f- (5 — 7) -- 12 -+- 3 — 7 - 17 — 7 : 10, mais non

car on aboutit à une soustraction impossible. On peut donc admettre. à titre provisoire et pour abréger l'écriture, le symbole ( — 2) au lieu de la différence « imaginaire » (5 — 7), mais sous la réserve expresse que le résultat final devra être positif, le nombre négatif

— 2 n'ayant par lui-même aucun sens. De même, on pourra écrire :

fa X 3 " "T" " T ■ : *'

maïs non

car on aboutit à une division impossible. On peut donc admettre

provisoirement dans le calcul le facteur symbolique ^, mais à la

condition que le résultat final sera un nombre entier, car l'expression

I. Cf. Mêhay, Les fractions cl les quantité* néf/alives | théorie du Tac leur symbolique, citée p. 10, note|.

~Y n'a pas de sens par elle-même. En résumé, on ne parvient pas à

ériger en nombres les symboles transitoires (a — é), (a : b), et à leur attribuer un sens et une valeur propres et définitifs. On n'obtient donc par là aucune extension de l'ensemble des nombres entiers.

13. On raisonnerait exactement de même sur les nombres imaginaires proprement dits, et Ton montrerait que si Ton peut les admettre dans le cours des calculs, le résultat final n'est valable, n'existe même, qu'autant qu'il est, comme on dit, purgé de toute imaginante. On voit que cette conception du nombre généralisé est tout à fait insuffisante et stérile; par exemple, elle ne permet pas d'écrire des formules telles que celle-ci [p. 127] :

exi : r cos x -h i sin a?,

qui sont vraies en elles-mêmes, et qui sont d'un si grand usage dans l'Analyse. On voit également que cette théorie ne justifie que les expressions littérales « imaginaires », mais non les nombres « imaginaires » auxquels elles donneraient lieu finalement. Par exemple, on peut bien introduire dans les calculs une expression telle que V '' — a, parce qu'on ne sait pas si la valeur numérique attribuée à a ne sera pas négative, pas plus qu'on ne sait si, dans l'expression V/-hflf la valeur numérique de a sera positive; ni l'une ni l'autre de ces expressions ne sont donc réelles ou imaginaires à proprement parler : elles sont purement et simplement indéterminées. Mais des

expressions numériques déterminées, comme — 2, y/ — 4, ne peuvent avoir aucun sens dans cette conception. Ainsi cette théorie, fondée sur l'indétermination des formules algébriques, ne permet pas d'introduire dans l'Arithmétique générale des symboles d'impossibilité

numérique, ni par conséquent de généraliser l'idée de nombre entier.

14. Si nous nous sommes attardé à exposer et à discuter cette théorie des symboles « imaginaires », en apparence étrangère à notre sujet, c'est parce que c'est par des considérations de ce genre et des raisons toutes semblables que Cahnot a essayé de justifier le symbolisme infinitésimal '. Il regarde les différentielles, ou en général les infiniment petits, comme des quantités finies, mais indéterminées, qu'on introduit provisoirement dans le calcul pour obtenir des équations inexactes ou « imparfaites »; puis on trans-