CE. IV. — APPLICATION DES NOMBRES COMPLEXES AUX VECTEURS

c'est-à-dire dans le sens X'X; et si b a sa partie imaginaire plus grande que celle de a,

le point B sera en avant du point A dans le sens des y croissants, c'est-à-dire dans le sens Y'Y. Par exemple, si les axes sont placés comme dans les figures 7 et 8, le point A sera à droite du point B, et le point B au-dessus du point A. En résumé, toutes les inégalités entre les nombres sont figurées, avec leur sens, par la position relative des points correspondants, de même que l'égalité de deux nombres est figurée par la coïncidence de leurs points représentatifs.

xt

Fig. 8.

2. Le plan est donc complètement représenté par l'ensemble des nombres complexes au point de vue de Yordre de ses éléments (points); mais nous n'avons pas encore de représentation numérique pour les grandeurs géométriques situées dans ce plan, notamment pour la distance de deux points quelconques. Jusqu'ici, en effet, les nombres complexes correspondent simplement à des points; nous allons maintenant les faire correspondre à des grandeurs dirigées, c'est-à-dire à des segments de droites ou vecteurs.

Joignons chaque point M du plan au point 0 par une ligne droite {Fig. 9). Cette construction est possible, et d'une manière unique; car on sait que deux points déterminent une droite, et une seule. Sur cette droite indéfinie les points 0 et M délimitent un segment fini que nous désignerons par OM : le point 0 se nomme son origine, le point M s'appelle son extrémité. Comme tous les segments ou vecteurs tels que OM ont la même origine, savoir le point 0 qui leur est commun, chacun d'eux est entièrement déterminé par son extrémité. Il est donc naturel de désigner le segment OM par le nombre qui marque son extrémité M, car ce nombre suffit à le caractériser. Ainsi, donner un nombre (réel ou complexe), c'est donner un point du plan, et en même temps le rayon vecteur de ce point, c'est-à-dire le segment rectiligne qui le joint à l'origine 0. La même correspondance univoque et réciproque, qui existait déjà entre l'ensemble des nombres complexes et tous les points du plan, se trouve maintenant établie entre le même ensemble et tous les rayons vecteurs issus du point 0 et terminés à un point quelconque du plan.

3. Le rayon vecteur d'un point est ainsi représenté par Yaffixe de ce point, c'est-à-dire par le nombre complexe (x -h iy) qui correspond à ce point; il est donc, en somme, défini par les deux coordonnées (x, y) de ce point, c'est-à-dire par deux nombres réels. Mais on peut encore le définir autrement, à savoir par sa longueur et par sa direction. On appelle longueur d'un segment rectiligne le segment réel et positif auquel il est égal en grandeur (c'est-à-dire superposable). Pour déterminer la longueur du segment OM, il suffit de le rabattre sur l'axe des x positifs OX en le faisant tourner autour de l'origine O {Fig. 9). Le point M viendra coïncider avec un point M' de cet axe; ce point M' a pour affixe un nombre réel positif p, qui représente par suite le segment réel OM'; le nombre p représentera donc la longueur du segment OM. On dit, par abréviation, que p est la longueur de ce segment. La distance du point M au point 0 est par définition la longueur du vecteur OM.

Quant à la direction du segment OM, elle est définie par la quantité dont ce segment a tourné pour venir coïncider avec l'axe des a:, c'est-à-dire par l'angle MOX que ce segment (dans sa position initiale) fait avec OX. On représente cet angle par une longueur d'arc de cercle, suivant une méthode qu'il serait trop long d'exposer ici; de sorte qu'il se trouve finalement exprimé par un nombre réel et positif 0 toujours inférieur à 2rc. De même que l'on confond dans le

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langage la longueur du vecteur OM avec le nombre p qui la représente, on confond aussi Yangle MOX avec le nombre 0 qui lui correspond en vertu d'une certaine convention, et Ton dit couramment: la longueur ç, Yangle 0. Ces deux nombres réels et positifs sont ce qu'on appelle les coordonnées polaires du point M, par opposition aux coordonnées cartésiennes ou rectangulaires du même point, qui sont les nombres réels qualifiés x et y. Nous avons vu [m, 13] comment on peut construire le point du plan qui a pour coordonnées rectangulaires les nombres réels x et t/, c'est-à-dire qui a pour affixe le nombre complexe (x -h *'»/), et par suite le vecteur OM qui représente ce même nombre. Nous allons montrer que les deux nombres p et 0 déterminent aussi complètement le point dont ils sont les coordonnées polaires, et en même temps le rayon vecteur de ce point.

