CHAPITRE III

APPLICATION DES NOMBRES IRRATIONNELS A LA LIGNE DROITE ET DES NOMBRES COMPLEXES AU PLAN

1. Maintenant que l'ensemble des nombres fractionnaires qualifiés, c'est-à-dire l'ensemble complet des nombres rationnels, se trouve appliqué à la droite indéfinie XY, ou plutôt qu'il a été créé et construit tout exprès pour représenter des points de plus en plus nombreux de cette droite, il convient de se demander s'il épuise la multitude des points que cette droite contient effectivement, et s'il suffit à les représenter tous. Pour le savoir, nous allons résumer les propriétés caractéristiques de l'ensemble des points « rationnels » de la droite XY, propriétés géométriques que traduisent les propriétés arithmétiques de l'ensemble des nombres rationnels, énoncées Livre I [chap. iv, § 6].

I. — Il n'y a aucun point rationnel qui soit le premier ou le dernier de tous sur la droite indéfinie XY. Cette propriété appartenait déjà à l'ensemble des points « entiers ».

II. — Entre deux points rationnels quelconques il en existe toujours un autre (propriété déjà énoncée [Chap. n, § 6] d'une manière générale). Il en résulte qu'entre deux points rationnels donnés il y en a une infinité d'autres; leur nombre (s'il existe) ne peut être aucun nombre fini : il sera convenablement appelé infini.

11 en résulte encore que, bien que les points rationnels se succèdent sur la droite XY dans un ordre linéaire bien déterminé, il n'y en a aucun qui soit le premier après ou le dernier avant un point rationnel donné; ou encore, qui soit le premier ou le dernier dans

164 LIV. m. — GÉNÉRALISATION GÉOMÉTRIQUE DU NOMBRE

l'intervalle de deux points rationnels donnés. On a, par exemple, à droite du point 0, la suite indéfinie des points marqués

dont chacun est plus rapproché du point 0 que tous les précédents. Cela se voit mieux encore sur la suite

extraite de la précédente, car le point ^^ est le milieu du segment

(0, — j et par conséquent est situé entre 0 et le point ^ qui le précède dans la suite. 11 n'y a donc, ni dans l'une ni dans l'autre de ces

suites, aucun point qui soit plus rapproché de 0 que tous les autres.

Si voisin que soit un point - du point 0, on peut toujours en

trouver un plus rapproché, c'est-à-dire contenu dans le segment (0, -), quand ce ne serait que le point ., ou mieux encore le

point 5-, milieu de ce segment. Cela résulte évidemment de Yaxiome

de la divisibilité. Les mêmes considérations s'appliqueraient aisément à tout autre point rationnel comme au point 0.

2. Il ne faudrait pourtant pas croire que Yaxiome de la divisibilité entraîne nécessairement la diminution indéfinie des intervalles qui séparent les points rationnels voisins, en particulier de l'intervalle

(0, -) quand n croît indéfiniment. De ce que l'on peut toujours

trouver un point plus rapproché du point 0 (par exemple) que tout point rationnel donné, on ne doit nullement conclure que la distance de ce point au point 0 devienne plus petite que toute longueur

donnée, c'est-à-dire que le segment (0, -j devienne plus petit que

tout segment rectiligne assignable; cette distance, tout en décroissant indéfiniment, en vertu de Y axiome de la divisibilité, pourrait rester supérieure à une longueur finie qui serait sa limite. Pour pouvoir affirmer que l'intervalle de deux points rationnels arbitraires peut être pris aussi petit qu'on veut, il faut faire appel à une autre propriété générale des grandeurs continues, à celle qu'énonce Yaxiome d'Archimède :

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Cil. III. — APPLICATION DES NOMBRES IRRATIONNELS A LA DROITE 165

« Etant données deux grandeurs de même espèce A et B, il existe toujours un nombre entier n tel que l'on ait :

nB > A

(si grande que soit A, et si petite que soit B). »

Cet axiome complète en quelque sorte l'axiome de la divisibilité [u, 6], qui peut s'énoncer :

« Etant données une grandeur A quelconque et un nombre entier n, il existe une grandeur C telle que

nC = A. »

En effet, celui-ci pose l'existence de la grandeur C = -, qu'on

nomme la ne partie de A. V axiome d'Archimède affirme, d'autre part,

que, pourvu qu'on prenne n assez grand, la grandeur C peut être

rendue plus petite que toute grandeur donnée de même espèce B.

