CHAPITRE IL

9. — Il est impossible d'assigner aucune relation mathématique entre la grandeur d'une pente et la dépense de construction d'un kilomètre de chemin de fer.

Une différence dans la pente adoptée n'entraîne pas nécessairement une variatioti correspondante dans le prix de revient des travaux. La même différence peut, selon les cas, augmenter les frais, les diminuer ou les laisser stationnaires. Cela dépend avant tout de la conformation et de la nature du terrain. Tandis que sur le versant d'une montagne, une pente de 20 millimètres, par exemple, sera moins dispendieuse qu'une pente de 10 millimètres, parce # que le développement nécessité par l'adoption de cette

dernière conduit à des travaux plus difficiles ; sur une autre montagne, les circonstances inverses peuvent se présenter, et la pente de lo millimètres y sera plus avantageuse que celle de 20, parce que, avec cette dernière, on traverse des régions moins accessibles à un chemin de fer. La seule chose qu'on puisse dire avec quelque généralité, c'est que, dans les conditions ordinaires de terrain, l'augmentation de la pente jusqu'à une certaine limite correspond à une diminution de la dépense. Mais un aperçu aussi vague et sujet à exceptions n'est d'aucun secours pour former des relations analytiques entre les éléments du problème.

Les seuls rapports à établir ne peuvent résulter que d'une étude des lieux, dans chaque cas particulier. On examine, par exemple, dans l'hypothèse de diverses pentes, le prix de revient correspondant à chacune d'elles. Un semblable travail, effectué pour des pentes suffisamment variées, permettrait d'exprimer analytiquement , avec une certaine approximation, la loi des valeurs de la dépense kilométrique en fonction de l'inclinaison adoptée. Celte loi serait d'ailleurs spéciale au terrain étudié, et devrait être recherchée à nouveau dans chaque circonstance.

10. — Mais on n'a pas même la ressource de cet expédient, tout incomplet qu'il soit. L'examen d'aussi nombreux projets de tracés est véritablement impraticable. Chaque projet exige de longues investigations d'abord, et ensuite des évaluations très-délicates. En outre, hâtonsnous de dire que cette marche ne donnerait aucune exactitude. La loi expérimentale, introduite dans les calculs,

ne pourrait pas inspirer de confiance. Les études de tracé

fournissent toujours des appréciations assez éloignées de la vérité. On peut se contenter de cette approximation quand il s'agit de comparer des projets très-différents, entre lesquels les écarts sont assez considérables pour n'être pas masqués par les erreurs propres à chacun d'eux. Mais si l'on veut exprimer la dépense en fonction de la pente, c'est-à-dire rapprocher des tracés correspondant à des pentes très-voisines, toute certitude disparaît, et la formule analytique ne convient pas au phénomène.

En fait, l'étude de la traversée d'une montagne donne lieu ordinairement à deux ou trois projets complètement distincts, caractérisés chacun par l'importance de la pente adoptée. C'est entre ces projets, présentant leurs mérites spéciaux, qu'il s'agit de se prononcer. Nous devons nous placer au même point de vue dans la théorie actuelle, et voici comment il semble convenable d'opérer pour soumettre la question au calcul.

11.' — Dans l'étude de l'établissement d'une rampe entre deux points, il arrivera de deux choses l'une :

Ou bien la dépense kilométrique de construction paraîtra devoir peu varier avec la grandeur de la pente adoptée, pourvu que cette pente demeure comprise entre certaines limites déterminées (*).

{*) Cette faible variation de la dépense kilométrique avec des pentes notablement différentes est un fait moins rare qu'on ne pourrait le supposer au premier abord.

Une partie importante des frais est, de sa nature, indépendante de la pente, comme l'achat des terrains, la pose de la voie (ballast, traverses, rails, etc.). L'autre, qui consiste dans les terrassements et ouvrages d'art, ou l'assiette proprement dite du chemin, ne varie

14 CHAPITRE n. -^ DÉPENSE DE œNSTTlUCnON.

Ou bien, au contraire, elle présentera des écarts considérables.

Dans le premier cas, la marche à suivre est bien simple. On regarde la dépense kilométrique comme rigoureusement constante, et la formule s'établit en conséquence. Toutes les transformations de calcul sont effectuées d'après cette hypothèse, et il n'en résulte évidemment aucune particularité qui puisse embarrasser l'élaboration algébrique.