Fig. 9.

4. Prenons en effet sur OX (Fig. 9) le point M' marqué par le nombre réel positif p, et faisons tourner le segment OM' autour de l'origine, dans un sens déterminé !, d'un angle correspondant au

1. A savoir le sens qu'on est convenu une fois pour toutes de regarder comme sens positif de rotation, et dans lequel on compte les angles positifs.

484 LIV. m. — GÉNÉRALISATION GÉOMÉTRIQUE DU NOMBRE

nombre réel positif 6 : on construira ainsi le segment OM, unique et déterminé en grandeur et en position. Le point H lui-même, obtenu par cette construction, sera aussi unique et bien déterminé. On voit que les coordonnées polaires d'un point représentent plus particulièrement le rayon vecteur de ce point, avec sa longueur et sa direction, tandis que les coordonnées cartésiennes, et le nombre complexe qui en est formé, représentent directement le point, et indirectement son rayon vecteur. Il y a donc intérêt à pouvoir calculer la longueur et la direction d'un vecteur, connaissant l'abscisse et l'ordonnée de son extrémité (qui sont les projections de ce vecteur sur les axes rectangulaires), et inversement. On passe des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires d'un point par les formules

ftt»/»fcr IL

o = y/x* -h y* 6 = arctg

JC

et des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes par les formules inverses

x = p cos 0 y = p sin 6

Par cette dernière transformation, le nombre complexe devient

x -h- iy = p (cos 0 -h i sin 0)

ou, en transformant la parenthèse en exponentielle [v. II, iv, 13] :

x -h- iy = p côt

Dans ce produit, p est la valeur absolue du nombre complexe, et représente la longueur du vecteur correspondant; le facteur e6\ dont la valeur absolue est 1, représente un vecteur de longueur 1 et de même direction (0 est dit l'argument du nombre complexe).

5. Maintenant que les nombres complexes sont appliqués, non plus aux points du plan, mais aux grandeurs dirigées issues de l'origine, une variable complexe ne représente plus un point en mouvement dans le plan, mais les variations correspondantes du vecteur qui a ce point pour extrémité. La suite des valeurs que prend successivement un nombre complexe variable est donc figurée, non seulement par la suite des positions d'un point mobile (en général une courbe), mais aussi par la suite des états par lesquels passe une grandeur dirigée variable. Ainsi Ton peut considérer l'ensemble des nombres complexes à un double point de vue : soit comme repré-

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sentant l'ensemble des points du plan, c'est-à-dire l'ensemble des positions que peut prendre un point mobile; soit comme représentant l'ensemble des vecteurs issus du point 0 et dirigés dans ce plan, c'est-à-dire l'ensemble des états de grandeur par lesquels peut passer un même segment rectiligne. Par exemple, l'ensemble des nombres réels représente tous les états de grandeur d'un segment ayant pour origine le point fixe 0 et pour extrémité un point mobile qui parcourrait toute la droite X'X; et le même nombre qui représente la position de ce point sur Taxe des x représenterait aussi le segment correspondant. En particulier, quand le point mobile vient coïncider avec le point 0 (ce qui arrive nécessairement quand il passe d'une manière continue de OX' sur OX), le segment correspondant sera représenté par le nombre 0. Zéro représente donc l'état de grandeur d'un segment dont l'extrémité coïncide avec l'origine; et tout segment qui varie d'une manière continue doit passer par cet élat en changeant de signe, c'est-à-dire de sens '.

