CH. III. — APPLICATION DES NOMBRES IRRATIONNELS A LA DROITE

semble des nombres rationnels, et de lui faire épouser en quelque sorte la continuité de la grandeur. On n'invente donc pas de nouveaux points pour leur appliquer les nombres irrationnels; on invente de nouveaux nombres pour représenter les points irrationnels de la droite l. Ainsi les nombres irrationnels, que rien n'a pu justifier au point de vue purement arithmétique, deviennent légitimes et bien fondés dès qu'il s'agit d'appliquer le nombre au continu linéaire pour en représenter tous les états de grandeur ou tous les éléments.

9. Il ne faut pas oublier, d'ailleurs, que la distinction des points rationnels et irrationnels d'une droite est tout à fait artificielle et accidentelle, comme nous l'avons déjà remarqué : non seulement elle ne tient en aucune manière à la nature intrinsèque du continu linéaire, mais elle répugne à son homogénéité. En effet, on a vu plus haut [h, 10] que la « rationalité » de tel ou tel point de la droite indéfinie XY dépendait entièrement du choix du point B, lequel choix/en raison de l'uniformité parfaite de la droite, est absolument arbitraire et fortuit. Si l'on effaçait la division rationnelle marquée sur cette droite, à l'exception du point A (Fig. 3), el que Ton voulût la recommencer en prenant au hasard un nouveau point B, comme les points irrationnels sont infiniment plus nombreux que les points rationnels [II, îv, 5', il y aurait l'infini à parier contre w», ou un contre zéro, que le nouveau point B serait précisément un des points irrationnels de la précédente division, et que, par suite, aucun des nouveaux points marqués (c'est-à-dire rationnels) ne coïnciderait avec l'un quelconque des anciens ; en d'autres termes, tous les points de la nouvelle subdivision rationnelle seraient des points irrationnels de l'ancienne. Nous avons déjà donné deux exemples de ce fait remarquable : si, dans la figure J, on prenait pour étalon le segment AC au lieu du segment AB, ou si, dans la figure 6', on prenait pour étalon le segment AD au lieu du segment AB', tous les points rationnels de l'ancienne division deviendraient irrationnels, et tous les points de la nouvelle division seraient des points irrationnels de la division primitive. Concluons donc que la différence entre les points rationnels et irrationnels d'une droite est toute relative et purement nominale, et que tous ces points ont la même existence géométrique et la même « réalité ».

1. Voir Dkdekind, Stetiykeii und irralionale Zahlen, §§ 3 et î>.

10. Bien que nous n'admettions pas l'origine arithmétique de Tidée du continu, il faut néanmoins retenir ce fait considérable, à savoir que Ton peut construire analytiquement un continu numérique indépendant de toute intuition. 11 en ressort une conséquence très importante : c'est que la continuité n'appartient pas en propre et exclusivement aux grandeurs géométriques, et peut être logiquement conçue dans la catégorie du nombre pur. Sans doute, elle ne s'introduit rationnellement dans celle-ci qu'en passant par la catégorie de la grandeur, et nous croyons avoir établi que l'ensemble des nombres réels emprunte sa continuité à l'étendue linéaire à laquelle on l'applique. Mais il reste à savoir si l'idée de continuité est issue de l'intuition géométrique, c'est-à-dire de la perception sensible, ou si elle ne serait pas une idée rationnelle qui dépasse l'expérience et s'y ajoute pour la compléter et l'organiser, en un mot, une forme a priori de la perception et de la pensée. C'est là une question d'ordre critique que nous nous réservons de traiter dans la seconde Partie de cet Ouvrage [IV, m] : on entrevoit dès maintenant dans quel sens nous essaierons de la résoudre. Pour le moment, qu'il nous suffise de remarquer que la continuité parait constituer un caractère essentiel de la grandeur en général, et non pas seulement des grandeurs spatiales ou même des grandeurs réductibles au type linéaire, comme le temps. Par exemple, il semble inconcevable qu'une grandeur mesurable » quelconque, telle que la masse, puisse passer d'une valeur réelle à une autre sans prendre toutes les valeurs réelles intermédiaires, et, plus spécialement, d'une valeur rationnelle à une autre sans passer par une infinité de valeurs tant rationnelles qu'irrationnelles. Nous avons déjà vu [11, iv, 6] que l'idée de la continuité est le fondement indispensable de l'Analyse, qui ne s'applique pas seulement aux grandeurs géométriques, mais à toutes les grandeurs mesurables; et nous avons montré [ibid.y 12, 13] que les nombres transcendants, nécessaires pour exprimer la continuité de ces grandeurs, n'ont pas essentiellement une origine intuitive. Il est donc bien probable que cette idée de continuité est logiquement antérieure aux notions géométriques, bien qu'elle y trouve son application immédiate et sa principale incarnation *.