Cela posé, remarquons qu'on a par hypothèse
P = N4-(/0 — r)M, d'où
fO-r
Si Ton remplace M par cette valeur dans la formule (i3), celle-ci devient
(i6) h=(f9 — r) — p-— jj
Mais on peut écrire
— N ±: \/PN = v/N (dz ^P — \/N) et
On en conclut
— Nztv^PN v^
p N zbv/P-hV^N
ety par suite.
Le double signe mis devant la racine de P tient compte, comme il est facile de s'en assurer, du double signe de
v/PN dans la formule (i3). L'expression de h est donc complète et contient les deux valeurs qui résultent de réquation (ii] du second degré. Mais il est visible que le signe moins ne saurait convenir, et que la valeur
ne satisfait pas à la question.
En effet, la pente égale à /G — r est, comme nous le verrons tout à Theure, celle sur laquelle la machine emploierait toute sa puissance à se remorquer seule. Donc toute pente plus forte serait inaccessible à la machine, ce qui est précisément le cas de Tinclinaison représentée par
(/0 — r) -— p^, puisque le multiplicateur de /G — r
VN — vP est ou plus grand que Tunité ou négatif.
La seule valeur de h convenant à la question est la suivante :
(i8) /f={fQ-r) ,y^ ■
^ ^ ^-^ WN + y/P
Si Uon divise tous les termes par ^N , et qu'on repré-
sente par UMe rapport ^j^? essentiellement positif, la valeur
de h prend la forme remarquablement simple, sous laquelle nous remploierons désormais,
L'expression de U* en fonction des éléments directs de la question est celle-ci :
0(2fc.V"-±i^)/.
^^[^-^ i ^^j + (iC-l-K)(/ô— r)
que, pour plus de symétrie, nous écrirons de la manière suivante :
(cl U'= " ^ - - '-
En sorte que U^ est égal au quotient— multiplié par une quantité évidemment moindre que Tunité.
42. — On peut arriver plus rapidement à Téquation (i i) qui a fourni la valeur de la pente économique.
A cet effet, reprenons Téquation (i), relative à Tex-
pression de la dépense, et faisons passer dans la grande
parenthèse le terme Q » qui devra y figurer sous
la forme -aQ — Remplaçons d'ailleurs n par sa valeur
connue, et faisons usage, comme précédemment, de la quantité auxilaire f*. L'équation (i) deviendra
S = A -4-Bh-Q
looo q
i«Q (fx-h/i)(r-hA) 1 H 2 r f^ — r — h J ioo<
oooA
Si nous réduisons au même dénominateur la quantité placée dans la grande parenthèse, des simplifications importantes se présentent. Les termes en A* notamment disparaissent, et la relation prend définitivement la forme ci-après :
lOOO q fO-^r—h "7ÔÔ
Mais il est aisé de reconnaître, en se reportant aux relations (i5) du n® 39, que le coefficient de A, au numérateur de la fraction, est précisément le polynôme désigné par M, et que la quantité indépendante de A, au même numérateur, est le polynôme désigné par N. En se servant des mêmes notations qu*au numéro précité. Té-
quation (2) peut s'écrire
(3) S = A + B + QJ°-iy.^ MA+r H ^ ' 1000 q (jQ — r — n)n 1000
d*oii résulte, pour Tannulation de la dérivée,
. d MA 4- N
Si Ton effectue la différenlialion d*après les règles connues, el qu'on tienne compte des réductions évidentes, on obtient Téquation du second degré
(5) MA^4-2NA — N(/e — r)=o,
laquelle n'est autre que la relation (11) du n® 39, puisque M et N désignent identiquement les mêmes quantités.
43. — Reprenons maintenant les valeurs de h et de U, des formules (6) et (c).
Certains termes de ces expressions sont susceptibles d'une interprétation concrète, qui n'est pas dépourvue d'intérêt.
I** Le binôme /ô — r représente, comme nous l'avons avancé au n® 41, l'inclinaison de la rampe sur laquelle la machine emploierait toute sa force à se remorquer seule, à la vitesse normale devenue uniforme. En effet, sur une pareille pente, la composante du poids de la machine, égale dans tous les cas au produit du poids par l'inclinaison, aurait pour valeur uX (/ô— r), ou/60 — ru. Quant à toutes les autres résistances extérieures, elles sont, à la vitesse normale, exprimées par rm. La somme de ces deux quantités, ou simplement /ou, représente la résis-
tance totale au mouvement de la locomotive. D'autre part, la force disponible pour obtenir ce mouvement est égale à l'adhérence pratique multipliée par le poids moteur, c'est-à-dire à la même quantité /ôcj (*). Toute la puissance de la machine est ainsi employée pour le transport de son propre poids. Désormais nous désigaerons, pour abréger, celte inclinaison sous le nom de pente d'équilibre. Sa grandeur varie avec les divers types de locomotive, puisqu'elle dépend de 0, rapport du poids moteur au poids total. Si l'on convient, par exemple, de fixer
l'adhérence pratique à^, et de prendre une marche telle
que r soit égal à o,oo5 (ce qui est une vitesse moyenne), si en outre tout le poids de la machine est utilisé comme poids moteur, auquel cas est égal à i, la pente d'équilibre est exprimée par^ — o,oo5, soit 120 millièmes.
