Ces deux suites de points, savoir l'ensembic des points

et l'ensemble des points

~~ /? /»' "" n' m' "+" n' "•" n* i' ny~"

sont semblables entre elles et à l'ensemble des nombres entiers qualifiés; par suite elles doivent avoir le môme nombre cardinal (s'il existe).

CH. n. — APPLICATION DES NOMBRES RATIONNELS A LA DROITE ]61

composent le segment total (0, 1), coïncident avec les deux moitiés

de ce segment, et par conséquent le point ^, qui les sépare, coïncide avec le point ^ précédemment obtenu. De même, si l'on réunit

entre eux les 2 premiers segments, puis les 2 suivants, enfin les 2

derniers, on forme 3 segments égaux (c'est-à-dire superposabies), et

d'ailleurs contigus, qui composent ensemble le segment total (0, 1);

donc ces segments ne sont autres que ceux qu'on a déjà obtenus par

2 4 la tripartition de ce segment, et par conséquent les points ~, * qui

les séparent coïncident avec les points déjà marqués r>, ^.

•xr I

En général, si l'on suppose le segment (0, 1) divisé en kn parties égales, la réunion de k segments consécutifs formera un segment

égal au segment f 0, -1, obtenu auparavant en divisant le segment (0, 1) en n parties égales; par suite, les points de la nouvelle division (dénommée par kn), pris de k en k, savoir :

ïn"' kn'> kn* Tïn '

coïncident respectivement avec tous les points de l'ancienne division (dénommée par n) :

Or on voit tout de suite que les dernières fractions se déduisent des premières en divisant leurs deux termes par un même nombre, à savoir k, et que, inversement, on passe des dernières aux premières en multipliant les deux termes de chacune d'elles par un

même nombre k (d'ailleurs quelconque). On en conclut que deux fractions dont la première a ses termes équimultiples des termes correspondants de la seconde, et plus généralement, que deux fractions dont les deux termes sont respectivement des équimultiples de ceux d'une même troisième fraction, sont équivalentes, c'est-à-dire correspondent au même point. On ne change donc pas la valeur ou le sens géométrique d'une fraction quand on multiplie ou qu'on divise ses deux termes par un même nombre. On retrouve ainsi par des considérations géométriques le théorème fondamental du calcul des fractions, et la définition de leur égalité [I, i, 3-5].

12. On peut donc désormais considérer comme de nouveaux nombres les fractions, qui primitivement n'étaient que de simples signes destinés à marquer les points de division de la droite indéfinie XY. D'autre part, nous avons vu que l'ensemble des nombres entiers rentre dans celui des nombres fractionnaires. Pour construire entièrement celui-ci, il faut donner successivement au dénominateur n toutes les valeurs entières et positives, et, pour chaque valeur de it, toutes les valeurs entières qualifiées au numérateur. Or les opérations géométriques correspondantes sont toujours possibles, et il n'y a aucune raison pour s'arrêter à la partition dénommée par tel nombre entier n : car, en vertu de Y axiome de la divisibilité, le segment primitif (0, 4) est encore divisible en (n -h 1) parties égales, et fournit par conséquent tous les points de la division dénommée par (w -f- 1). La subdivision du segment (0, 1) et par suite de la droite indéfinie XYse poursuit donc indéfiniment, et à chaque nouvelle partition, l'ensemble des nombres entiers (pris pour numérateurs) se trouve appliqué sur la droite XY tout entière. Aussi, au lieu de prendre pour base la division primitive marquée par les nombres entiers, on pourrait partir de la division dénommée par un nombre n quelconque, prise pour type fondamental : on obtiendrait alors

successivement les partitions dénommées par 2n, 3n, kny et

la nouvelle construction serait parfaitement semblable à la précédente; elle en serait indiscernable (abstraction faite de la grandeur absolue de l'étalon). Cela montre, encore une fois, le caractère arbitraire du choix de cet étalon, et par suite de toutes les subdivisions qui s'ensuivent.