Or, si Ton considère les signes — 4, — 2, — 3, comme de

nouveaux nombres entiers, dits négatifs, et qu'on appelle positifs les

anciens nombres entiers devenus les signes -f- 1, -f- 2, -+- 3, ; si

enfin Ton admet comme nombre entier le signe 0, qu'on nommera zéro. Ton aura établi une correspondance complète et uniforme entre tous les points marqués sur la droite indéfinie XY et tous les nombres entiers successifs

, -3,-2,-1, 0, 4- 1, 4- 2, + 3, (Fig. 2).

Fig. *.

Par la même construction, la droite indéfinie XY tout entière se trouve partagée en segments contigus, tous égaux entre eux et à Vétalon AB :

,(-3,-2),(-2,-l),(-l,0),(0,-f-l),(-hl,+2),(H-2,-h3),

Ainsi l'ensemble des nombres entiers qualifiés se trouve appliqué sur la droite indéfinie XY, de telle manière qu'il n'y a aucune région de cette droite qui ne porte des points marqués; en termes plus

précis, tout segment au moins égal à AB, découpé dansXY, contient au moins un point correspondant à un nombre entier.

6. Mais il est clair que la droite XY contient une foule d'autres points que ceux qui sont désignés par les nombres entiers : par exemple, le segment (0, 4) ne porte aucun point marqué entre ses extrémités 0 et 1. Or la continuité de la droite XY implique qu'entre deux points quelconques de la droite il y en a un autre (cette propriété est nécessaire, mais non suffisante pour définir le continu linéaire). Donc, en particulier, entre les deux points 0 et 1 il y a un point de la droite XY : nous pourrions marquer un point quelconque C sur le segment AB, puis deux points quelconques D et E respectivement sur les segments AC et CB, et ainsi de suite. Mais ce procédé serait par trop arbitraire; pour le rendre plus régulier, on conviendra de prendre les segments AC et CB égaux, et de même les segments AD et DC, CE et EB égaux, et ainsi de suite, afin qu'à chaque étape de la construction la répartition des points marqués sur le segment (0, 1) soit uniforme, et que toutes les parties de ce segment soient également couvertes de points. Ce procédé est d'ailleurs toujours applicable, car il repose sur une autre propriété essentielle (mais non caractéristique) du continu linéaire, à savoir que tout segment linéaire fini et continu est divisible (exactement) en un nombre (entier) quelconque de segments égaux \ La construction que nous venons d'indiquer, et qu'on pourrait appeler la bipartition progressive et indéfinie du segment (0, 1), est donc toujours possible. Elle

consiste à diviser successivement ce segment en 2, en 4, en 8, en

2n parties égales, et par suite à déterminer sur ce segment (2" — 1) points équidistants. Il est aisé de voir qu'on pourra ainsi marquer autant de points qu'on voudra, et aussi rapprochés qu'on voudra, entre les deux points extrêmes 0 et i (Fig. 3).

Fig. 3.

7. Mais ce procédé est trop particulier, car on n'obtient pas par <:e moyen toutes les « partitions » possibles du segment (0, 1). En

5. Nous appellerons celle proposition : • Axiome de la divisibilité ».

CH. n. — APPLICATION DES NOMBRES RATIONNELS A LA DROITE 157

effet, les nombres 2, 4, 8, 2" ne sont pas tous les nombres

entiers, et le segment considéré est encore divisible en 3, en 5,

en 7 parties égales; chacun des segments ainsi obtenus étant

à son tour divisible en 2, en 3, en 5, en 7 parties égales,

on aurait à exécuter successivement une infinité de constructions dont chacune serait indéfinie : à savoir, outre la bipartition indéfinie, la tripartition, la quintipartition etc., indéfinies. Et l'on

n'obtiendrait pas encore par là toutes les « partitions » possibles, par exemple la division en 6 segments égaux. La méthode la plus simple et la plus générale consiste donc à diviser le segment (0, 1) en n parties égales, n prenant successivement toutes les valeurs positives entières. En vertu de Yaxiome de la divisibilité , on déterminera chaque fois (n — 1) points du segment (0, 1), tous équidistants.

Pour désigner ces nouveaux points dans le langage et l'écriture, une notation spéciale devient nécessaire. Il convient d'employer à cet effet deux nombres entiers pour chaque point : l'un, appelé dénominateur, indique en combien de parties égales le segment (0, 1) a été partagé, soit n ; l'autre, appelé numérateur, indique le rang du point de division à partir du point 0 : ainsi, dans la partition en n segments, les points de division successifs, depuis 0 jusqu'à i, porteront les numéros d'ordre :

Ce seront les numérateurs correspondants, leur dénominateur commun étant n. Il est facile de voir que l'ensemble de ces deux nombres suffit à déterminer sans ambiguïté un point quelconque d'une division quelconque. L'usage est d'écrire le numérateur au-dessus du dénominateur, en les séparant par une barre horizontale : le signe ainsi composé se nomme fraction. Ainsi, dans la partition en n segments, les points de divisions successifs, de 0 à 1, porteront les signes respectifs :

8. Chacune de ces partitions du segment (0, 4). pourra se répéter dans tous les autres segments égaux de la droite indéfinie XY. Pour cela, il suffit de calquer la partition considérée du segment fixe (0, 4) sur le segment mobile AB, puis de transporter celui-ci avec ses divisions successivement sur tous les segments contigus qu'il a

servi à déterminer, tant à droite qu'à gauche du segment primitif (0, 4). La droite indéfinie XY se trouvera tout entière divisée en

segments égaux au segment f 0, - j.

Pour désigner les points de division successifs, il est naturel de prolonger le numérotage à partir du point 0 dans un sens et dans l'autre. Dans le sens positif (à droite), c'est-à-dire du côté de -+- 1, on devra numéroter le point -f- 1 par n, puis les points de division du segment (1, 2) par

puis le point 2 par 2w, et ainsi de suite, de sorte que la suite entière des nombres entiers (positifs) se trouvera appliquée aux points de division de la demi-droite OY. Chacun des points de division primi tifs, marqués d'abord

portera respectivement le numéro d'ordre (numérateur)

;*, 2n, 3w, mrij

et sera désigné par la fraction

n 2k 3n mn

Par conséquent, on devra considérer chacune de ces fractions comme équivalente au nombre entier correspondant, c'est-à-dire au quotient (exact et entier) de son numérateur par son dénominateur. On retrouve ainsi, par des considérations géométriques, l'assimilation des nombres entiers à certaines fractions, savoir à celles dont le numérateur est un multiple du dénominateur [1, i, 161.

9. Dans le sens négatif (à gauche du point 0), on pourra de même prolonger le numérotage des points de division, en employant les nombres négatifs. Mais d'abord le point 0 lui-même devra, par analogie, être désigné par la fraction -, qui indique à la fois que ce point

appartient à la partition en w, et qu'il a le rang 0 dans cette partition, c'est-à-dire qu'il en est l'origine. Ainsi l'on retrouve géométriquement cette proposition d'Arithmétique, à savoir que toute fraction de numérateur zéro équivaut à zéro, ou, comme on dit encore, est nulle |I, i, 7 \

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