Pour la définition de ce mot, voir Note IV

S. En même temps, la droite AY se trouve partagée en segments contigus, tous égaux entre eux. Ces segments se suivent dans l'ordre des nombres entiers consécutifs : (0, \) est le 1er, (i, 2) le 2e, (2, 3) le 3*... et en général (w— i, n) le n«. Ainsi se trouve établie une correspondance uniforme, non seulement entre tous les nombres entiers et les points marqués :

mais encore entre tous les nombres entiers et les segments successifs

Le nombre de ces segments est donc aussi égal au nombre de tous les nombres entiers.

4. Mais nous n'avons opéré jusqu'ici que sur la « demi-droite » AY : elle seule porte tous les points marqués, et fournit tous les segments découpés sur la droite XY; nous n'avons au contraire marqué aucun point ni délimité aucun segment sur la demi-droite AX. Revenons à l'instant initial où nous avons marqué le premier point A (ou 0) sur la droite indéfinie XY. A ce moment, rien ne distinguait les deux demi-droites symétriques AX, AY, et il n'y avait aucune raison de prendre ou plutôt de poser le point B à droite plutôt qu'à gauche de A, c'est-à-dire sur AY plutôt que sur AX. Or si nous avions posé le point B sur AX, nous aurions effectué les mêmes constructions vers la gauche du point A, et c'est la demi-droite indéfinie AX qui aurait porté la suite des points

la demi-droite AY restant au contraire indivise.

Il n'y a donc pas de raison pour ne pas diviser AX en segments égaux et contigus, comme nous avons fait AY. Nous pourrions pour cela choisir un point B' quelconque à gauche de A, et répéter la même construction avec le nouveau segment AB'. Mais les points

1, 2, 3, w, ainsi déterminés sur AX se confondraient, dans

l'écriture, avec les points déjà marqués sur AY : il importe donc de les distinguer par la notation. Nous ferons précéder par exemple leurs numéros d'ordre d'une barre horizontale qui s'énoncera moins, cette barre et ce mot n'ayant pas d'autre sens qu'un indice quelconque destiné à avertir que lesdits points sont situés sur AX, et non sur AY. La suite des points marqués sur AX sera donc dénommée par les signes :

tandis que la suite des points marqués sur AY sera désignée, soit simplement parles nombres entiers, comme auparavant, soit, pour plus de symétrie et de netteté, par les mêmes nombres précédés du signe -+- (plus) :

En outre, pour plus de régularité, nous pouvons prendre le segment (0, — 1) égal au segment (0, 1); car s'il n'y a aucune raison pour choisir le premier segment AB plus ou moins grand, il y a une raison de simplicité et d'uniformité pour prendre le second