C'est-à-dire : qu'on peut représenter par un nombre

2. Aussi est-on porte ù se servir des grandeurs géométriques pour représenter toutes les autres grandeurs continues et soulager ainsi l'imagination; c'est sans doute pour cela que la continuité semble inhérente aux figures géométriques, et inséparable de retendue.

CH. m. — APPLICATION DES NOMBRES COMPLEXES AU PLAN 173

11. On vient d'établir une correspondance univoque et réciproque entre tous les nombres réels et tous les points de la droite indéfinie XY; l'ensemble complet des nombres réels se trouve ainsi justifié par son application au continu linéaire, ou, plus généralement, à toute grandeur linéaire, divisible et continue, à deux sens inverses l'un de l'autre.

Quanta l'ensemble des nombres complexes, il ne peut se justifier que par son application aux grandeurs superficielles. En effet, chaque nombre complexe étant un couple de nombres réels indépendants, si chacun de ces deux nombres prend successivement toutes les valeurs réelles, le nombre complexe qu'ils composent parcourra un ensemble de valeurs à double entrée ou à deux dimensions, chacune de ces entrées ou dimensions étant constituée par l'ensemble des nombres réels; cet ensemble sera d'ailleurs continu comme les deux ensembles linéaires qui en forment les entrées, de sorte qu'il sera convenablement représenté, en Géométrie, par une étendue à deux dimensions, c'est-à-dire par une surface. Mais cette représentation générale est trop vague et trop arbitraire, et d'ailleurs toute surface n'est pas également propre à l'application des nombres complexes. On a choisi pour cela la plus simple et la plus uniforme de toutes les surfaces, à savoir le plan. On mène dans le plan deux axes rectangulaires quelconques, XX', YY\ qui se coupent en O (Fig. 7). Sur ces deux droites indéfinies dans les deux sens on porte, à partir du point O, un même segment pris pour étalon, de manière à opérer la division entière des deux axes, c'est-à-dire à déterminer sur chacun d'eux une suite de points équidistants correspondant à tous les nombres entiers qualifiés. On choisit à volonté sur chaque axe le sens positif: soit OX sur XX', et OY sur YY\ Puis on effectue la subdivision rationnelle des deux axes, comme il a été indiqué au Chapitre n [§ 7|. Les points irrationnels de chaque axe seront définis, comme on l'a vu plus haut, par des coupures de l'ensemble des points rationnels, ou par des suites infinies de points rationnels. En un mot, l'ensemble continu des nombres réels se trouvera appliqué tout entier sur chacun des deux axes, le point O correspondant, sur l'un comme sur l'autre, à zéro.

12. Cela posé, la position de chaque point du plan sera définie par deux nombres réels appelés coordonnées. En effet, soit M un point quelconque pris dans le plan ; menons par ce point deux droites parallèles respectivement à XX' et à YY' (c'est-à-dire perpendiculaires respectivement à YY' et à XX'). La droite parallèle à YY" rencontrera Taxe XX' en un point P marqué par le nombre réel x;

Fi p. 7.

la droite parallèle à XX' rencontrera Taxe YY' en un point 0 marqué par le nombre réel y; la réunion de ces deux nombres réels a? et y représentera le point M. Pour mieux associer ces deux nombres et en former un nombre complexe unique, on les écrira comme suit :

la lettre i servant à indiquer celui des deux nombres réels qui se trouve sur Taxe YY', et par suite à distinguer les deux coordonnées du point M, quel que soit Tordre dans lequel on les écrit. Celle notation permet d'intervertir le binôme symbolique [x + iij) et de le traiter comme un binôme réel [I, ni, 10]. Les deux points P et Q étant déterminés sans ambiguïté par la construction précédente, les

CH. ni. — APPLICATION DES NOMBRES COMPLEXES Al" PLAN 175

deux nombres réels or et y sont bien déterminés, et par conséquent au point donné M correspond le nombre complexe unique et déterminé (x -h iy).

