CH. I. — CRITIQUE DE LA GENERALISATION ALGÉBRIQUE

raire et de toute « hypothèse contradictoire ». Ainsi la résolution de l'équation fait connaître : 1° la différence absolue des âges, à savoir 5 ans (5 étant la valeur absolue de la racine qualifiée) ; 2° le sens de cette différence, marqué par le signe +, si Paul est plus âgé, par le signe — , s'il est moins âgé que Pierre. La racine — 5, comme la racine -4- 5, répond donc à cette double question, et résout complètement le problème, tel que nous venons de l'énoncer en dernier lieu.

18. Ainsi les nombres négatifs (non-sens arithmétique) deviennent valables quand il s'agit de représenter des grandeurs à deux sens inverses l'un de l'autre ; on montrera de même que les nombres fractionnaires (non-sens arithmétique) conviennent à la représentation des grandeurs divisibles, et que les nombres irrationnels (non-sens arithmétique) sont nécessaires pour représenter les grandeurs continues. Qu'est-ce à dire, sinon que tous ces nombres se justifient, non comme résultats (absurdes) d'opérations impossibles, ou comme racines « imaginaires » d'équations algébriques, mais comme solutions de problèmes concrets où l'on se propose de déterminer des grandeurs? Tous ces symboles d'impossibilité numérique deviennent utiles et légitimes, dès qu'il s'agit de représenter des grandeurs physiques avec leur sens, leur divisibilité et leur continuité essentielles. C'est donc dans la considération des grandeurs concrètes que la généralisation de l'idée de nombre trouve en définitive sa seule raison d'être; et si l'extension de l'ensemble des nombres entiers est autre chose qu'une construction arbitraire de symboles vides de sens, c'est dans l'application du nombre aux grandeurs continues qu'il faut chercher sa justification rationnelle et sa véritable interprétation.