2" La fraction représente le nombre de fois
qu'une locomotive peut remorquer son propre poids sur une voie horizontale, à la vitesse normale devenue uni-
(*) Je dis l'adhérence pratique, puisque nous sommes convenus d'adopter ce coefficient réduit comme limite de la force tangentielle. L'équilibre dont il s'agit ici est en quelque sorte on équilibre industriel, et non mathématique.
On remarquera que dans la résistance totale au mouvement nous n'avons pas compris les résistances intérieures de la machine. C'est toujours pour le motif énoncé au chapitre précédent (n** 25). Ces résistances intérieures n'interviennent pas dans l'équation d'équilibre établie au point de vue de l'adhérence comme limite de la force disponible.
forme. En effet, le produit de Tadhérence pratique parle poids moteur, ou le maximum de puissance de la machine étant égal à/ôo, et la résistance au transport de la locomotive elle-même étant égale à ru, la différence ou (yo — r)u représente la force disponible pour la traction de la charge additionnelle. Celle-ci étant désignée par n, sa résistance aura pour valeur rn, et la relation d'équilibre sera
(i) (f9 — r),^ = rn,
d'où
CT r
l^e rapport — pourrait être appelé coefficient dynamique.
tu
Jl mesure en quelque sorte, pour chaque locomotive, le degré de sa puissance, par rapport au poids de matière Qui la constitue.
On peut interpréter autrement le rapport Re-
ïnarquons que si n est le nombre des trains employés au transport du poids total Q sur une voie horizontale, on aura
Q = nu.
Multiplions par n les deux membres de la relation (i), il ^'iendra
dou
n[f9 — rjo == rQ,
/ô-r xj
3° Le quolienl - est la dépense de iraclion (enlrelien
compris) d'une locomotive marchant seule, sur un palier, dépense rapportée au poids de la machine. Mais ce n'est pas là, à proprement parler, un coefficient, parce que ce rapport n'est pas constant pour les divers types de locomotive. Tous les autres éléments restant les mêmes, il varie avec le poids de la machine. Cela se comprend. Quelle que soit la masse du moteur, il y a des dépenses qui ne changent pas, d'autres dont la variation n'est pas proportionnelle. Les frais de personnel, par exemple, sont indépendants du poids. La perle de force due au refroidissement et aux étranglements de la vapeur dans les tuyaux de conduite change avec les dimensions de la
machine, mais non dans le même rapport. La fraction --
est une quantité analogue à -» plus voisine toutefois de
GT
la constance, puisque S ne représente qu'une certaine dépense de combustible.
4° Le quotient- est la dépense d'entretien de la voie,
occasionnée par le passage d'une locomotive à la tête de son train, et rapportée au poids de la machine. Mêmes observations que tout à l'heure : ce quotient varie avec le poids de la machine, parce que l'usure de la voie augmente beaucoup plus rapidement que le poids de chaque paire de roues. Cela résulte des considérations exposées au n° 34 touchant les effets produits respectivement par les locomotives et par les simples wagons.
kk. — On a immédiatement une limite inférieure des valeurs possibles de la pente économique, en supposant
C]uie le multiplicateur de^> dans l'expression de U' (for-
le c), est égal à Tunité. Cette hypothèse, qui ne se
réalise jamais, puisque la quantité (iC-i-K)^^ ne
peut évidemment pas être nulle, a pour résultat d'exagérer la valeur de U, et, par suite, de donner à h une valeur Xrop faible. Celle-ci est exprimée par
nous appellerons cette valeur de h le minimum de pente économique, pour indiquer que la pente économique ne peut jamais descendre au-dessous de ce chiffre. Ainsi, quelles que soient les conditions de construction et d'exploitation d'une rampe, l'importance du trafic, le système de voie, etc., la pente économique est toujours supérieure à une fraction de la pente d'équilibre représentée
par — *
Si Ton adopte pour /, ô et r les valeurs admises plus haut, à l'occasion de la pente d'équilibre, la fraction ^
se trouve égale à — ^ — =- ou à 25, et le radical se réduit à 5. ^ o,oo5
^^ minimum dont il s'agit a pour valeur^ (/ô — r),c'est-
^-clire un sixième de la pente d'équilibre, ou 20 milli- Tûèires.
