CU. II. — APPLICATION DES NOMBRES RATIONNELS A LA DROITE

(2, 3) sera égal, par construction, au segment mobile AB, et par suite aux segments fixes (1, 2) et (0, 1).

En répétant cette construction autant de fois qu'on voudra, on déterminera sur la droite indéfinie XY autant de points différents qu'on voudra; à chacun de ces points correspondra évidemment un nombre entier différent, qui marque son rang, tant dans la construction successive de ces points que dans leur ordre simultané sur la droite, une fois construits. Inversement, à chaque nombre entier n on peut faire correspondre un point déterminé de la droite XY, en répétant n fois la construction précédente : car la première fois on a obtenu le point i, la deuxième fois le point 2, la troisième fois le point 3, et ainsi de suite indéfiniment. En effet, si après chaque nombre entier n il y en a toujours un autre, à savoir (n -f- 1), après tout point n obtenu Ton pourra en construire un autre, qui correspondra à (w-f- 4). Ainsi Ton peut établir une correspondance univoque et réciproque entre tous les nombres entiers consécutifs et certains points de la droite indéfinie XY; car rien n'empêche de prolonger la droite à mesure des besoins, et d'ailleurs il n'y a pas de raison pour s'arrêter après un nombre n de constructions. La suite des points déterminés par cette construction sur la droite XY est donc semblable 1 à la suite naturelle des nombres entiers, et indéfinie comme elle. On remarquera que les nombres entiers consécutifs jouent ici le rôle de nombres ordinaux, car ils ne sont pas autre chose que les numéros d'ordre des points marqués sur la droite. D'autre part le nombre cardinal des points marqués compris entre le point 0 et le point n inclusivement est (n -4- 4); quant au nombre cardinal de tous les points marqués, nous ne savons s'il existe, ou plutôt nous savons qu'il ne peut être aucun des nombres de la suite naturelle : mais s'il existe, il sera précisément égal au nombre cardinal de tous les nombres entiers \