CH. IU. — APPLICATION DES NOMBRES IRRATIONNELS A LA DROITE

dans la première (à gauche de G') figurent les points correspondant à des nombres positifs dont le carré est plus petit que 2; à la seconde (à droite de G') appartiennent tous les points marqués par des nombres positifs dont le carré est supérieur à 2. On montrerait de même que ces deux classes de points possèdent les propriétés caractéristiques d'une coupure, et par suite déterminent un point irrationnel, à savoir le point C' lui-même, qu'il convient de désigner par \/~l.

7. On remarquera sans peine que la définition précédente du point irrationnel est calquée sur la définition du nombre irrationnel |l, iv, 8, 9). On sera peut-être porté à croire que c'est le nombre irrationnel qui engendre le point irrationnel, et que celui-ci emprunte pour ainsi dire son existence à celui-là. Il semble, en effet, que la coupure de l'ensemble des points rationnels d'une droite n'ait été remarquée que grâce à la coupure de l'ensemble des nombres rationnels dont elle est l'image, et que l'existence du point irrationnel qui comble la première n'ait été établie qu'au moyen des propriétés du nombre irrationnel qui comble la seconde : ou plutôt, le point irrationnel semble avoir été créé tout exprès pour fournir une application géométrique au nombre irrationnel, défini indépendamment de toute intuition. Cette illusion est partagée par beaucoup de mathématiciens, plus analystes que géomètres, et elle est confirmée, au moins en apparence, par la méthode rigoureusement analytique dont on se sert pour introduire le nombre irrationnel [cf. I, iv]. Pour dégager les notions arithmétiques de leur origine concrète (ou empirique), ou définit a priori le nombre irrationnel par la seule considération de l'ensemble des nombres rationnels; pais, quand on passe à l'application des nombres aux grandeurs, une fois les nombres rationnels appliqués, comme nous venons de le faire, à la ligne droite, on postule l'existence de points correspondant aux nombres irrationnels1. En un mot, on confère d'avance la continuité à l'ensemble des nombres réels, et Ton impose ensuite cette même continuité à la grandeur linéaire par l'intermédiaire de ces nombres, en admettant qu'elle fournit tous les points nécessaires à leur application.

8. Mais c'est là, croyons-nous, une interversion manifeste de la filiation naturelle des idées mathématiques, et un exemple frappant

!. Voir G. Cantor, Mémoire sur Ce* tension (Tun théorème de ta théorie des séries trigonomé triques, § 2, ap. Mathematische Annalen, t. V.

170 LIV. m. — GÉNÉRALISATION GÉOMÉTRIQUE DU NOMBRE

du conflit qui peut exister entre Tordre logique et Tordre rationnel. En effet, selon cette théorie, la continuité géométrique dériverait de la continuité arithmétique dont elle semble être la copie; tandis qu'en réalité c'est la continuité géométrique qui est le prototype de la continuité arithmétique. Ce n'est pas pour pouvoir appliquer tous les nombres réels à la ligne droite que Ton a inventé les points irrationnels et que Ton admet que la ligne est continue; c'est au contraire pour représenter tous les points d'une ligne continue par ellemême que Ton est obligé de créer les nombres irrationnels. Il ne faut pas croire que ce soient là deux hypothèses également gratuites, deux conceptions contraires, mais équivalentes, entre lesquelles il soit indifférent de choisir et permis d'hésiter. Elles ont sans doute la même valeur logique : car, après tout, il n'importe pas au résultat final que la continuité soit primitivement attribuée à l'ensemble des nombres réels ou à la grandeur linéaire, et communiquée ensuite de l'un à l'autre; mais elles sont loin d'avoir la même valeur rationnelle ou philosophique. En effet, il n'y a pas de raison, au point de vue arithmétique, pour transformer l'ensemble des nombres rationnels en un ensemble continu [v. Chap. i, 8,9], encore moins pour attribuer à la grandeur géométrique une continuité d'emprunt; mais si au contraire la continuité est essentielle aux grandeurs géométriques, il y a un intérêt évident à créer de nouveaux nombres pour la représenter d'une manière adéquate dans les formules de l'Analyse. Tant qu'on restait enfermé dans le domaine du nombre, essentiellement discontinu, il n'y avait aucune nécessité d'inventer les nombres irrationnels pour combler les coupures de l'ensemble des nombres rationnels; mais il y a maintenant une raison décisive pour introduire ces mêmes nombres comme signes de points qui existent effectivement, et que l'ensemble des nombres rationnels ne suffit pas à représenter : car s'il est naturel et nécessaire que l'ensemble des nombres rationnels offre des coupures, ces mêmes coupures sont incompatibles avec la continuité de la ligne droite, de sorte que ce serait la dénaturer que de la réduire à l'ensemble de ses points rationnels. En résumé, d'un côté Ton attribue à l'ensemble des nombres une continuité étrangère à leur essence, pour la supposer ensuite, tout aussi gratuitement, réalisée dans la grandeur géométrique; de l'autre côté, au rebours, on considère celle-ci comme essentiellement continue, et c'est pour en obtenir une représentation numérique complète qu'on est obligé de combler les lacunes de l'en-