La théorie de cette recherche est fort simple

La dépense totale dépend de plusieurs éléments étrangers à l'inclinaison adoptée,, et de cette inclinaison ellemême. Il s'agit de voir de quelle manière l'inclinaison influe sur la dépense, ou, en langage algébrique, d'obtenir l'expression de la dépense en fonction de la pente. Une fois la fonction trouvée, on en prend la dérivée^ par rapport à la pente considérée comme seule variable, et on égale cette dérivée à zéro (*). L'équation ainsi obtenue fournit la pente économique en fonction des éléments de la question.

Si cette théorie est simple, il n'en est pas de même des investigations pratiques qui' lui servent de base. L'expression de la dépense d'un chemin de fer en fonction de la pente constitue une élaboration très-complexe, pour laquelle malheureusement plusieurs éléments essentiels manquent encore et quelques-uns manqueront certainement toujours. Toutefois, même avec les données incom-

[*) C'est une application élémentaire de la théorie bien connue des maximum et des minimum. On sait que toute fonction d'une seule variable prend une valeur maximum ou minimum lorsque sa dérivée devient nulle, et que, réciproquement, la valeur de la variable qui annule la dérivée fait passer la fonction par un maximum ou un minimum. Gomme, dans la question qui nous occupe, il n'y a évidemment pas de maximum, l'annulation de la dérivée fournit le minimum, c'est-à-dire la pente économique.

plètes qu'on possède aujourd'hui, il est possible d'obtenir parle calcul dès évaluations approximatives, qui nous semblent de nature à offrir quelque intérêt.

3. — La question des pentes comporte deux problèmes bien distincts :

I" On suppose le chemin de fer limité à la rampe même qu'il s'agit d'établir, ou plutôt on considère cette rampe comme absolument indépendante du reste du réseau. On y institue une exploitation spéciale qui ne devra point influer sur le service général de la ligne.

2" On admet, au contraire, que l'exploitation de la rampe devra se concilier avec celle d'une certaine longueur de chemin en palier; de telle sorte que la différence de régime des deux sections n'entraîne aucune distinction dans l'organisation de leurs services : les conditions sont une certaine moyenne entre celles qui conviendraient à la rampe exploitée seule, et celles qui conviendraient à la ligne horizontale si la rampe n'existait pas.

Ces deux problèmes, bien que distincts, n'en reposent pas moins sur une base commune : la connaissance des relations qui existent entre la pente et les diverses bran ches de la dépense. La recherche de ces relations sera l'objet des chapitres suivants.

Avant d'y procéder, nous ferons quelques remarques relatives au défaut apparent de généralité des questions énoncées. Il ne semble pas, en effet, au premier abord, qu'elles répondent suffisamment aux circonstances pratiques. Dans un tracé de chemin de fer, la question des pentes ne se présente pas habituellement sous une forme aussi précise. Voyons comment l'hypothèse d'une rampe régulière^ d'une hauteur déterminée, devant être

exploitée isolément ou concurremment avec une ligne horizontale y peut s'appliquer à la réalité.

4. — Le tracé d'une voie ferrée comporte toujours un certain nombre de points fixes naturels, ou du moins de points dont la position ne varie que dans des limites assez restreintes. Telles sont ordinairement les principales localités à desservir. Le chemin de fer ne doit pas s'en éloigner au delà d'un certain rayon. La convenance des communications avec la ville, la nature et la configuralion du terrain, la facilité des emplacements, la direction et le niveau des vallées d'accès, etc., déterminent, à peu de chose près, la position de la gare et, par suite, celle du chemin lui-même. La ligne est ainsi partagée en sections, comprises chacune entre deux points dont les niveaux se trouvent sensiblement arrêtés. Mais ce n'est point là la situation particulière à laquelle doit s'appliquer notre calcul.

En effet, le tracé d'une section individuelle ne conduit pas à établir, de bout en bout, une voie horizontale ou une rampe uniforme. Loin d'offrir cette régularité, le terrain affecte le plus souvent une configuration trèsvariée. Une ligne droite menée aux extrémités de la section rencontrerait alternativement des vallées, des plateaux, des lignes de coteaux plus ou moins élevés, et, en certains cas, de véritables chaînes de montagnes.

