Voir Af«iAM>, Estai... l'réfncc de J. Hôtel, p. x

2, l'jtfirt, Alyèhir i'ifimentairti n° 80. lhi telles phrases sont trop rares sous la plume fie* m/it tiëriiuliciens pour que nous ne cédions pas au plaisir de citer celle-ci.

il. Alt'iAMl, £*v/M.,., n'" 2, .'J.

d'une opération arithmétique impossible, mais comme symbole du résultat d'une opération géométrique toujours possible. C'est pourquoi, toutes les fois que Ton crée une nouvelle espèce de nombres, on est obligé de définir à nouveau l'égalité, l'addition et la multiplication, parce que, si elles ont le même nom, elles n'ont plus le même sens pour les nouveaux nombres que pour les anciens '. On étend donc à la fois l'idée du nombre et la notion des combinaisons qu'on peut effectuer sur les nombres; et c'est grâce à ce développement parallèle que les généralisations successives du nombre sont exemptes de toute contradiction, comme nous avons eu soin de le remarquer [I, i, 20;n, 20; m, 9; iv, 2, 9; 11, n, 6]. Parla tombent du même coup toutes les objections qu'on pourrait élever, soit contre l'introduction parmi les nombres de symboles dénués de sens numérique, soit contre l'admission d'opérations impossibles à titre d'opérations possibles donnant des résultats « réels ». Quant à la conservation des propriétés essentielles des opérations fondamentales de l'Arithmétique (en vertu du principe de Hankel), elle s'explique par ce fait que les opérations de même nom définies dans les ensembles successifs de nombres ne cessent de correspondre à une seule et même opération homonyme effectuée sur des grandeurs; de sorte que, si leur définition arithmétique peut changer du tout au tout, elles conservent néanmoins leur sens concret et continuent à représenter la même combinaison géométrique [cf. p. 195, note 3].

26. Pour résumer tout ce Livre en quelques mots, la généralisation du nombre a pour but do le rendre de plus en plus adéquat à la grandeur. Le nombre semble ainsi s'enrichir de tous les caractères propres à la grandeur : il devient divisible avec les fractions, continu avec les nombres irrationnels. Grâce aux nombres qualifiés, « nous pouvons tenir compte de la qualité la plus essentielle de la grandeur, celle d'être susceptible de sens. Si l'on veut parler ainsi, les nombres positifs et négatifs représentent la grandeur avec une qualité de plus » que les nombres arithmétiques ; « ils sont reliés plus étroitement à elle et en pénètrent plus intimement la nature * ». Ajoutons enfin que les nombres complexes représentent les grandeurs avec une qualité de plus, à savoir leur direction 3.