Remarques. — Ce qui achève de justifier la notation

x -h iy = p. e*% = p (cos 0 -4- î sin 6),

c'est que le vecteur OM, issu de l'origine, représente effectivement le produit de sa longueur p par le nombre e*%. Soit en effet le vecteur OK qui représente ee*, et soit le vecteur réel positif ON qui représente la longueur p (Fig. 44). La valeur absolue de e°l étant 1, le vecteur OK a une longueur égale à l'unité OA: d'ailleurs il a même argument que OM (savoir 6), et par suite même direction. On voit aussi que OM est à OK ce que ON est à OA : car OK coïncide avec OM comme OA avec ON, et le rapport des longueurs est le môme de part et d'autre.

Fig. 14.

Donc OM est bien le produit du vecteur ON = p par le vecteur OK — e**9 c'est-à-dire de deux facteurs dont l'un exprime sa grandeur absolue, et l'autre sa direction * [4J.

1. En général, multiplier un vecteur par un nombre réel, c'est faire varier sa

En particulier, si 0 — ± ~, le facteur e** se réduit à ± t; il est

alors représenté par un vecteur de longueur 1 porté sur OY ou sur OY'. Le vecteur OM est donc, lui aussi, porté sur Taxe des quantités purement imaginaires; et en effet, le nombre complexe (x H- iy) se réduit dans ce cas à sa partie imaginaire

iy — ?.;:

Ainsi tout nombre purement imaginaire est égal au produit de sa valeur absolue, c'est-à dire d'un nombre réel, par le nombre ± t; et c'est ce qui justifie la notation

qui représente en général la projeclion d'un vecteur sur Taxe des y. 23. Des remarques précédentes il. résulte que pour multiplier deux nombres complexes, mis sous la forme

on peut multiplier séparément leurs valeurs absolues pp p,, et leurs coefficients de direction

ce qui équivaut à additionner leurs arguments; on trouve ainsi le produit :

9l h e<6' + W« = Pl ?f [cos (0, + 6f ) + î sin (6t + ôj]. Or l'on sait que ' :

cos (0, -f- 0â) = cos 0t cos 0, — sin 0, sin 0, sin (0, -f- 04) = sin 0, cos ô2 H- cos û4 sin 0, Donc :

p, (cos 0t H- i sin 0,) X p4 (cos 0f -h i sin 0f) = p, pâ(cos OjCOsOj — sin 0,sin 6,)-+-! p,pt(sin 0, cos 04 -h cos 64 sinô,)

Dans cette formule, remplaçons les coordonnées polaires (p, 0) par les coordonnées cartésiennes (,r, y) au moyen des formules de transformation [4] :

longueur dans le rapport exprimé par ce nombre, sans changer sa direction; et le multiplier par e\ c'est le faire tourner de l'angle 8 sans changer s* longueur.

i. Ces formules fondamentales se démontrent en Trigonométrie. On en trouvera une démonstration élégante et absolument générale, fondée sur la considération de deux changements d'axes successifs, dans CornsoT, Correspondance entre VA Ir/èbre et la Géométrie, chap. vm, n° 76.

xx = Pl cos 0t //i = Pi sin °i

xt — pf cos 0f //i = p, sin 0t

il vient :

(*! -4- îtf,) (x, -+- /y,) = (*, x, — y, yj -h î (jp, j/s -4- ^ ;/,).

Nous retrouvons ainsi, justifiée par la Géométrie, la formule de multiplication des nombres complexes [I, m, 6], comme traduction numérique de la règle générale de multiplication des vecteurs ; et cela, sans avoir fait aucune hypothèse sur la valeur numérique de la lettre t, et sans jamais lui avoir attribué un sens absurde ou fait subir une opération impossible.