On voit même immédiatement comment les frais de construction figureront dans le calcul. Le premier pas, avons-nous dit au n*» 2, consiste à chercher l'expression de la dépense totale de la rampe en fonction des divers éléments de la question et, entre autres, de la pente adoptée. Si H est la hauteur à franchir, évaluée en mètres, h la pente, c'est-à-dire la fraction de mètre, en hauteur, rachetée par un mètre de longueur du chemin, l'étendue de la rampe, en mètres, est évidemment représentée par

le nombre de fois que h est contenu dans H, ou par -j-j

et la longueur de la rampe en kilomètres est égale à

avec la pente qu'autant qu'on est rejeté sur des terrains présentant des difficultés spéciales. Cette dernière circonstance n'est pas une conséquence nécessaire du choix de la pente ; il peut fort bien arriver qu'on rencx)ntre les mêmes obstacles, les mêmes cours d'eau à traverser, les mêmes souterrains à percer, en un mot que les difficultés, sur un kilomètre, se balancent sensiblement avec des inclinaisons très-différentes. Somme toute, il y a un assez grand nombre de cas où l'on peut, sans grande erreur, regarder la dépense kilométrique comme à peu près constante dans une région déterminée.

CHAPITM n, - DÉPENSE DE CONSTRUCTION. 45

-T' Si, en outre, C est le coût kilométrique de la con-

struction, et i Tintérêt (amortissement compris) de i fr., la dépense annuelle d'établissement de la rampe sera ex-

primée par iC r- Telle est la part afférente à la con-

struction dans la quantité qu'il s'agit de rendre un minimum [*). En résumé, appelant S la dépense annuelle totale, et K les frais d'exploitation, on écrira

(i) S = iC-?-r+K;

^ ' loooA

K étant une fonction de la pente, que nous aurons à déterminer dans le chapitre suivant.

La quantité C sera donc considérée comme constante dans tout le cours des calculs. Quant à sa valeur numérique, ce sera celle que les études du tracé conduiront à lui attribuer dans chaque cas particulier. Cette valeur sera plus ou moins inexacte et dépendra du degré de justesse des appréciations faites sur les lieux. Mais ce point demeure naturellement étranger à la question traitée dans ce travail.

12. — Examinons la seconde hypothèse, qui ne permet pas de considérer la dépense comme indépendante du choix de l'inclinaison.

{* ) L'estimation de la dépense d'un chemin se rapporte toujours à Vannée^ parce qu'il faut servir annuellement l'intérêt et les bénéfices des capitaux engagés dans l'entreprise. Cette pratique est mise en évidence en France, où les lignes sont concédées à des compagnies particulières et doivent faire retour à l'État au bout d'un délai déterminé. Les capitaux sont amortis graduellement.

La fonction simple iC 7 ne peut plus représenter

la part afférente à la construction, puisque la valeur de la pente économique étant inconnue, celle de C Tesl également. En d'autres termes, C est une fonction implicite de

hy et le terme iC r n'a aucune signification utile dans

les formules. Le calcul ne peut plus être poursuivi, car non-seulement C reste à l'état d'inconnue, mais engendre même d'autres fonctions inconnues, par suite des différentiations dont la relation (i) doit être l'objet. Comme nous avons reconnu l'impossibilité radicale de déterminer, par voie d'expérience, l'expression analytique de la dépense de construction en fonction de la pente, le problème théorique est évidemment inabordable. Mais on peut tourner la difficulté par les considérations suivantes.

En réalité, les frais d'établissement ne varient pas beaucoup pour de faibles variations de la pente. Si donc on était assuré que la pente économique ne s'écartera pas beaucoup d'une certaine inclinaison déterminée, pour laquelle on connaît la dépense correspondante, on remplacerait C par cette dépense dans la formule, et on pourrait, sans grande erreur, la traiter comme quantité constante. Toute la difficulté vient de ce qu'on ne sait pas, à priori, dans quelles limites suffisament rapprochées la pente économique devra se trouver, et, par suite, quel chiffre il convient d'imputer à la dépense. Mais rien n'empêche d'admettre provisoirement, sauf erreur dans le résultat final, que la pente économique ne différera pas beaucoup d'une certaine inclinaison arbitrairement choisie, par exemple 20 millimètres. Quant au chiffre de la dépense.

