La loi associative se vérifierait tout aussi aisément

2. On a coutume de l'appeler « somme algébrique •, mais nous évitons à dessein d'employer cette locution, pour des raisons qu'on verra plus loin.

3. Nous admettons ici implicitement, pour abréger, que le nombre absolu qui représente la longueur tolale de deux segments mis bout à bout sur une même droite est la somme arithmétique des nombres absolus qui représentent les longueurs de ces deux segments. Gela est presque évident et serait d'ailleurs facile à démontrer, en considérant d'abord deux nombres entiers, puis deux nombres fractionnaires, enfin deux nombres irrationnels. La proposition serait ainsi établie pour deux nombres arithmétiques quelconques.

III. — Si enfin les deux vecteurs OM, ON sont portés en sens opposé (c'est-à-dire si les nombres x et p sont de signes contraires), leur somme géométrique s'obtiendra par la règle générale; mais ici, il sera commode de figurer les deux segments par le mouvement d'un point qui les décrit successivement, chacun dans son sens, c'est-à-dire de l'origine à l'extrémité [9]. En général, pour construire la somme géométrique de deux segments quelconques, il faut faire décrire au point mobile, d'une manière continue, d'abord un segment équipollent au premier, puis un segment équipollent au second, et joindre le point de départ du point mobile à son point d'arrivée1. Puisque, d'ailleurs, l'ordre des deux segments à ajouter est indifférent (en vertu de la loi commutative [11]), nous pouvons toujours supposer le premier segment, OM, positif; soit -haie nombre qui le représente. Le point mobile devra commencer par décrire OM; pour cela, il parcourra, à partir du point 0, dans le sens (positif) OX, une longueur égale à a. Si on lui fait décrire ensuite un segment équipollent à ON (représenté par le nombre — 6), il devra parcourir sur XX', dans le sens OX', une longueur égale à b. En résumé, le point mobile, parti de l'origine dans le sens OX, a avancé de a et reculé de b.

Trois cas peuvent se présenter, suivant que la longueur a est supérieure, égale ou inférieure à la longueur b.

1° Si b ; a, le point mobile restera sur le demi-axe OX et s'arrêtera en derà de l'origine; la somme géométrique engendrée parce point sera donc positive, et aura une longueur égale à (a — 6), de sorte qu'elle sera représentée par le nombre positif

2° Si b = h, le point mobile reviendra exactement à l'origine : son point d'arrivée coïncidant avec son point de départ, la somme géométrique sera nulle; elle sera donc représentée par le nombre nul

3° Si b ; a, le point mobile dépassera l'origine et s'arrêtera sur l'autre demi-axe OX' : la somme géométrique sera alors négative,

1. Par exemple (F<V/. 10) le point mobile décrit AB, puis BC; la somme géométrique est A(-.

Cfl. IV. — THÉORIE DES ÉQUIPOLLENCES 193

et aura une longueur égale à [b — a) ; elle sera donc représentée par le nombre négatif

On retrouve ainsi, justifiées par la Géométrie, les règles de l'addition des nombres qualifiés, comme conséquence naturelle de la règle générale d'addition des vecteurs réels [I, ir, 12, 20].

13. En même temps se trouve établie la formule de Môbius pour la ligne droite, à savoir

AB -f- BC = AC,

A, B, C élant trois points quelconques d'une droite quelconque (qu'on peut toujours prendre pour axe des x). Cette formule signifie que le nombre qui correspond à la somme géométrique de deux segments est la somme des nombres qui correspondent à ces segments. Or cela résuite des conventions précédentes, car nous avons défini précisément la somme de deux nombres qualifiés par le nombre qui représente la somme géométrique des deux vecteurs correspondants '.

14. Considérons enfin le cas général où les deux segments donnés sont situés d'une manière quelconque dans le plan, c'est-à-dire sont représentés par deux nombres complexes quelconques

x = xx H- \yv p = xt -h it/t.

11 s'agit de trouver quelle combinaison des nombres complexes % et p, c'est-à-dire des nombres réels ar„ x„ yv yt qui les composent, traduira les additions géométriques des segments correspondants. Nous savons comment on construit leur somme géométrique : soit AB le premier segment (ou un segment équipollent), BC le second segment (ou un segment équipollent); leur somme géométrique sera le segment AC (ou un segment équipollent) (Fig. 4 /). Soient A„Bt, C, les projections des trois points A, B, C sur l'axe desx; A,, B2, Ct leurs projections sur l'axe des y; le segment AB aura pour projections sur les deux axes les segments

AtB, = xv A,B4 = yv

et le segment BC aura pour projections sur les deux axes les segments

BjCj = xv BjC, = yv

l.Cf. Padé, Algèbre élémentaire, noi 86-88.

D autre part, le segment AC aura pour projections les segments A,C,, AjCj. Or, en vertu de la formule de Môbius, appliquée successivement aux points A^B^C, de Taxe des x, et aux points ArBrCt de Taxe des j/, on a

AtC, = AtB, -t- BjC, z- Xf -h xv AtC, = A,B, -t- B4G2 - ?/l -h yr

Fi». 11.

Ainsi le segment AC a pour projections des segments qui correspondent respectivement aux deux nombres réels

la somme géométrique des deux segments donnés est donc représentée par le nombre complexe [3, 10 1 :

(*! + **) + «('.'/! -+- yt)>

Telle sera, par définition, la somme arithmétique des deux nombres complexes x et p qui représentent les deux segments donnés. On retrouve ainsi, justifiée géométriquement, la formule d'addition des nombres complexes [I, m, 3] :

(*i ■+- îyù -+■ 0r* ■+■ «jw = K -+■ -1*) -+- ' (yi -+- y*)»

Cfl. IV. — THÉORIE DES ÉQUIPOLLENCES 195

qui s'étend ensuite sans peine à un nombre quelconque de termes. Par cette convention, qui définit la somme de deux nombres complexes par le nombre qui représente la somme géométrique des deux segments correspondants, la formule de Môbius se trouve étendue au plan :

AB -h BC = AC,

A,B,C étant trois points quelconques pris dans le plan, et les expressions AB, BG, AC représentant indifféremment les segments ou les nombres correspondants. Si elles représentent les segments, cette formule traduit la définition de l'addition géométrique donnée plus haut; si elles représentent des nombres réels ou complexes, elle exprime leur addition arithmétique *.

15. Du même coup se trouve démontré, pour le plan, le théorème des projections , qui s'énonce :

La somme géométrique de plusieurs vecteurs a pour projection sur chaque axe un segment égal à la somme géométrique des projections de ces vecteurs sur le même axe '.

Corollaire. — Un segment quelconque du plan est égal à la somme géométrique de ses deux projections.

Ainsi le segment AB = OM est la somme géométrique du segment AK i— OP et du segment KB = PM (Fig. 9). Le nombre correspondant sera donc

x -h iy.

Cette considération justifie le signe -4- par lequel on réunit, dans la notation usuelle, les deux nombres réels qui constituent tout nombre complexe. Quant à la lettre i, elle n'est jusqu'ici qu'un signe destiné à distinguer l'ordonnée de l'abscisse, c'est-à-dire à indiquer laquelle des deux projections doit être portée sur l'axe des y ou, plus généralement, dans une direction parallèle à cet axe. Elle est donc, par rapport à Taxe des x où l'on porte les quantités réelles, un symbole de perpendicularité 3 [in, 13].

i. On emploie d'ordinaire les mots : « somme ou addition algébrique », mais cette locution est fâcheuse, car cette opération, portant sur des nombres déterminés, relève de l'Arithmétique générale, et non point de l'Algèbre.