En effet, de l'inégalité

nB > A résulte celle-ci

c'est-à-dire

3. Nous pouvons à présent énoncer la propriété la plus importante de l'ensemble des points rationnels :

III. — L'intervalle de deux points rationnels consécutifs est plus petit que tout segment rectiligne donné.

Nous entendons par « points rationnels consécutifs » deux points consécutifs d'une même partition, partant désignés par deux fractions de la forme

c'est-à-dire ayant même dénominateur et des numérateurs différant de 1. Or l'intervalle de ces deux points, c'est-à-dire le segment

(-, j est égal (superposable) au segment ( 0, -), par construction. Il suffit donc d'établir la propriété énoncée pour ce dernier segment. Or celui-ci est la nc partie du segment fondamental (0,1),

que nous prendrons pour A : le segment (0, - ) sera par suite la grandeur

et, en vertu de Y axiome cTArchimèdc, sera (pour n suffisamment grand), plus petit que tout segment donné, tel que la longueur B. Remarquons d'ailleurs que, cela ayant lieu pour une valeur finie de n, nous pouvons considérer la partition dénommée par n (qui, on le sait déjà, est toujours possible) comme actuellement réalisée. Nous pouvons donc toujours pousser assez loin la subdivision de la droite indéfinie XY pour que tous les intervalles des points marqués soient inférieurs à un segment donné, si petit qu'il soit. Autrement dit, dans tout segment de la droite XY, si petit qu'il soit, il y aura toujours au moins un point marqué, correspondant à un nombre rationnel. Il n'est même pas besoin, pour cela, d'effectuer toutes les partitions dénommées par tous les nombres entiers successifs; il suffit d'effectuer une subdivision systématique, c'est-à-dire une suite de partitions dénommées par les puissances successives d'un nombre entier unique : telles sont la bipartition, la tripartition, etc., indéfinies que nous avons indiquées Chap. n, § 6.

4. L'ensemble des points rationnels de la droite XY est donc un ensemble connexe, c'est-à-dire tel qu'on peut relier deux quelconques de ses points par une chaîne de points appartenant au même ensemble et dont les intervalles soient tous moindres qu'un segment donné. Il est encore partout condensé sur la droite XY, c'est-à-dire qu'il n'y a aucun segment fini de cette droite, si petit qu'il soit, qui ne contienne des points de cet ensemble, et même une infinité '. Par conséquent il n'offre aucune lacune d'étendue finie; néanmoins, il présente une infinité de ces lacunes infiniment petites qu'on nomme coupures; il n'est donc pas continu 2. Pour rendre cet ensemble de points continu, et par suite adéquat à la droite indéfinie XY, il faut combler chacune de ces coupures par un nouveau point. Mais ce point existait déjà sur la droite XY', par hypothèse continue; il no s'agit donc pas de créer, à proprement parler, de nouveaux points, mais de les déterminer comme nous avons fait les points rationnels. Les uns et les autres nous sont donnés avec la droite continue tout entière; il suffit de les remarquer, et de les marquer d'un signe spécial qui permette de les reconnaître. Ce que nous allons créer, ce ne sont pas les points irrationnels eux-mêmes, mais les signes qui doivent leur correspondre dans la représentation numérique de la droite, à savoir les nombres irrationnels [Cf. I, iv, 7].

1. Les concepts « connexe » et - partout condensé » sont empruntés à M. Càktor..