CU. II. — APPLICATION DES NOMBRES RATIONNELS A LA DROITE

négligerons la durée, parce que cette espèce de grandeur, étant essentiellement linéaire, ne demande, pour être représentée, que des nombres réels, de sorte que les nombres complexes ne peuvent s'y appliquer. Au contraire, les grandeurs géométriques fournissent une application des diverses espèces de nombres, et permettent de les justifier toutes d'une manière analogue, ce qui est évidemment plus rationnel. Or toutes les grandeurs géométriques peuvent se résoudre en longueurs ; les grandeurs superficielles elles-mêmes, auxquelles conviennent les nombres complexes, se représentent par l'association de deux grandeurs linéaires (longueurs) qu'on nomme coordonnées, de même que tout nombre complexe (ordinaire) est formé par la réunion de deux nombres réels. La longueur est donc la grandeur géométrique essentielle et irréductible, de même que l'ensemble des nombres réels est le domaine primordial de l'Analyse, qui fournit ensuite aux nombres complexes tous leurs éléments. C'est cet ensemble linéaire et continu qu'il s'agit de construire d'abord et de justifier par son application aux grandeurs linéaires et continues.

D'autre part, la longueur est essentiellement rectiligne, car elle n'est définie primitivement que pour les lignes droites, et leur appartient pour ainsi dire en propre; les droites seules possèdent immédiatement et par elles-mêmes une longueur, parce qu'elles seules sont toutes directement comparables entre elles. En effet, la méthode de comparaison des grandeurs géométriques en général est la superposition, et l'égalité géométrique se définit par la coïncidence des grandeurs comparées. Or deux aires quelconques, deux lignes quelconques ne sont pas, en général, superposables : et si, par exemple, les arcs d'un même cercle ou d'une même hélice sont superposables et par suite comparables entre eux, deux arcs de cercle ou d'hélice ne sont pas superposables quand ils appartiennent à des courbes différentes, et par conséquent on ne peut les comparer qu'indirectement, en les rapportant, précisément, à des longueurs rectilignes. Deux lignes droites, au contraire, sont toujours superposables, au moins en partie, et directement comparables entre elles; c'est pourquoi la ligne droite est le type de la grandeur géométrique, en particulier de la longueur, et l'étalon de longueur ne peut être qu'un segment rectiligne. C'est donc à la ligne droite que nous allons d'abord appliquer les nombres entiers, en créant au besoin de nouvelles espèces de nombres, de manière à représenter

lous les éléments (points) de la ligne droite, et par suite tous les états de grandeur qui constituent l'ensemble des longueurs.

2. Considérons la ligne droite XY indéfinie dans les deux sens; indéfinie, c'est-à-dire n'ayant pas d'extrémités : car, si elle était terminée d'un côté ou de l'autre, on pourrait la prolonger au delà du point extrême; on sait que cette opération est toujours possible, et d'une seule manière, en d'autres termes, qu'une droite finie AB a toujours un prolongement, et un seul, tant au delà de A qu'au delà de B. La droite indéfinie est donc unique et complètement déterminée, dès qu'on en donne un segment fini ou seulement deux points distincts [Fig . 1).

Kijr. I.

Prenons à volonté un point A sur la droite XY, puis un second point différent du premier, que nous marquerons B. Il faut bien remarquer que ces deux points sont quelconques, et que leur choix est absolument arbitraire, car, toutes les parties de la droite XY étant semblables, tous ses points sont par eux-mêmes indiscernables. Nous verrons plus tard l'importance de cette remarque. Ces deux points déterminent sur la droite indéfinie XY un segment fini AB. On peut le détacher par la pensée de la droite XY, celle-ci restant toujours continue, et l'imaginer comme mobile, la droite XY restant toujours fixe, et gardant pour ainsi dire la trace ou l'empreinte des deux points A et B; marquons 0 sous le point A, et 1 sous le point B : les points 0 et 1 sont invariablement liés à la droite XY, et conséquemment fixes. Le segment fixe (0, i) est égal, par construction, au segment mobile AB, puisqu'il coïncide entièrement avec lui.

3. Faisons maintenant glisser le segment AB sur la droite indéfinie, de manière à amener le point A à coïncider avec le point 1, et marquons 2 au point avec lequel coïncide le point B. Le segment lixe (1, 2) sera égal, par construction, au segment mobile AB, et par suite au segment fixe contigu (0, i ), car deux segments qui peuvent coïncider avec un même troisième peuvent évidemmenl coïncider l'un avec l'autre.

Faisons ensuite glisser le segment AB sur la droite XY,de manière à amener le point A à coïncider avec le point 2, et marquons 3 au point avec lequel coïncide à présent le point B. Le segment fixe