6. Il faut bien remarquer, d'ailleurs, que ce mouvement idéal d'un point, qui est commode pour figurer dans l'intuition la variation continue d'une grandeur, n'engendre ni n'explique la continuité de ses états de grandeur : bien au contraire, il présuppose cette continuité donnée. En effet, de même qu'un nombre variable suppose données toutes les valeurs fixes qu'il prendra successivement, de même on point mobile ne peut se mouvoir que dans une étendue où sont données d'avance toutes les positions qu'il doit occuper, c'est-à-dir& tous les points fixes avec lesquels il devra tour à tour coïncider; et une grandeur variable exige, pour varier, un ensemble donné d'états de grandeur fixes par lesquels elle devra passer. Loin donc de rendre concevable la continuité des étals de grandeur qu'il relie les uns aux autres, le mouvement ne peut se concevoir que dans un domaine de variabilité essentiellement fixe et continu. Pour qu'on puisse dire qu'un même point passe par une suite continue de positions, ou qu'une même grandeur prend une suite continue de valeurs, il faut

i. Ces considérations réfutent cette assertion paradoxale de P. ou Bois-Rbymosd, d'autant plus étrange qu'il la met dans la bouche de son Idéaliste (c'est-àdire d'un infini liste conséquent avec lui-môme) : « Le zéro n'appartient pas au domaine des quantités réelles; il n'est pas une quantité »; de sorte qu'on peut faire parcourir à une variable l'ensemble des valeurs positives et négatives, finies et infiniment petites, sans la Taire passer par zéro. Nous apprécierons ailleurs [IV, i, 15] l'argument, purement imaginatif, que l'auteur apporte à l'appui de cette thèse bizarre. {Théorie générale des fonctions, trad. Milliaud et Girot; chap. i : Système de V Idéaliste.)

que ces valeurs ou ces positions soient préalablement données avec leur continuité stable, sans quoi l'identité du point mobile ou de la grandeur variable serait inconcevable, et Ton n'aurait plus affaire aux divers états d'une grandeur ou aux diverses positions d'un point, mais à des ensembles de points ou de grandeurs également fixes y mais discrets.

7. L'ensemble des nombres complexes correspond désormais à l'ensemble des vecteurs ayant pour origine commune le point O et pour extrémités respectives tous les points du plan. Mais il y a dans le plan une infinité d'autres vecteurs ayant une autre origine que O; et d'ailleurs le point O est un point quelconque du plan, et ne se distingue des autres que par le choix absolument arbitraire des axes; de sorte que si l'on transportait les axes et l'origine en un autre point du plan, toutes les constructions précédemment décrites seraient à recommencer, et les nombres complexes correspondraient à la fois à d'autres points et à d'autres vecteurs. Il convient donc de chercher, dans le système de coordonnées choisi et en supposant les axes Jixes, une représentation numérique pour tout segment rectiligne déterminé par deux points quelconques du plan.

Soient A et B ces deux points quelconques; ils déterminent, comme on sait, une droite, et une seule. Pour définir complètement le segment AB découpé sur cette droite par les deux points A et B, il ne suffit pas de donner ces deux points extrêmes, qui fixent sa direction et délimitent sa longueur : il faut encore indiquer le sens du segment, c'est-à-dire désigner son origine et son extrémité. On convient de distinguer ces deux points dans la notation en écrivant d'abord l'origine, puis l'extrémité. Par exemple, si A est pris pour origine et B pour extrémité du segment, on écrira celui-ci sous la forme AB. Si au contraire B était l'origine et A l'extrémité, on écrirait le segment sous la forme BA. Ainsi tout segment rectiligne, considéré comme une figure géométrique déterminée par les deux points A et B, peut être pris en deux sens contraires, et donne lieu, par suite, à deux segments distincts, le segment AB et le segment BA. Deux tels segments sont dits symétriques l'un de l'autre; ils ne diffèrent que par le sens, et se déduisent l'un de l'autre par la permutation de leur origine et de leur extrémité.

Cela posé, l'ensemble des nombres complexes suffit encore à représenter tous les segments situés dans le plan, grâce à la définition de leur égalité géométrique (équipollence), par laquelle on ramène

un segment quelconque à un segment ayant pour origine 0 !.

8. Définition de légalité des vecteurs. — Deux segments sont dits fquipollents quand ils ont même longueur, même direction et même sens.