C'est au contraire de la formule générale ainsi obtenue que Ton pourra légitimement déduire [comme on l'a fait : I, in, 8] la formule particulière du produit de i par lui-môme :

La signification géométrique de cette formule est simple et claire (Fig. 14). On peut construire le vecteur H- i en faisant tourner le vecteur OA = -h i d'un angle droit dans le sens positif: le rapport géométrique de -h ? à -4- 1 comprend donc l'égalité de longueur et un accroissement d'azimut égal à 1 droit (en général, multiplier un vecteur par i, c'est le faire tourner d'un angle droit). Si donc on multiplie le vecteur -h i par lui-même, on devra le faire tourner encore d'un angle droit dans le même sens; il viendra ainsi coïncider avec le vecteur — 1 sur OX\ En d'autres termes, le vecteur i est la moyenne proportionnelle, en grandeur et en direction, entre le vecteur -h 1 et le vecteur — 1 ; voilà tout le secret de ce symbole

qui est, au point de vue arithmétique, un scandale et un mystère f. 24. Nous ne nous étendrons pas davantage sur le calcul des nombres complexes. Il nous suffit d'avoir justifié par des considérations géométriques les règles fondamentales posées a priori dans le Livre I, et d'avoir montré que toutes ces conventions en apparence arbitraires ont pour but de traduire en nombres des constructions géométriques parfaitement « réelles ». Si l'emploi des imaginaires en Algèbre est légitime, et si le calcul des nombres complexes conduit à des résultats valables, c'est parce que les opérations indiquées, qui

i. Cf. Argaxd, Essai..., n™ 3, 4; Français, op. cit., Théorème 1.

n'auraient pas de sens sur les nombres purs, ont un sens géométrique, une fois appliquées aux grandeurs que ces nombres représentent; ou plutôt, les opérations arithmétiques qui figurent dans les formules d'Algèbre, et que, le plus souvent, on ne saurait effectuer sur les nombres, ne sont que les symboles d'opérations géométriques à effectuer sur les grandeurs correspondantes; mais comme celles-ci sont affranchies des restrictions qui empêchent d'effectuer celles-là, les formules ne cessent pas de représenter des combinaisons possibles de grandeurs, lors même qu'elles ne correspondent plus à des combinaisons possibles entre les nombres. Au lieu de dire, comme Cournot ', que les valeurs imaginaires ne sont pas des grandeurs, qu'elles n'ont de sens que parce qu'elles peuvent être soumises aux opérations du calcul algébrique aussi bien que les quantités réelles, mais que ces opérations n'ont plus le sens d'opérations sur les grandeurs, et ne sont que des combinaisons abstraites de symboles, il faut dire, au contraire, que les valeurs imaginaires ne sont des nombres qu'autant qu'elles représentent des grandeurs « réelles », et que si les opérations algébriques effectuées sur ces nombres gardent un sens, c'est parce qu'elles continuent à figurer des opérations analogues sur les grandeurs.

Cette justification des imaginaires nous paraît plus rationnelle que celle qui consiste à les présenter comme des intermédiaires utiles, mais vides de sens, et à invoquer la vérité des relations qu'on obtient par « l'emploi transitoire de ces symboles auxiliaires * » [i, 10-14]. Quant à se fier en aveugle au mécanisme du calcul, sans alléguer d'autre raison, sinon que cela réussit, il faut laisser ces arguments aux manœuvres de l'Algèbre, qui, maniant cette science comme une machine à calculer, tournent la manivelle sans savoir comment l'instrument fonctionne. Sans doute, on nous dit 8 que l'Algèbre n'est pas seulement une Arithmétique généralisée, qu'elle procède de la théorie des combinaisons et de l'ordre, et que ce système de relations formelles garde encore sa valeur lors même qu'elles ne s'appliquent plus à des nombres. Mais alors à quoi s'appliquent-elles? Les « règles de syntaxe » de l'Algèbre n'ont de sens que si elles portent sur des objets « réels » de la pensée, et si ce ne sont pas des

X. Correspondance entre UAhjèbre et la Géométrie, chap. vi, § 29.

2. CotRXoT, op. cit., § 30. Cf. Paul Tannery, la Géométrie imaginaire et la notion d'espace, ap. Revue philosophique, t. II, p. 433.