ce sera celui que feront connaître les études du tracé conduit avec l'inclinaison supposée de 20 millimètres. Pour éviter les investigations inutiles, il sera bon de' prendre la pente d'un des projets déjà étudiés directement au point de vue des seules convenances de la construction. Les calculs effectués avec cette valeur hypothétique de la dépense, regardée comme constante, détermineront une pente économique correspondante. Si elle ne s'éloigne guère du chiffre admis à priori, soit de 20 millimètres (conformément à notre supposition], la question se trouvera résolue, et ce sera bien là Tinclinaison cherchée. Mais si l'écart est important, la valeur obtenue se rapprochera de la pente d'un des autres projets déjà analysés. On prendra la dépense correspondante, on la substituera à celle qu'on avait indûment admise, et on calculera la pente à nouveau. Par cette méthode d* interpolatiens, on arrivera nécessairement, après un petit nombre d'essais, à un chiffre d'inclinaison ne différant pas beaucoup de celui qui correspond à la dépense introduite dans la formule. La solution sera ainsi obtenue avec une* suffisante approximation (*).

(*) Cette recherche sera grandement simpliGée par la connaissance des résultats fournis par la théorie même des pentes économiques. Si Ton sait, par exemple, d'après cette théorie^ que la pente économique correspondant à une dépense moyenne de construction en rampe est de 3o millimètres, on aura un point de départ naturel et on introduira dans la formule, comme chiffre de la dépense, celui qui, dans le tracé actuellement considéré, résulterait deTadopUon d'une inclinaison de 3o millimètres. Si même ce chiffre ne s'éloigne guère de la dépense moyenne, il sera inutile de faire aucun calcul particulier : la pente économique sera de 3o milli-

D*après ces considérations nous serons en droil, dans le second cas comme dans le premier, de traiter G en quantité constante dans le cours de nos calculs, puisque la variabilité n'aura d'autre effet que de modifier la valeur numérique du résultat final. Nous nous placerons désormais à ce point de vue et nous regarderons la dépense kilométrique de construction comme indépendante de la pente, en ce qui concerne l'élaboration algébrique.

13. — Dans certaines circonstances, le problème se présente sous un autre jour. Les convenances de la construction, par suiie de leur importance relative, passent en première ligne, et priment de beaucoup celles de l'exploitation. Le choix porte alors sur deux tracés déterminés, à pentes très-différentes, et il s'agit de voir lequel des deux est préférable. Les autres tracés sont implicitement écartés à cause des difficultés d'établissement qu'ils feraient surgir, ou du long développement qu'ils conduiraient à donner au chemin. On admet en quelque sorte d'avance que les avantages de l'exploitation seraient loin de compenser ces inconvénients immédiats. Mais s'il est rationnel, en pareil cas, de subir les nécessités de la construction et de s'en tenir exclusivement aux deux tracés qu'elle propose, il ne le serait pas de choisir arbitrairement l'un plutôt que Tautre, sans rechercher si, tout compte fait, l'un des deux n'offre pas une supériorité positive. La question, on le voit, ne consiste plus à calculer à priori

mètres. En un mot, le premier soin doit être de rechercher quelle serait, sur le terrain, la dépense correspondant à la valeur habituelle de la pente éconoinique.

une pente économique, mais à faire la comparaison des dépenses totales (construction et exploitation) incombant respectivement aux deux tracés en présence. Dans la formule

S = iC— 5^4-K,

lOOO/l

où nous supposons provisoirement K connu en fonction de A, il y aura lieu de remplacer successivement h par la valeur qu'il doit avoir dans chacune des deux rampes, et de déterminer ainsi la valeur correspondante de S. La pente qui engendrera la moindre dépense indiquera le tracé qu'il faut choisir.

Si, au lieu de deux projets à débattre, on en avait un plus grand nombre, la question serait évidemment la même : on calculerait autant de valeurs correspondantes de S, et le choix s'établirait en conséquence.

14. — Il est d'autres circonstances, étrangères à la construction, où le choix de la pente est déterminé par des considérations que le calcul ne peut embrasser. Il n'y a plus alors véritablement de pente économique à rechercher.

