Cf. Padé, op. cit., n

3. 11 est bon de remarquer que la considération de l'addition géométrique justifie, non seulement les règles d'addition arithmétique posées pour les différentes espèces de nombres, mais encore leur nom commun d'addition : car si toutes ces opérations, de nature aussi diverse que les ensembles de nombres pour lesquels elles sont définies, peuvent être appelées du même nom, c'est parce qu'elles traduisent numériquement la môme opération géométrique.

196 UV. III. — GÉNÉRALISATION (iÉOMÉTRIQL'E DU NOMBRE

16. La formule de Môbius, désormais valable pour le plan, peut s'étendre à un nombre quelconque de segments placés bout à bout; on pourra écrire, par exemple :

AB -h BC -h CD ■+- DE -h -4- KL = AL,

chaque terme de celte égalité représentant à la fois un segment et le nombre correspondant. Les segments ainsi additionnés forment

dans le plan une ligne brisée ABCDE KL, qu'on peut imaginer

parcourue, d'un mouvement continu, par un point mobile allant de A en L. On voit que, pour construire leur somme géométrique, il suffit de joindre le point final L au point initial A; c'est ce qu'on nomme fermer le polygone ABCDE KL.

Si la ligne polygonale se ferme d'elle-même, c'est-à-dire si le dernier sommet L vient coïncider avec le point A, la somme géométrique de tous les segments est égale à zéro, puisque le segment AL est alors nul. Le point générateur revenant à son point de départ après avoir parcouru le contour fermé du polygone, le résultat est le môme que si ce point n'avait pas bougé.

En particulier, la somme géométrique de deux segments symétriques est nulle :

AB -h BA = AA = 0.

Cela est évident par intuition, si l'on fait décrire à un point mobile le segment AB, puis le segment BA ; car il revient alors à son point de départ. Nous avons démontré plus haut cette proposition dans le cas particulier où les deux segments sont réels [12, III, 2°], mais le cas général se ramène à celui-là, une droite quelconque pouvant être prise pour axe des x.

De même, on a dans le cas d'un contour fermé à trois côtés, c'està-dire d'un triangle ABC :

AB -h BC -h CA — AA = 0.

Cela résulte d'ailleurs de la formule de MObius :

AB -h BC = AC,

car si l'on ajoute CA aux deux membres de cette formule, le second

membre s'annule,

AC -+- CA = 0, et le premier devient :

AB -h BC -+- CA = 0. *

1. C'est une autre forme de la formule de Môbius pour le plan, voir Padé, op, cit., n° 87.

CU. IV. — TllÉORIE DES ÉQUIPOLLENCES 197

17. Remarque, — A deux vecteurs symétriques correspondent deux nombres symétriques. Cela est manifeste si les vecteurs sont réels, car s'ils sont, par hypothèse, de même longueur et de sens opposés, les nombres correspondants auront même valeur absolue et des signes contraires. Cela est encore vrai pour des vecteurs quelconques; car alors leurs projections sur chaque axe sont symétriques, par exemple

-+- x et — x, -h y et — y,

et les deux nombres complexes qui les représentent, soient

-4- x -h iy et — x — iy,

sont eux-mêmes symétriques. On voit d'ailleurs que leur somme est nulle, comme la somme géométrique des vecteurs correspondants.

Deux vecteurs peuvent être aussi symétriques d'une autre manière, à savoir, non plus par rapport à l'origine, c'est-à-dire au point 0, mais par rapport à Taxe des x, c'est-à-dire à une droite; il est aisé de voir que dans ce cas ils ont même projection sur cet axe, mais que leurs projections sur Taxe des y sont symétriques. Les nombres correspondants auront donc même partie réelle, et leurs parties imaginaires symétriques; ils auront la forme :

x -4- iy, x — i'Jy .

c'est-à-dire qu'ils seront imaginaires conjugués. Les deux vecteurs qu'ils représentent seront par conséquent dits, eux aussi, conjugués.

18. Définition de la soustraction des vecteurs. — Retrancher un segment d'un autre segment, c'est ajouter à celui-ci le symétrique de celui-là.

Cette règle se traduit par la formule suivante :

AB — AB' = AB -h B'AV

Si l'on traduit cette définition en langage arithmétique, on retrouve la définition de la soustraction des nombres qualifiés \ et par suite aussi des nombres complexes, puisque, comme nous venons de le montrer, deux vecteurs symétriques sont représentés par des nombres symétriques.

En particulier, on a :

AB — AB — AB -h BA == AA = 0.

1. C'est 1'opéralioQ qu'on nomme (à tort, selon nous) « soustraction algébrique ». \ K . tl •■■-.; ]

En vertu de la règle précédente, on peut poser pour la soustraction une formule analogue à celle de Môbius :