Deux segments ont même longueur quand ils sont égaux en grandeur absolue, c'est-à-dire quand on peut amener l'un d'eux à coïncider avec l'autre par un déplacement quelconque.

Deux segments ont même direction, quand ils appartiennent à la même droite ou à des droites parallèles.

Si deux segments ont même longueur et même direction, on peut les amener à coïncider en déplaçant l'un d'eux parallèlement à luimême (ou suivant sa propre direction). On dit alors qu'ils ont même sens, si leurs origines et leurs extrémités coïncident respectivement entre elles; ils sont de sens opposés dans le cas contraire, où l'origine de l'un coïncide avec l'extrémité de l'autre.

Dans ce dernier cas, les deux segments (envisagés dans leur situation primitive) sont encore dits symétriques l'un de l'autre; en effet, chacun d'eux est équipollent au symétrique de l'autre.

Pour deux segments de même direction, mais de longueurs différentes, on peut toujours les superposer partiellement, en déplaçant l'un d'eux parallèlement à lui-même, de manière à faire coïncider leurs origines. On dit alors qu'ils sont de même sens ou de sens opposés, suivant que, sur leur direction commune, leurs extrémités tombent d'un même côté de leur origine commune, ou de différents côtés. Il est aisé de voir que cette définition du sens, plus générale que la précédente (qui suppose que les segments ont même longueur), concorde avec elle dans le cas particulier où les segments sont égaux en grandeur, c'est-à-dire exactement superposables.

Pour deux segments de direction différente, d'ailleurs, l'expression « avoir le même sens » n'a aucun sens : on ne compare deux segments sous le rapport du sens que lorsqu'ils ont même direction.

Tout segment dont l'extrémité coïncide avec son origine est équipollent au segment 00, représenté par le nombre 0 [5]; on dit, par abréviation, qu'il est égal à zéro, ou nul.

9. 11 est souvent commode de se figurer un segment comme la trajectoire rectiligne d'un point mobile dans le plan, l'origine du seg-

1. Pour tout ce qui suit, cf. Bell a vins, Exposition de la méthode des équipollences, trad. Laisant.

ment étant considérée comme le point de départ, et l'extrémité comme le point d'arrivée. Celte fiction a l'avantage de représenter d'une manière intuitive le sens du segment, et d'en distinguer le point initial et le point final. Mais elle n'est nullement essentielle à l'idée, toule statique, du segment * ; et si cette considération surajoutée a, comme beaucoup d'autres applications de la cinématique à la géométrie, une certaine utilité, elle n'est point nécessaire.

De môme, nous avons imaginé plus haut qu'on transporte un segment parallèlement à lui-même, de telle sorte qu'il ne cesse pas d'être équipollent à soi-même. Cette fiction est commode dans les raisonnements, et parle à l'imagination. Mais elle équivaut simplement à la construction d'un segment équipollent au segment fixe considéré. Toutes les fois que nous parlerons du déplacement d'un segment, il sera sous-entendu qu'il s'agit d'une translation sans rotation, de manière que le segment reste équipollent à soi-même dans toutes ses positions. Cela revient h dire que sa position initiale et sa position finale sont deux segments fixes cquipollents.

En particulier, on peut transporter un segment quelconque à l'origine, de telle sorte que son origine vienne coïncider avec le point 0; en d'autres termes, on peut construire un segment ayant 0 pour origine et équipollent à un segment donné quelconque.

10. Convention. — Tout segment du plan sera- représenté par le même nombre que le segment équipollent issu de l'origine.

De cette convention il résulte immédiatement qu'un segment quelconque du plan est représenté par un nombre complexe, et que des segments équipollents sont représentés par un nombre complexe identique.

Soient deux points quelconques A, B du plan; et soit

ft»

x -+- vj = p ew

le nombre complexe qui représente le segment AB, c'est-à-dire le segment OM équipollent à AB (Fig. 9). La distance des deux points A et B est, par définition, la longueur du segment qui les joint; or AB a même longueur que OM, dont la longueur est p. Donc le nombre p représente la dislance des deux points A et B. Ainsi la longueur d'un segment quelconque est égale à la valeur absolue du nombre complexe correspondant.