Voir Dehekino, Stetigkeit und irrationale Zahlen

Cfl. III. — APPLICATION DES NOMBRES IRRATIONNELS A LA DROITE 167

5. Mettons d'abord en évidence les coupures de l'ensemble des points rationnels, et par suite l'existence des points irrationnels. On en trouve des exemples dans la Géométrie la plus élémentaire : on sait que si Ton construit un carré sur le segment AB pris pour étalon (0,4), et qu'on rabatte la diagonale AC de ce carré sur la droite indéfinie à laquelle appartient ce segment, l'extrémité G de cette diagonale ne tombera en aucun point rationnel de cette droite ! {Fig. ô). Pour citer un autre exemple, moins banal et plus élégant,

Fig. 5.

si Ton construit deux triangles équilatéraux ABG, BGD ayant le côté BG commun (et égal), on forme un losange ABDG dont les quatre côtés sont égaux à la diagonale BG. Quant à l'autre diagonale AD, si Ton rabat sur elle le côté AB, et que, prenant ce segment pour étalon (0, 1), on effectue sur AD toutes les subdivisions rationnelles indiquées au Chapitre précédent, on ne trouvera jamais le point D, c'èat-à-dire que ce point n'est pas un point rationnel de AD quand on prend pour étalon un segment issu de A et égal à AB (Fig. 6).

6. Mais ce point irrationnel D, dont nous venons de constater l'existence, tombe évidemment entre deux points rationnels de la droite AB, ou plutôt entre deux suites infinies de points rationnels, qui l'enferment en quelque sorte dans un intervalle infiniment petit, et par suite le déterminent rigoureusement. En effet, tout point qui correspond à un nombre rationnel positif dont le carré est plus petit que 3 tombe en deçà du point D, par rapport au point A pris pour origine 0; au contraire, tout point marqué par un nombre rationnel positif dont le carré est supérieur à 3 tombe au delà de D. Comme

1. Cf. H. Poincark, le Continu mathématique, ap. Revue de Métaphysique et de Morale, t. I (janv. 1893).

d'ailleurs il n'y a aucun nombre rationnel dont le carré soit égal à 3, l'ensemble des points rationnels se trouve ainsi partagé par le point D en deux classes bien distinctes. Dans la première, celle des points rationnels compris entre À et D, il n'y a aucun point qui soit le dernier de tous avant D; dans la seconde, celle des points rationnels situés au delà de D, il n'y a aucun point qui soit le premier de tous après D. Enfin, et c'est là un caractère essentiel de la lacune que l'existence du point D révèle dans l'ensemble des points rationnels, la distance entre deux points pris à volonté dans les deux classes est plus petite que tout segment rectiligne donné (et cela en vertu de la propriété III de l'ensemble des points rationnels [3]).

Fig. 6.

11 en résulte qu'il ne peut y avoir dans cette lacune deux points distincts, car deux points distincts (et fixes par hypothèse) délimitent un segment fini : la distance entre un point quelconque situé à gauche de la lacune et un point quelconque situé à droite de la lacune ne pourrait donc être inférieure à ce segment fini, ce qui est contraire à la susdite propriété. La lacune infiniment petite ou coupure ainsi définie ne comprend donc qu'un point, qui est à la fois nécessaire et suffisant pour la combler. Ce point est complètement déterminé par les deux classes de points rationnels ci-dessus décrites; pour désigner ce point unique de la droite AD, et rappeler le mode de répartition des points rationnels qui a servi à le définir, il convient d'employer le signe i/S, qui n'a aucun sens arithmétique, mais qui, précisément parce qu'il ne correspond à aucun nombre rationnel ni à aucun point rationnel, est propre à indiquer le point D, qui sépare les deux classes de points rationnels définies plus haut. De même, le point G' de la figure 5 sépare deux classes de points rationnels;