Supposons, par exemple, qu'on soit en présence de deux tracés, l'un à pente très-adoucie et par conséquent à parcours très-allongé, l'autre à pente raide et à parcours raccourci. Ce dernier sera généralement plus économique que l'autre : cependant il pourra être préférable d'adopter le premier. Voici pourquoi. Les quantités transportées sur un chemin de fer donnent une recette proportionnelle au parcours. La recette sera donc beaucoup plus

élevée avec le premier tracé qu'avec le second, si le tarif kilométrique est le même dans les deux cas. Quant aux dépenses, tout en étant plus fortes en totalité sur la rampe adoucie, elles seront moins considérables par kilomètre, parce que Texploitation y est évidemment plus facile que sur une rampe très-raide. Il y aura par conséquent bénéûce à adopter le tracé le plus dispendieux.

Les circonstances restant les mêmes, Tautre tracé pourra, au contraire, être préférable, en vertu de considérations d'une autre espèce. Si le chemin de fer doit lutter contre des voies concurrentes, on a intérêt à abaisser autant que possible le prix de transport. Dès lors on recherche une ligne plus courte. Cette réduction de parcours a d'ailleurs sa limite naturelle dans l'obligation de couvrir les frais de l'entreprise. En l'absence de voies concurrentes, on peut encore trouver de l'avantage à préférer le tracé à pente raide : si l'on a, notamment, la latitude d'élever les chiffres du tarif sur celte section particulière, en compensation des sacrifices qu'on s'est imposés pour réduire le parcours des marchandises et des voyageurs.

De semblables raisons déterminantes échappent naturellement à toute théorie analytique^. Pour qiie la recherche de la pente économique ait un sens, il faut se placer à un tout autre point de vue, qui peut se résumer ainsi : effectuer aux moindres frais possibles le transport du trafic entre deux points donnés. Il faut écarter l'idée de recette ou de rémunération des capitaux pour ne conserver que ridée de dépense (*).

(*) Nous avons signalé en passant ce point de vue, parce que

15. — On peut, par un motif de curiosité mathématique, se proposer de résoudre théoriquement le problème des pentes en faisant de C une fonction de h qui satisfasse assez bien aux conditions de la réalité. Les résultats ainsi obtenus seront essentiellement inexacts, car, selon nos remarques antérieures, il n'existe et ne peut exister aucune relation rigoureuse entre G et A; mais, dans un certain nombre de circonstances, les faits présenteront quelque analogie avec les formules, et, sous ce rapport, une pareille recherche n'est pas absolument dénuée d'intérêt.

Les études de chemins de fer pour la traversée des montagnes conduisent à une conclusion assez générale. Parmi les pentes à adopter, il en est une qui, aM point de vue de la construction, est notablement la plus économique : c'est celle qui permet de diriger le tracé à ciel ouvert, sans exiger des courbes de retour en souterrain. On sait que lorsque l'inclinaison de la rampe s'écarte trop de celle du terrain, le chemin ne peut plus revenir sur lui-même à ciel ouvert pour continuer l'ascension de la hauteur. Le tracé n'avance vers les régions supérieures qu'au moyen de retours en souterrain, c'est-à-dire en pénétrant dans l'intérieur de la montagne avec des courbes plus ou moins prononcées. La rampe présente ainsi, dans son

c'est naturellement celui des compagnies de chemins de fer. La où, comme en France, l'État n'est pas transporteur, l'intérêt privé qui préside à l'exécution du chemin, se préoccupe nécessairement dé sauvegarder les capitaux engagés; et dès lors les tracés indiqués par la théorie comme les plus économiques , peuvent être délaissés dans la pratique, si les considérations commerciales ne viennent pas les appuyer.

%i CHAPITRE U. - DÉPENSE DE CONSTRUCTION.

ensemble, une série de lacets, alternalivement en souterrain et à ciel ouvert (*). Les dépenses de tunnel étant

(*) u Mais du moment que l'inclinaison du thalweg (ligne de » fond de la vallée ) dépasse la limite de rampe fixée , le tracé ne » peut s'allonger pour conserver son profil que par des courbes ou » des retours sur lui-même.

» Ces courbes ou retours par lesquels le tracé s'élève au-dessus » du thalweg sur les versants d'une vallée , ont pour effet de ie » porter dans des régions où la configuration est plus accidentée.

» Lorsque l'inclinaison s'accroît, la vallée se rétrécit, et il est )> inutile de dire que l'inclinaison des versants latéraux devient in* » finiment plus forte que celle du thalweg. Cette inclinaison dé- » passe souvent 45°; de telle sorte que, pour revenir sur lui-même, » le tracé du chemin de fer, s'il affecte des courbes de 5o mètres » dé rayon , doit entrer profondément sous le sol et rester en sou- > terrain pendant la plus grande partie de la circonférence d'un » cercle de loo mètres qu'il doit décrire pour arriver au jour. C'est » l'inclinaison de ces versants qui s'oppose ainsi au développement » de longueur par lequel le tracé pourrait diminuer l'inclinaison du i> profil.

