentent d'invoquer l'utilité de ces nombres dans les calculs, à titre d'intermédiaires commodes entre les nombres « réels » tant donnés qu'à trouver. Nous demandions plus haut : A quoi sert d'introduire dans le calcul des fictions ou des non-sens, puisque finalement leur absurdité doit apparaître? Les savants dont nous parlons nous répondraient : À découvrir et à démontrer des propriétés des nombres « réels », pourvu que les symboles « imaginaires » disparaissent du résultat final '. On peut d'ailleurs, dans certains cas, vérifier les propriétés ainsi obtenues en les retrouvant par une autre voie, sans recourir à l'emploi des symboles « imaginaires ». On en conclut que cet emploi est non seulement utile, mais parfaitement légitime.

11. À cela on pourrait d'abord répondre que l'emploi des symboles « imaginaires » dans le calcul n'est nullement justifié par cette vérification de fait, attendu qu'elle n'est possible que dans certains cas : on ne peut conclure de ces cas spéciaux à tous les autres cas

fonctions algébriques sont en général continues : car ou suppose alors que la variable prend successivement toutes les valeurs réelles, et varie elle-même d'une manière continue.

1. Codrnot donne, dans sa Correspondance entre V Algèbre et la Géométrie (chap. iv, n* 31 j, un exemple aussi remarquable que simple de cet emploi des imaginaires en Arithmétique pure. Soient a et // deux nombres entiers. On sait qu'une puissance entière quelconque d'un nombre imaginaire est un nombre imaginaire de même forme; donc

(a + bï** - A + Bi,

A et B étant des nombres entiers. Changeons le signe de i dans cette égalité, il vient :

(a — Ai)" = A — Bi.

Multiplions membre à membre ces deux égalités: nous trouvons :

(a* + 62)"» = A> + B* (formule purement réelle) d'où Ton conclut ce théorème d'Arithmétique : Toute puissance entière de la somme de deux nombres entiers carrés parfaits est ellemême la somme de deux nombres entiers carrés parfaits.

que par une induction qui peut avoir une certaine valeur, mais qui est assurément étrangère à la méthode rigoureuse des Mathématiques. Bien plus, cette induction n'est pas valable, et Ton ne peut tirer aucune inférence, même simplement probable, du cas où la vérification est possible au cas où elle est impossible : car on peut toujours supposer que si, dans le premier cas, les résultats obtenus au moyen de symboles « imaginaires » sont exacts, c'est sans doute parce que la marche suivie ne fait que répéter, en la déguisant, la méthode rigoureuse par laquelle on vérifierait ces résultats en se passant de ces symboles », de sorte que la première emprunte toute sa valeur à la seconde; donc, si les résultats de la première sont vrais, c'est à la seconde qu'ils le doivent, et par conséquent on ne peut tirer de ce premier cas aucune présomption en faveur des résultats qu'on obtient dans le second cas, où précisément, par hypothèse, la seule méthode valable fait défaut. De toute façon, il faudrait s'interdire l'usage des nombres « imaginaires » dans les calculs, car dans le premier cas il est inutile, et dans le second il est illégitime.

12. Mais admettons que la vérification susdite soit toujours possible, et que l'introduction des symboles « imaginaires » abrège et facilite les calculs, de sorte que, des deux méthodes distinguées plus haut, la première soit plus courte et plus expéditive que la seconde, et qu'il y ait avantage à l'employer dans la pratique, tout en la contrôlant par celle-ci, qui seule peut garantir l'exactitude des résultats. Cette considération justifierait tout au plus les nombres « imaginaires » à titre de moyens auxiliaires et transitoires, mais non comme nombres isolés ni comme racines d'équations algébriques,

1. C'est justement le cas pour un exemple proposé par Calchv (Cours d'Analyse île VÉcole Royale Polytechnique, chap. vu) : a, b, c, d étant des nombres entiers, on forme les produits :

(a + ai) (c + di) = (ac — bd) + i (ad + bc) (a — bi) (c — di) = (ac — bd) — i (ad + bc),

puis on multiplie membre à membre ces deux identités; il vient :

(ai + 6*) (c* + cP; — (ac — M)2 + (ad + bc)*

d'où Ton conclut ce théorème d'Arithmétique :

Le produit de deux nombres entiers dont chacun est la somme de deux carrés est aussi une somme de deux carrés.

Or il est aisé de vérifier cette dernière identité sans recourir aux imaginaires, en effectuant simplement les calculs indiqués. On ne peut donc pas donner la démonstration précédente comme un exemple de l'utilité de l'emploi des imaginaires, encore moins comme une preuve de sa légitimité.

%TïW"-*.

Cn. I. — CRITIQUE DE LA GENERALISATION ALGEBRIQUE 143

en un mot comme résultat final d'un calcul. Par exemple, on peut bien introduire dans le calcul algébrique un binôme symbolique

et convenir de le traiter dans tous les cas comme une différence « réelle », c'est-à-dire lui appliquer les règles suivantes :

De même, on peut ! considérer le symbole j -- a : £ (quand •/

n'est pas divisible par £), comme l'ensemble d'un multiplicateur et d'un diviseur, et convenir de lui appliquer les règles suivantes :

Grâce à ces formules, on pourra lever certaines difficultés pratiques du calcul, et tourner les obstacles nés de l'impossibilité d'une soustraction ou d'une division; mais elles ne sont valables que si le résultat final est « réel », c'est-à-dire est un nombre entier positif. Ainsi l'on pourra écrire :