On a égalemenl une limite supérieure de A, dans la penle d'équilibre elle-même. Aussi, pour ce motif, nous arrivera-l-il de désigner la penle d'équilibre sous le nom de maximum de pente économique. Avec les valeurs cidessus de /, ô et r, on a vu que ce maximum est égal à 120 millimètres.
Le maximum comme le minimum sont indépendants des éléments de la question, sauf r et 6, c'est-à-dire sauf la vitesse et le poids moteur.
45. — Nous allons déduire quelques conséquences relativement à l'influence des divers éléments sur la valeur de la pente économique.
Reprenons les formules [h) et [c] du n" 41,
Les circonstances qui font augmenter U font diminuer A, et celles qui font diminuer U font augmenter A. Voyons donc comment U varie avec les données de la question.
1® Influence de la dépense de construction. — Quand C augmente indéfiniment, la valeur de U diminue de plus en plus; et, à la limite, pour C = oo,onaU = o. La pente économique se confond alors avec la pente d'équilibre; ce qui, du reste, est évident à priori.
Inversement, quand C diminue, U augmente el A diminue. Si la dépense est nulle à la fin, la valeur de la pente
EXPLOITATION SPÉeiALE. 99
se confond avec celle qu'on iroUverait directement, en résolvant le problème au seul point de vue de l'exploitation, abstraction faite des frais d'établissement. La quantité K peut d'ailleurs être considérée comme proportionnelle au traflc : si donc on pose K = cQ, c étant une constante, la valeur de U* devient
^^ r a fB — r a-M--jJ JB
CT
La particularité la plus importante à signaler est la disparition de Q dans l'expression de la pente. Celle--ci se trouve indépendante du trafic. Il ne pouvait en être autrement, puisque, d'une part, nous avons considéré les frais d'exploitation comme proportionnels au trafic, et que, d'autre part, nous négligeons les frais d'établissement. En pareil cas, il est clair que la pente, bonne pour un certain traflc, l'est également pour tout autre.
2? Influence du trafic. — Pour l'apprécier, divisons tous les termes de U' par Q, en remplaçant d'ailleurs K par cQ. La quantité Q ne figurera plus qu'en diviseur de iC; il est visible que si elle augmente indéfiniment, le
terme ^r tendra vers zéro. La valeur de la pente converge vers celle que nous venons de trouver, et lui devient égale quand le trafic est assez considérable pour
que la fraction -jr- soit négligeable. La formule [d] est
donc celle qui convient à un chemin de fer dont le trafic
iOO CHAPITRE IV. -^ CALCUL DE LA PENTE.
paraîtrait susceptible d'un développement en quelque sorte illimité.
Lorsque, au contraire, Q diminue jusqu'à zéro, la valeur de U s'annule aussi, et la pente se confond avec Tinclinaison d'équilibre, absolument comme lorsque la dépense de construction augmente au delà de toute limite. Cela doit être, car ces deux éléments agissent à l'inverse l'un de l'autre pour déterminer la grandeur de la pente économique.
3° Influence de la proportion du poids moteur. — Nous entendons par là l'influence de la valeur assignée à 0, rapport du poids moteur au poids de la locomotive.
Mettons U* sous la forme suivante, qu'on obtient par des divisions successives au numérateur et au dénominateur:
2 ra f^ — /'
Si d augmente, le multiplicateur de — diminue : en
effet, fB ^ r augmente; par suite, le diviseur de
iC H- K diminue, et le diviseur de Q augmente;
donc la fraction tout entière diminue. D'un autre côté,
le terme *^ augmente avec ô. Le produit des deux fractions, ou U% augmente donc moins vite que 0, et U moins vite que ^0. Au contraire, le terme /ô, du numérateur d« la pente, augmente comme d lui-même. Sous ces deux influences opposées, entre lesquelles celle du numérateur
EXPLOITATION SPÉCIALE. lOi
de h est prépondérante, il est visible que la valeur de la pente augmente avee la proportion du poids moteur. Ainsi, quand la configuration du terrain appelle de fortes pentes, il est avantageux d'adopter des machines où Taccouplement des roues soit le plus étendu possible. C'est encore là un résultat évident à priori : on a tout intérêt à réduire le poids mort et à utiliser pour la production de la force de traction la plus grande partie du poids de la locomotive.
Le coefficient /figurant dans les formules de la même manière que ô, les observations précédentes lui sont également applicables : ce qui signifie qu'on doit régler la charge des trains en vue d'une adhérence pratique aussi élevée que les circonstances le permettent.
4° Influence du poids de la machine [tende r compris). — On arriverait à de fausses conclusions si l'on se bornait à examiner comment la quantité m entre dans la formule. Il faut aussi tenir compte des quantités a, 6 et ^, qui dépendent implicitement de u et qui varient dans le même sens, quoique suivant des lois différentes. Ce qui
est à considérer, ce sont les rapports -j - et -• Quant