» L'obstacle de souterrains fréquents et dispendieux dans les » courbes de retour du tracé n'est pas le seul : à mesure que le » chemin se développe suivant une inclinaison inférieure à celle du » thalweg, il s'élève sur le versant latéral et gagne les régions où » le sol est plus accidenté. C'est alors que la ligne d'intersection » du tracé avec celle du versant présente de telles sinuosités que, » pour rester dans un rayon de loo mètres, il faudrait flaire d'é* •» normes levées

tt Les seules ressources que la nature offre , dans ce cas , pour » développer un tracé en gardant au profil une inclinaison moindre » que celle du thalweg, sont les sinuosités des versants, soit qu'ils » présentent simplement leurs découpures, soit qu'ils s'ouvrent à

habituellefB6Dt fort élevées par rapport aux autres, la pente quj p^rpet de les éviter correspond au minimum des fraisi: Ii6^ iiidii^isons plus adoucies entraînent des frais plus comUdérables , qui vont d'ailleurs en croissant à mesure que la proportion de souterrains augmente ou que la pente diffère davantage de celle qui permet de les éviter. Tel est le fait principal à exprimer dans la formule théorique. Cet état de choses, je le répète, souffre de fréquentes exceptions, mais il suffit qu'on le trouve conforme à un certain nombre de cas pratiques pour qu'il y ait lieu de l'examiner.

16. — Soit donc A' la valeur particulière de l'inclinaison qui satisfait aux conditions économiques dont nous venons de parler, et G' la dépense correspondante de construction. Une fonction de h qui semble appropriée à sa destination est celle-ci

C", désignant une quantité constante, très-considérable par rapport à C.

D'après cette formule, en effet, la valeur de C se réduit à C quand l'inclinaison h se confond avec la pente particulière A', ce qui doit être. La dépense augmente très-

» quelques vallées secondaires

» Une autre ressource , mais bien rare, se rencontre dans quel- » ques accidents du sol , où les vallées se trouvent subitement » élargies de manière à permettre de tracer des lacets sans recou* » rir aux souterrains pour les courbes de retour du tracé. »

Etude de la traversée des Alpes par un chemin de fer [passage par le Siniplon), par M. Eugène Flachat, p. i6 et suivantes.

rapidement à mesure que Tinclinaison diminue, par suite du terme C" (h' —h], dont le premier facteur est supposé très-grand. A la limite, quand h devient nul, ce qui conduit à des travaux irès-diniciles el accroît la proportion de souterrains, la dépense kilométrique se trouve iort élevée et représentée par C -f- C" h'.

Pour déterminer la constante C" il suffit d'étudier un certain tracé, de pente lu, et d'évaluer la dépense correspondante G,. La relation (i) appliquée à ce tracé donne

d'où l'on déduit

La relation (i) devient ainsi

On pourra en contrôler l'exactitude en y remplaçant C et k par les valeurs reconnues directement sur le terrain pour un^tracé particulier; on verra jusqu'à quel point l'é- ([uation est ainsi vérifiée. Mais tel n'est pas notre objet en ce moment, puisque nous acceptons la formule (i) comme d'accord avec les faits.

Si l'on adopte cette fonction de li, le terme qui dans l'expression de la dépense totale de la rampe représente les frais d'établissement, est le suivant

ovi

/ (C -f- C'A') — ^ - iC" -^.

' 1000 A looo

Si Ton se reporte à la relation (i) du n^ 11, établie dans r hypothèse d'une dépense kilométrique indépendante de la pente, on voit que le terme représentant cette dépense ne diffère de celui qu'on vient de trouver, que par

la quantité constante — iC Quant au multiplicateur

de -jr-î il est, dans les deux cas, un nombre déterminé.

Mais dans l'opération de la différentiation , la con-

siante — iC" disparaîtra nécessairement; par consé-

1 ooo ^ "^

quent Téquation en h, obtenue pour faire connaître la pente économique, sera absolument semblable. Ainsi les formules ne changent pas, soit que la dépense kiloméiriquie de construction se trouve indépendante de la pente, soit qu'elle varie avec elle en conformité de la relation (i) ci-dessus.

