Couhnot, op. cit

nombres que Ton combine, il faut bien que ce soient des grandeurs de quelque autre espèce. Par exemple, si \Z~~— 1 n'existe pas, il est absurde de multiplier ce symbole par lui-même, et de l'égaler à — 1, comme s'il s'agissait d'un nombre véritable : une telle combinaison ne signifie rien, car elle n'a aucun contenu « réel » et intelligible. Dès lors, appliquer machinalement à ce non-sens numérique toutes les formules établies pour les nombres réels, sous prétexte de généralité, et croire que néanmoins le mécanisme algébrique fournira toujours des résultats conformes à la vérité, c'est s'imaginer qu'un moulin donne encore de la farine, quand, le blé venant à manquer, les meules tournent à vide.

25. Ce qu'il y a de vrai dans les considérations toujours si ingénieuses et si pénétrantes de Colrnot au sujet des imaginaires (sujet sur lequel, d'ailleurs, la lumière n'était pas encore définitivement faite de son temps), c'est que la validité des formules de l'Algèbre repose seulement sur les propriétés générales des combinaisons, et non sur le sens particulier des opérations à effectuer sur les nombres. Seulement on conçoit alors l'Algèbre, non plus comme une Arithmétique générale, mais comme la langue propre et l'instrument de l'Analyse; les mêmes opérations qui n'auraient pas de sens si les lettres signifiaient des nombres, en ont un quand elles arrivent à signifier des grandeurs; de sorte que, si l'Algèbre traite d'abord directement les nombres, puis indirectement les grandeurs que ces nombres représentent, elle s'affranchit, grâce à l'Analyse, de l'intermédiaire du nombre, et permet de manier directement la grandeur continue. C'est donc la continuité essentielle à la grandeur qui est le fondement véritable de la généralité propre à l'Algèbre ; c'est la continuité des grandeurs géométriques qui donne à la continuité algébrique son intérêt et sa raison d'être [i, 8-9]. Ce qui fait la valeur universelle des formules algébriques, c'est qu'elles persistent à symboliser des combinaisons de grandeurs réelles, alors même qu'elles ont cessé de représenter des opérations numériques.

Ainsi se justifient et s'éclairent à la fois la généralisation des opérations arithmétiques, et l'extension corrélative qui en résulte pour l'ensemble des nombres. Si l'on est obligé de généraliser telle opération arithmétique, la soustraction par exemple, c'est parce que, si elle n'est pas toujours possible numériquement, elle correspond à une opération géométrique toujours possible : et l'on est par là conduit à introduire le nombre négatif, non pas comme résultat

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26. l'our TÏ-Mw.r tout ce Livre en quelques inot^. la généralisalion du nombre a pour but d ; !e rendre de plus en plus adéquat à la grandeur. Le nombre semble ain*i s'enrichir de tous les caractères propre-, a la grandeur : il devient divisible avec les fractions, continu avec le*, nombre-, irrationnels. Grâce aux nombres qual\fif$. « nous pouvons tenir compte de la qualité la plus essentielle de la grandeur, celle d'être Ku-.ceplible de sens. Si l'on veut parler ainsi, les nombres positifs et négatifs représentent la grandeur avec une qualité de plus » que les nombres arithmétiques ; « ils sont reliés plus étroitement à elle et en pénétrent plus intimement la nature * ». Ajoutons enfin que le» nombres complexes représentent les grandeurs avec une fju/ilifétb} plu*, a savoir leur direction 3.