CU. III. — APPLICATION DES NOMBRES COMPLEXES AU PLAN

galifs et irrationnels, qui composent avec les premiers un ensemble linéaire; tandis que pour trouver l'application géométrique des nombres complexes, il faut sortir de l'étendue linéaire et occuper tout le plan, c'est-à-dire recourir à une seconde dimension, ce qui a quelque chose de factice et d'arbitraire.

15. Mais cette différence n'est qu'apparente, et la représentation géométrique des nombres complexes n'est ni plus ni moins conventionnelle que celle des nombres réels. Si les nombres complexes n'ont de « réalité » que lorsqu'on les a appliqués aux grandeurs à deux dimensions, les nombres négatifs, eux non plus, n'ont de sens et d'intérêt que par leur application aux grandeurs linéaires à deux sens inverses; et cependant, d'autre part, les nombres négatifs se présentent en Algèbre comme racines « imaginaires » de l'équation du premier degré, de même que les nombres complexes apparaissent comme racines « imaginaires » de l'équation du second degré. Il ne faut donc pas croire que les nombres complexes aient par euxmêmes une sorte d'existence algébrique, tandis que les nombres négatifs, par exemple, ne pourraient se justifier que par leur application à la Géométrie. On serait plutôt tenté de soutenir le contraire, et cette présomption serait tout aussi plausible, car les nombres négatifs semblent encore plus faciles à justifier, au point de vue arithmétique, que les nombres imaginaires. La vérité est que les uns et les autres ont exactement la même valeur et le même sort ; ils n'ont aucun sens en Arithmétique pure, et s'ils en ont un en Analyse, c'est grâce à la signification géométrique qu'on leur attribue.

16. Sans doute, il subsiste toujours une certaine différence dans la manière dont on introduit, encore aujourd'hui, les nombres négatifs et les nombres imaginaires, et dont on les justifie par leur application aux grandeurs spatiales. Mais ce défaut de symétrie tient simplement à des circonstances historiques, et ne contredit nullement l'analogie rationnelle qui existe entre ces deux classes de nombres, tant au point de vue de l'Algèbre qu'à celui de la Géométrie. Le contraste apparent que nous venons d'exposer et de dissiper vient, croyons-nous, de ce que la représentation géométrique des nombres complexes est d'invention beaucoup plus récente * que

i. Argaicd, Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométrique*, 1806.

celle des nombres négatifs, qui date de Descartes. L'application des nombres réels au continu linéaire nous paratt plus naturelle, parce qu'elle est plus ancienne, et par suite nous est devenue habituelle et familière. Mais il su Ait de remonter au commencement de ce siècle pour voir avec quelle défiance et quel embarras les algébristes admettaient les solutions négatives, jadis qualifiées de « fausses ». Nous avons résumé ci-dessus [i, 14-16] la manière de voir de Carnot à ce sujet ; nous n'ajouterons ici qu'une simple indication, qui montrera bien à quel point les valeurs négatives étaient encore pour ce grand géomètre un objet de scandale : selon Carnot, l'équation d'une courbe (en coordonnées cartésiennes) ne serait valable et vraie que dans le premier quadrant (c'est-à-dire dans l'angle droit XOY, Fig. 7), où x et y ont des valeurs positives, et ce serait faire une « fausse supposition » que de la regarder « comme immédiatement applicable » aux trois autres quadrants, c'est-à-dire à tout le plan M À la même époque, Gauss, un des esprits les plus puissants et les plus hardis qui aient enrichi la science de leurs inventions, se trouvait dans un état d'esprit analogue à l'égard des imaginaires, ne sachant si l'on devait les admettre ou les rejeter de l'Algèbre, ni surtout quel sens il convenait de leur attribuer *, et n'a découvert leur application géométrique qu'en 1831, vingt-cinq ans après Argand; tandis qu'à présent la représentation intuitive des nombres complexes est devenue aussi courante que celle des nombres qualifiés, et paratt, comme elle, inséparable des nombres correspondants et indispenpensable à l'Analyse. Peu importe donc que les nombres complexes aient eu, historiquement, une origine algébrique ou géométrique ; qu'on les ait inventés pour les appliquer au plan, ou qu'on ait imaginé un plan pour les représenter. Ce qui est sûr, c'est qu'ils n'ont existé, à proprement parler, au point de vue rationnel, que le jour où l'on en a trouvé une représentation géométrique, et que de ce jour datent véritablement leur emploi régulier en Mathématiques, leur utilité et surtout leur fécondité s.

1. Réfleorions sur la Métaphysique du Calcul infinitésimal. Noie, n» 18 (p. tM). — Il va sans dire que cette critique s'adresse bien moins à Caiinot qu'à son temps; la citation précédente est uniquement destinée à prouver que le dernier des mathématiciens peut avoir aujourcC h ni des idées plus claires et plus justes sur la philosophie mathématique que tel savant illustre, dont le génie est incontestable, et incontesté.