Une autre fonction de A, remplissant le même objet que la relation (i), est celle-ci

Quand on y fait h = h', G se réduit à C ; et si A diminue

indéfiniment, C augmente de plus en plus et a pour der-

nière expression r^fkr ^ quantité qui peut être rendue

aussi grande qu'il est nécessaire, en assignant à C une valeur peu inférieure à T7«

20 CHAPITRE II. - DÉPENSE DE œNSTRUCTlON.

Avec celle nouvelle fonclion, le lerme de l'équaiion (i) du n** 11, qui représenie la dépense d'élablissemenl de la rampe, se complique d'une manière sensible par rapport à A, car il devieni

iC 5

^ ioooA[i — C"(/i' — A)]'

fraclion qui conlienl h au second degré, en dénominaleur. Au poinl de vue de la facilité des calculs, il convient donc d'adopter la première fonction, qui s'applique d'ailleurs au phénomène tout aussi bien que celle-ci.

17. — Nous avons toujours raisonné comme si la dépense kilométrique d'établissement était constante sur toute l'étendue d'une même rampe. Il n'en est pas ainsi en réalité, et le prix de revient du kilomètre varie, au contraire, d'un point à un autre, par suite de l'inégale difficulté des obstacles à surmonter. Mais il est d'usage, dans les devis, d'apprécier en bloc la dépense d'une rampe : le prix énoncé pour un kilomètre est la moyenne du parcours. C'est d'ailleurs ce qu'il importe véritablement de connaître, puisque dans l'adoption de la pente on ne peut tenir compte des différences de détail présentées par le terrain. En ce qui concerne la discussion du tracé, la question est donc la même que si la dépense était uniformément répartie le long de la rampe. 11 en serait autrement si la distribution des obstacles naturels aux divers points du parcours conduisait à modifler le profil en conséquence, de manière à approprier, en chaque endroit, la grandeur de la pente aux circonstances du terrain. Un tel mode ne permettrait plus de regarder la dépense kilométrique comme constante, ou

GHAWTRE II. - DÉPENSE DE CONSTRUCTiON. 27

plutôt on aurait affaire à plusieurs rampes distinctes, pour

chacune desquelles d'ailleurs la constance aurait lieu. Ce

fi*£i€tionnement a des limites dans la pratique : les conve-

ao.»ces de Texploitaiion appellent Tuniformité dans le

régime des pentes, au moins sur une certaine étendue.*

Cette condition est surtout nécessaire quand les pentes

doivent être considérables, comme celles dont nous nous

occupons dans ce travail. Il devient très-onéreux d'avoir

des rampes variées, si Ton se propose de leur affecter

une exploitation spéciale. Les nécessités de la portion la

plus raide gouvernent le service de Tensemble, et Ton

a, dans Fexploitation, toutes les charges de la plus forte

pente, sans en avoir les bénéfices dans la construction.

Aussi convient-il, quand on est conduit à adopter pour

un certain passage, une inclinaison considérable, qui

donne lieu à un service spécial, d'en profiter sur toute

i'élendue du terrain où les travaux en tirent quelque

avantage.

18. — Un mot, en terminant ce chapitre, sur le caractère du minimum que nous nous proposons de calculer.

Nous verrons bientôt que la dépense d'exploitation est exprimée par une fonction de A, telle que, en deçà ou au delà d'une certaine valeur de la pente, la dépense aille en augmentant sans aucune limite. De ce côté, il ne saurait y avoir de doute; la valeur du minimum est unique, ei une seule pente peut la fournir. Mais en tenant compte de la construction, les choses se passent tout différemment, et il peut y avoir deux ou plusieurs minimums correspondant à autant de pentes distinctes. Il suffît, pour cela, que le terrain comporte plusieurs tracés, plus économiques chacun (au point de vue de la construction)

que les tracés intermédiaires. Si deux des pentes correspondant à ces tracés économiques tombent , par exemple. Tune en deçà, l'autre au delà de celle qui réalise le minimum de la dépense d'exploitation, il est clair qu'entre cette dernière pente et chacune des deux autres il y aura une inclinaison intermédiaire qui correspondra au minimum de la dépense totale d'exploitation et de construction. On aura ainsi à choisir entre deux minimums.

Cette circonstance ne peut évidemment se présenter quand on suppose les frais kilométriques d'établissement indépendants de l'inclinaison ; il n'y a alors qu'un minimum.