13. Inversement, à chaque nombre complexe ^x -+- iy) correspond un point unique et déterminé du plan. En effet, donner un nombre complexe (x-f- t'y), c'est donner deux nombres réels x et y bien déterminés. Prenons sur XX' le point qui correspond au nombre réel x : on sait que ce point existe, et qu'il est unique ; soit P ce point. Prenons de même sur YY' le point unique Q qui correspond au nombre réel y ; menons par P une parallèle à YY', par Q une parallèle à XX' : ces deux droites (étant perpendiculaires à deux axes perpendiculaires entre eux) se couperont nécessairement en un point unique M. Ce point M représentera le nombre complexe (x -h îy), et le nombre (x -h iy) sera dit appliqué au point M : il pourra servir à le marquer sur le plan, ou à le désigner dans la notation. Ainsi se trouve établie une correspondance univoque et réciproque entre tous les nombres complexes et tous les points du plan, par suite de la correspondance adéquate établie entre l'ensemble des nombres réels et chacun des deux axes XX', YY'.

On a Thabitude d'appeler XX' Yaxe aes quantités réelles, et YY' Y axe des quantités purement imaginaires, parce que les coordonnées qu'on doit porter sur celui-ci sont affectées du symbole d'imaginarité i; mais ces locutions sont vicieuses, car, ainsi qu'on vient de le voir, les nombres marqués sur YY' sont tout aussi réels que ceux que porte l'axe XX'. D'ailleurs, le choix de l'axe des quantités réelles est tout à fait arbitraire, et si l'on avait pris YY' pour cet axe, c'est XX' qui serait l'axe des quantités purement imaginaires. Tout dépend de la convention, absolument gratuite, par laquelle on regarde l'un des axes tracés sur le plan comme le premier : la lettre t caractérise alors les coordonnées portées sur l'autre axe, perpendiculaire au premier; c'est pourquoi l'on dit quelquefois que i est un symbole de perpendicularité. Quoi qu'il en soit, les points des deux axes ont la même valeur géométrique, et par suite tous les points du plan ont la même « réalité » : le point M, par exemple, existe au même titre que le point P et le point Q, qui sont ses projections sur les deux axes. Néanmoins, et bien que l'ensemble des nombres réels soit appliqué aussi bien à l'axe YY' qu'à l'axe XX', il est d'usage de ne considérer comme réels que les points de l'axe XX', de même que l'on n'appelle réels que les nombres

i76 LIV. III. — GÉNÉRALISATION GÉOMÉTRIQUE DU NOMBRE

complexes de la forme (x -h vj) où y est nul. Ainsi, de même que l'ensemble des nombres réels rentre dans l'ensemble des nombres complexes, et correspond au cas particulier où le coefûcient de i s'annule, de même l'ensemble linéaire des points réels fait partie de l'ensemble des points complexes : dans l'étendue à deux dimensions que forme le plan ou, en général, une surface quelconque, l'ensemble des points réels forme une ligne (droite) continue; d'ailleurs, n'importe quelle ligne droite indéfinie du plan peut être prise pour axe des quantités réelles. En résumé, l'ensemble des points du plan se trouve représenté d'une manière exacte et complète par la totalité des nombres complexes (à éléments réels), et inversement l'ensemble des nombres complexes se trouve entièrement appliqué sur le plan. 14. Ici se pose une question qui paraîtra oiseuse aux mathématiciens, mais qui offre un grand intérêt philosophique. On peut se demander si toutes ces applications des nombres aux grandeurs géométriques sont de pures conventions, ou si elles sont fondées sur une certaine analogie de nature, sur une affinité secrète des grandeurs et des nombres : dans ce dernier cas, la correspondance établie entre ces deux catégories se justifierait par une sorte d'harmonie préétablie entre les grandeurs à représenter et les nombres qui les représentent. C'est ce que Pascal semble affirmer dans cette phrase, qui a servi d'épigraphe à Cournot f : « Les nombres imitent l'espace, qui sont de nature si différente * ». A cette question s'en joint une autre, celle de savoir si les divers ensembles de nombres ont été constitués en vue de leur application à l'espace, ou si, au rebours, on a imaginé après coup une représentation géométrique afin de leur donner un substratum intuitif. Pour les nombres rationnels, il parait bien probable qu'ils ont été inventés pour représenter des grandeurs concrètes, et c'est la conclusion qui ressort du Chapitre précédent. Mais pour les nombres complexes, dont l'origine est incontestablement algébrique, il semble, tout au contraire, qu'on ait recherché de propos délibéré une représentation géométrique appropriée, de sorte que leur application au plan a un caractère artificiel et voulu. De plus, il parait assez naturel, une fois les nombres entiers appliqués à la ligne droite, de chercher sur cette même ligne les points d'application des nombres fractionnaires, né-