Parmi ces accidents du sol, il y a lieu de distinguer : ou bien les hauteurs à franchir sont de médiocre importajice, et nous ne nous en occuperons pas pour le moment; ou bien elles ont des proportions considérables et constituent un des objets principaux du tracé. Dans ce dernier cas on s'efforce naturellement de diminuer la dif-

6 CHAPITRE PFŒMIER.

(iculté en cherchant le passage le plus accessible et le moins élevé, sans toutefois s'éloigner trop de la ligne directe. On détermine ainsi, je suppose, un certain co/par lequel le chemin devra passer pour franchir la chaîne. Des circonstance» de nature diverse déterminent également, d'une manière à peu près complète, le niveau de la région dans laquelle on abordera le pied du versant : cela résulte généralement des conditions de la partie antérieure du tracé. Le problème à résoudre consiste alors à racheter une certaine différence de niveau ; ce qui est précisément la question posée au début de ce livre (*). Il ne s'agit plus que de décider s'il y a lieu d'établir la rampe au point de vue d'une exploitation spéciale ou d'une exploitation commune.

5. — La différence de niveau étant donnée, on ne se trouve pas rigoureuisement dans les conditions prévues : car il n'est pas toujours possible ou même avantageux d'établir une rampe uniforme sur tout le parcours. Mais

(*) Il est nécessaire, pour résoudre le problème, que les points soient fixes ou du moins que la hauteur à racheter soit invariable. Car si en modifiant l'inclinaison de la rampe et par suite le tracé, on augmentait ou diminuait la hauteur totale, je veux dire par là si la rampe devait, suivant les profils, aboutir à des points inégalement élevés, la hauteur figurant dans le calcul se trouverait être une fonction implicite de la pente, et comme cette fonction serait inconnue, le problème se trouverait insoluble. Dans le cas où cette fonction serait connue à priori, par suite de la loi de la surface du terrain, le problème rentrerait dans le domaine du calcul des variations : mais Texamen d'une semblable question n'offrirait aucun intérêt pratique.

cette circonstance n'infirme pas les déductions précédentes.

Si la configuration des versants, la disposition des thaïwegs, la nature des roches rencontrées, etc., conduisent à fractionner la rampe, c'est-à-dire à décomposer la hauteur totale en tronçons distincts, chaque partie à franchir donnera Heu elle-même à l'étude d'une rampe continue, de hauteur déterminée, ces rampes partielles pouvant d'ailleurs se suivre sans interruption ou être raccordées les unes aux autres par des développements horizontaux.

6. — Nous avons parlé aussi de calculer la pente au point de vue d'une exploitation commune à la fois à la rampe et à une ligne horizontale. Cette prétendue horizoùtalité, sur une longueur importante, se rencontret-elle dans la pratique?

Chacun sait combien sont rares, dans le profil d'un chemin de fer, les développements en palier. En général on rencontre une succession continuelle de pentes et de contre-pentes de grandeurs diverses, et très-peu de parcours véritablement horizontaux. Cette circonstance tient au relief naturel du sol, qui offre des ondulations multipliées. Mais précisément à cause de la généralité du phé-. nomène, on renonce, dans la construction d'un chemin de fer, à obtenir un profil de niveau. On accepte sans hésiter les rampes dont l'inclinaison n'excède pas, par exemple, 4 à 5 millimètres par mètre, et on ne cherche pas à les diminuer ou à les éviter, au prix d'accroissements de parcours. En un mol, au point de vue du régime général du chemin, on regarde en quelque sorte ces pentes affaiblies comme ne se distinguant pas sensiblement de l'horizontalité, et on organise l'exploitation

sans s'arrêter à ces particularités accessoires (*). Cest dans ce sens qu'on doit entendre l'énoncé précédent : il s'agit de concilier une semblable exploitation avec celle d'une rampe de toute autre importance.

• 7. — Une dernière remarque est celle-ci :

Pour qu'il y ait matière à la recherche d'une pente économique, il ne suffit pas qu'une différence de niveau , même très-grande, soit à racheter entre deux points. Si la configuration du sol était telle, je suppose, que, sans allongement de parcours, la hauteur pût être gravie avec les faibles inclinaisons adoptées sur le reste du réseau, la question serait toute résolue : le tracé du chemin serait fixé naturellement, et la pente de la rampe serait celle du terrain lui-même ou plutôt celle de la ligne d'intersection du terrain avec le plan du profil en long. Toute recherche de pente économique serait nécessairement sans objet.

Il en serait encore de même si l'inclinaison naturelle, tout en se trouvant supérieure à la pente ordinaire du réseau, restait moindre que la valeur économique qu'aurait assignée le calcul.

L'usage de la théorie implique que la ligne droite menée entre les points extrêmes forme avec l'horizon un angle supérieur à la pente économique. Toutes les fois que cet angle est inférieur, la solution algébrique n'a plus d'utilité, et le tracé est déterminé à priori.