Cf. PadA, Algèbre élémentaire, n

D'autre part, AB et OM, ayant même direction et même sens, font le même angle avec OX, soit 6. Cet angle, qui définit Y orientation du segment AB dans le plan, peut être appelé Vazimul de AB. Ainsi l'azimut d'un segment quelconque est égal à l'argument du nombre complexe correspondant [4, Un].

Remarque. — Si deux segments sont de sens opposés (ce qui suppose qu'ils ont même direction), leurs azimuts diffèrent de deux angles droits, c'est-à-dire de -k : car, en les transportant à l'origine, on trouverait deux segments situés dans le prolongement l'un de l'autre, tels que OM et OM"; or on sait que l'angle M"OX (0') est égal à l'angle MOX (0) plus deux droits :

6' = 0 H- it.

Ainsi, pour que deux segments soient équipollents, il faut et il suffit qu'ils aient même longueur et même azimut.

Les projections du segment AB sur les deux axes rectangulaires sont respectivement :

x = pcos0, y = p sin 6.

En effet, si Ton mène, par l'origine A du segment, AZ parallèle à OX, et qu'on abaisse, de l'extrémité B, BK perpendiculaire sur AZ, les projections en question seront égales respectivement à AK, BK. Or, soient OP,OQ les projections sur les deux axes du segment OM équipollent à AB, c'est-à-dire les coordonnées x, y du point M. Les triangles ABK, OMP sont égaux, donc

AK == OP = x, BK = MP =. OQ = y.

A présent que tous les segments du plan sont représentés par des nombres complexes, de telle sorte qu'à des segments égaux (c'est-àdire équipollents) correspondent des nombres égaux (c'est-à-dire identiques), et réciproquement, il reste à définir les combinaisons de ces segments entre eux, et à les représenter par des opérations sur les nombres correspondants, c'est-à-dire à trouver, par des calculs numériques, le nombre complexe qui correspond au résultat de telle* ou telle combinaison géométrique de segments connus.

11. Définition de V addition des vecteurs. — On appelle somme géométrique 1 de deux segments donnés AB, A'B', le segment qu'on obtient en construisant, du point B pris comme origine, un segment BC équipollent à A'B', et en joignant AG (Fig. 1 0).

i. En mécanique, la somme géométrique prend le nom de résultante.

On peut encore dire que Ton transporte le segment A'B' au bout du segment AB, de manière que l'origine du premier coïncide avec l'extrémité du second [9].

Fig. 10.

On vérifierait aisément que cette définition satisfait aux conditions générales de toute combinaison additive, savoir : 1° Loi commutative :

2° Loi associative :

a-h ô -h c .--: a -+- (h H- c ) ; 3" Loi du module (zéro) :

11 en résulte que, dans une somme d'un nombre quelconque de segments, ou peut intervertir leur ordre et en remplacer plusieurs par leur somme géométrique effectuée. On peut toujours, pour simplifier, ramener les segments donnés à l'origine, puisque Ton peut transporter un segment n'importe où dans le plan, et que la place du segment-somme à construire est également indéterminée.

1. Kn effet, un ne change pas un segment en lui ajoutant un segment nul [9].

CH. IV. — TUÉOKIE DES BQUIPOLLENCES 191

La loi commutative, par exemple, se vérifie alors intuitivement. En effet, soient OM, ON les deux vecteurs respectivement équipollents aux segments AB, A'B' donnés; on doit mener MR équipolient à A'B' : OR est la somme géométrique cherchée. Or si Ton joint NR, on complète le parallélogramme OMRN : donc NR est équipolient (égal et parallèle) à OM, c'est-à-dire à AB, et le vecteur OR, qu'on peut obtenir en ajoutant NR à ON, est aussi la somme géométrique de A'B' et de AB (pris dans cet ordre) f.

12. Nous allons maintenant chercher la traduction numérique de cette combinaison géométrique appelée addition, c'est-à-dire définir quelles opérations il faut effectuer sur les nombres qui représentent les vecteurs donnés pour trouver le nombre qui représente leur somme géométrique.

Supposons d'abord que les deux vecteurs OM, ON correspondent à des nombres réels (qualifiés) a, p, c'est-à-dire soient portés sur Taxe des x dans un sens ou dans l'autre, et cherchons quel est le nombre qui correspond à leur somme géométrique : ce nombre sera, par définition, la somme arithmétique * des deux nombres <x et p.

I. — Si les nombres x et p sont tous deux positifs, c'est-à-dire si les deux vecteurs sont portés sur OX, leur somme géométrique sera aussi portée sur OX (dans le même sens), et elle aura pour longueur la somme des longueurs des deux vecteurs. Donc la somme arithmétique des nombres oc et p sera égale à la somme de leurs valeurs absolues, prise positivement 3.

II. — Si les deux nombres a et p sont négatifs, les vecteurs seront tous deux portés sur OX'; leur somme géométrique sera encore portée dans le même sens. Tout se passe donc, au sens près, comme dans le cas précédent; le signe seul a changé pour les deux vecteurs et pour leur somme géométrique. La somme arithmétique des deux nombres sera donc égale à la somme de leurs valeurs absolues, prise négativement.