CB. II. — APPLICATION DES NOMBRES RATIONNELS A LA DROITE

Les points de division suivants, vers la gauche, porteront respectivement (à partir du point 0) les signes

et les points

n 2n 3n mu

coïncideront avec les points marqués par les nombres

de sorte que l'identification des nombres entiers à certaines fractions a lieu pour les nombres négatifs comme pour les nombres positifs, et pour les mêmes valeurs absolues (Indépendamment du signe). Ainsi l'ensemble des nombres entiers qualifiés se trouve de nouveau tout entier appliqué sur la droite XY tout entière, et correspond à l'ensemble des points de division obtenus en partageant chacun des segments primitifs en n segments égaux (et tous égaux entre eux). La subdivision de la droite XY est donc tout à fait semblable à la division primitive, marquée par les nombres entiers; et en efTet, le point B étant absolument arbitraire, il aurait suffi de prendre pour

ce point le point marqué à présent - pour obtenir, au lieu de ladivi-

sion primitive, la nouvelle division. Ces deux partitions ne diffèrent que par la notation, c'est-à-dire par le dénominateur n qui accompagne le numéro d'ordre (numérateur) de chaque point ; mais ce dénominateur n'a qu'un sens, tout relatif: il ne caractérise pas la nouvelle division en elle-même, mais seulement par rapport à l'ancienne division, prise pour type et pour base : il indique simplement que l'ancien étalon (0, 1) contient n segments égaux au nouvel étalon

( 0, - j. Par suite, les anciens points de division se retrouvent, parmi

les nouveaux, de « en n rangs; autrement dit, leurs numéros d'ordre sont multipliés par /?.

10. Inversement, on pourrait considérer la nouvelle division comme primitive et fondamentale ; pour passer de cette division à l'ancienne, il suffirait de prendre pour étalon l'ensemble de n segments contigus successifs, c'est-à-dire le segment (0, n). On devrait alors prendre les nouveaux points de division de w en n, et par suite

ne conserver de la subdivision prise pour type que les points marqués par des multiples de n :

Pour trouver les nouveaux numéros d'ordre de ces points, on n'a évidemment qu'à diviser les anciens numéros par n.

Ainsi rien ne dislingue d'une manière intrinsèque et absolue la division marquée par la suite des fractions de dénominateur n (quel que soit le nombre entier n) '. Tout dépend du choix de la partition que Ton prend pour type ou pour base, c'est-à-dire du choix du segment fondamental ou étalon (0, 1), ou simplement du point B. Or ce dernier choix est entièrement arbitraire, en raison de la continuité de la droite XY, et par conséquent l'application des nombres entiers et des fractions à tels ou tels points du continu linéaire est une dénomination purement extrinsèque, qui ne correspond nullement à la nature homogène et continue de la grandeur qu'il s'agit de représenter.

11. De même que, dans la partition dénommée par n (c'est-àdire marquée'par les points avant n pour dénominateur), les points de division coïncident de n en » avec les points marqués par les nombres entiers, les points d'une subdivision dénommée par n' peuvent coïncider avec ceux d'une division antérieure, dénommée par n : cela a lieu, en particulier, quand le nombre n' est un multiple du nombre w, c'est-à-dire un nombre entier de la forme kn. Par exemple, la partition de chaque segment égal à (0, i) en 6 (2 x 3) segments égaux reproduit à la fois les points qui divisent le segment en 2 et ceux qui le divisent en 3 parties égales {Fig. 4). En effet, si Ton réunit entre eux les 3 premiers segments d'une part, et les 3 derniers de l'autre, on forme évidemment 2 segments égaux, c'est-à-dire superposables, car chacun d'eux se compose de 3 segments coutigus égaux (et par suite superposables) aux 3 segments (jui composent l'autre; donc ces 2 segments égaux et contigus, qui