Afin de simplifier l'expression, nous poserons

P étant une constante qui a la valeur suivante (5) ^=^L^^^Ib\.

ars\ 2 /

I ^ axnh

D'après cette notation, le polynôme a + 6 à

pourra s'écrire — [\t.+ h).

Réduisons au même dénominateur tous les termes placés dans la grande parenthèse de l équation (3); cellç-ci deviendra

(zC4-K+iaQ)(/9-r-A)-(-i^(^4-A)(r+/t) .

^^ dh (f9 — r—h)fi """"•

Effectuons les produits indiqués et ordonnons le numérateur et le dénominateur par rapport aux puissances décroissantes de h. La quantité à différentier prendra la forme

FA^ + LA + N — h' -{- (fQ - r) h*

86 CHAPITRE IV. - CALCUL DE LA PENTE, en posant^ pour abréger,

N = ^ «Qf.-h (iC -h K H-i«Q\ (/e — r).

Prenons la différentielle d'après les règles connues (**); on verra sans peine que Téquation (6) devient

[-/i'-h C/'Q - r) h] ('iF/i 4- L) - (F/i'-hLA-hN) ( - ih^fQ^r)

Comme aucun terme du dénominateur n'est susceptible de devenir infini, il faut annuler séparément le numérateur. En développant les opérations indiquées, des réductions s'opèrent; les termes .en h\ notamment, se détruisent, comme on devait s'y attendre, ce qui ramène

(*) Les deux termes iC et K étant réunis, avec le même signe, dans les formules subséquentes, nous les considérerons comme ne formant qu'une seule quantité, et nous les placerons entre parenthèses pour mettre leur somme en évidence.

(**) On sait que la différentielle d'une fraction s'obtient : i** en formant le produit du dénominateur par la différentielle du numérateur; 2*" en retranchant le produit du numérateur par la différentielle du dénominateur ; 3*" en divisant la différence ainsi obtenue par le carré du dénominateur. Autrement dit, on a la formule élémentaire

, u velu — udv d - z=i —

EXPLŒTATION SPÉCIALE. 87

réquation au second degrés On a finalement

(9) [F(/e-r)-hL]/i'+2NA-N(/ô-r) = o,

relation dans laquelle F, L et N ont les valeurs indiquées ci-dessus.

Pour abréger, nous poserons encore

en sorte que Téquation (9) prend la forme plus simple

(11) MA^-h2N/« — N(/0 — r)=o.

On en déduit immédiatement la valeur de la pente économique

= ^|-N±:v/N[N + {/9-r)M]j, que nous mettrons sous la forme

, ,, . — N±ypN

en écrivant, pour simplifier,

On aurait la valeur de h en fonction des éléments de la question, en remplaçant dans la relation (i3) les quantités M, N et P par leurs expressions connues. Mais la formule

qu'on obtiendrait par cette substitution immédiate serait très-compliquée et difficile à manier. Fort heureusement elle est susceptible de simplifications remarquables qu'on met à jour par un usage convenable des polynômes M, N, P.

40. — Auparavant, rappelons les valeurs de ces polynômes, telles qu'elles ont été établies dans le cours des transformations

N =^«Ofx-h(iC + KH~i«QWe — r),

Si on y fait les substitutions voulues et qu'on tienne compte des réductions très-simples qui se présentent, on met ces polynômes sous la forme suivante :

(.5) |N=;iaQ(/e-r+^)+(iC-HK)(/ô-r),

Il ne reste plus, pour avoir affaire aux seuls éléments directs de la question, qu'à remplacer fA par sa valeur

azt \ a /

On obtient alors

M= Q f^-^iH-S- ^±-^^^ii W (/C +K), \2 r xs J ^

af6 — r a +6

y \2 r vj

Telle est la forme définitive de ces polynômes, dont nous ferons fréquemment usage par la suite.