AB = OB — OA

Ainsi tout segment peut être représenté numériquement par la différence des affixes de son extrémité et de son origine. Par exemple, soit (xA -+- hjt) Taffixe du point A, (xt -h iy,) celle du point B, le nombre qui correspond au segment AB est :

(•ri -+■ %) — (*i -+■ '&)• D'autre part, le segment AB a pour projections sur les axes des segments représentés par (xs — a?,), t(yt — yt), et Ton sait qu'il est égal à la somme de ses projections [15]; il est donc représenté par

La formule précédente devient par conséquent :

(*i + Wi) — (-ri + ilJi) = (*i — xù ■+" ' (»t — Vi)-

On retrouve ainsi la formule de soustraction des nombres com plexes [I, m, 4].

En résumé, la soustraction géométrique n'est pas une opération distincte de l'addition géométrique : elle s'y ramène par un simple changement de sens des vecteurs. Or ce changement est tout conventionnel, et ne modifie nullement la nature des constructions géométriques.

19. Définition de la multiplication des vecteurs, — La définition la plus générale de la multiplication est celle-ci :

Ëtant données deux grandeurs de même espèce, nommées l'une multiplicande et l'autre multiplicateur, et une grandeur fixe de la même espèce, choisie une fois pour toutes et appelée unité, on appelle produit des deux premières une grandeur dont le rapport au multiplicande est le même que le rapport du multiplicateur à l'unité.

Pour appliquer cette définition à une espèce de grandeurs quelconque, il faut évidemment définir d'abord le rapport de deux grandeurs de cette espèce, ou plutôt l'identité de deux rapports, ce qui constitue une proportion entre quatre grandeurs de la même espèce. Or, pour les segments rectilignes ou vecteurs situés dans le plan, il y a deux éléments à considérer en chacun d'eux, sa grandeur et sa direction, représentées par les deux nombres que nous avons appelés sa longueur et son azimut.

Soient quatre vecteurs quelconques, ayant respectivement pour longueurs les nombres a, b, cf df et pour azimuts les nombres a, p, y, £ (représentant des angles); et représentons-les provisoirement par les symboles

«a, b$, cT, d$

(a, b, c, d sont les valeurs absolues des nombres complexes correspondants ; a, p, y» S leurs arguments [10]).

Nous appellerons rapport de grandeur entre deux vecteurs aa, bp le rapport numérique de leurs longueurs, c'est-à-dire le quotient des deux nombres a et b\ et rapport de direction l'angle qu'ils font entre eux, c'est-à-dire la différence de leurs azimuts <x et (*. Nous dirons que les quatre vecteurs aa, bp,^, rfs sont en proportion géométrique ', ou que le rapport géométrique des deux premiers est le même que

1. Nous détournons ici cette locution de son sens traditionnel, qui n'a pas de raison d'être, pour l'appliquer à l'identité complexe des rapports de grandeur et de direction entre grandeurs géométriques dirigées. Au contraire, une proportion, par quotient est pour nous, aussi bien qu'une proportion par différence, une proportion arithmétique entre des nombres.

celui des deux derniers, si ceux-ci ont entre eux le même rapport de grandeur et le même rapport de direction que ceux-là. Eu d'autres termes, on dira :

a* est à 6p comme cT est à dg,

si Ton a entre les azimuts la proportion par difffrence :

et entre les longueurs la proportion par quotient :

Si Ton suppose (ce qui est légitime) les quatre vecteurs ramenés à l'origine, OA, OB, OC, OD {Fig. i2), toutes les conditions énoncées se résument en ce fait géométrique, que les triangles OAB et OGD sont semblables et semblablement placés, les côtés homologues étant OA et OC, OB et OD. La similitude de deux triangles, telle est la condition nécessaire et suffisante l pour que quatre vecteurs soient en proportion géométrique *.

Fijr. 12.

20. Cela posé, la multiplication des vecteurs, en vertu de la défî-

i. En y joignant l'identité de sens des deux angles AOB, COD.

2. Ces définitions et considérations sont empruntées presque textuellement à Français (article des Annales de Gergonne, t. IV, ap. Argasd, Essai, 2e éd. Appendice, p. 64, 05); quant au fond des idées, il appartient, de l'aveu de Français luimême (p. 74), à Arga*d (cf. Essai, n°* 3, 4 (et note), 0, et Annales de Gergonne, t. IV, n°' 2. 3, 4, 5).

nition générale, se ramène à une construction de triangles semblables (Fig. 13). Pour OA Ton prendra l'unité, c'est-à-dire le segment (0,1) représenté par le nombre réel positif -f- 1 (module de la multiplication arithmétique); pour OB on prendra le multiplicateur, et pour OC le multiplicande. Avec ces données, on pourra construire le vecteur OD, qui sera le produit demandé. Il aura pour longueur la quatrième proportionnelle aux trois segments OA, OB, OC, et pour azimut la somme des azimuts des vecteurs OB et OC; en effet,

DÔX = DOC -h CÔX; or

DOC = BÔX

par construction; donc

DOX •-= BOX -h COX.

Fig. 13.

Cherchons maintenant la traduction arithmétique de celle construction géométrique. Pour cela, posons :

aa ~ + 1, c'est-à-dire : a --- 1, a = 0,

et portons ces valeurs particulières dans les deux proportions arithmétiques qui traduisent la proportion géométrique des vecteurs OA, OB, OC, OD; il vient :

e'esl-à-dirc

bc = d, p 4- y = o.

On en conclut la règle suivante pour la multiplication des nombres complexes :

Le produit de deux nombres complexes a pour valeur absolue le produit de leurs valeurs absolues, et pour argument la somme de leurs arguments !.

21. On voit que la multiplication géométrique des vecteurs se traduit sur les nombres complexes correspondants par deux opérations arithmétiques bien distinctes et corrélatives : la multiplication des valeurs absolues et l'addition des arguments. Gela tient à ce fait primordial que lorsque des vecteurs forment une proportion géométrique, leurs longueurs sont en proportion par quotient et leurs azimuts en proportion par différence. Ainsi s'explique, de la façon la plus simple et la plus naturelle, cette analogie qui apparaît entre les logarithmes et les angles (ou les arcs de cercle) dans la théorie des nombres complexes (p. 128, note 1) *.

Cette propriété, à savoir qu'aux opérations multiplicatives sur les valeurs absolues correspondent des opérations additives sur les arguments, suffirait à prouver que les nombres complexes sont fonctions exponentielles de leurs arguments, et à justifier la notation introduite précédemment [4] :

x -h iy =: ?e6\

où p représente la valeur absolue du nombre complexe, et où l'argument ô figure en exposant. Écrivons sous cette forme les vecteurs a*, 6p, Cy, cfe :

aeal=.- 1. ^ = + 1,

be?\ ceV, dcli.

Cette notation permet de représenter la multiplication géométrique par une seule opération arithmétique, c'est-à-dire par une multiplication. En efTet, formons le produit des deux facteurs complexes :

be& X cet'1 = bc.e W + ^,

car, pour multiplier deux puissances d'un même nombre, il suffit d'ajouter les exposants (c'est le principe même de l'emploi des

1. Cf. Bellavitis, Exposition de la méthode des équipollences, n° 16.

2. Cf. Français, loc. cit., p. 69 (corollaire 1" du Uicortme 11).

logarithmes dans les calculs). Si Ton veut que ce produit soit égal au nombre complexe

il suffit de' poser

d—bc, 8 = p H- y.

On retrouve ainsi la règle de multiplication des nombres complexes énoncée plus haut [20]. •