CT CT
Himite elle augmente avec cr. Il y a donc intérêt à acc^roîire le poids de la locomotive, le nombre des essieux restant le même, pourvu que la charge de chacun d'eux i*esie assez éloignée de la limite de résistance de la voie; mais dès qu'on approche de cette limite, il faut renoncer à augmenter le poids de la machine, à moins de multiplier en proportion le poids de ses essieux (*).
(*) Ce point peut être rendu sensible par le calcul.
Puisque, cr augmentant, h augmente aussi tant que la somme
iU CHAPITRE IV. - CALCUL DE LA PENTE.
46. — La composition du train moyen, correspondani à la pente économique, se déduit aisément des formuleî déjà trouvées.
Soit n le poids du train ( non compris la machine e son tender); la résistance de ce poids à la traction sur Ist^ pente A sera* représentée par nA-+-nr, et la résistance^
des rapports - et - diminue I je laisse de côté *- - pour simplifier
le raisonnement) , il est clair que h atteindra son maximum quand la variation de eette somme, correspondant à un accroissement de cr, sera nulle, car au delà la variation deviendrait négative et la valeur de h diminuerait. On devra donc avoir
fizT
X et € étant deux fonctions inconnues de cr.
On déduit de là, d*après les règles connues de la différentiation,
dts ajs
qu'on peut mettre sous la forme
en i-eprésentant, pour abr^er, par a' et par t' les dérivées de a et de €, prises par rapport à la variable o.
La relation (3) nous montre que le maximum de h sera obtenu lorsque la somme des dérivées des deux fonctions qui expriment respectivement la dépense de la machine et Fusure de la voie, sera égale à la somme des rapports de ces mêmes fonctions au poids de la machine. En d'autres termes, il y aura a\'antage à augmenter le potda de la machine, même en augmentant en proportion la charge
EXPLOITATION SPÉCIALE. i05
totale (toujours sans tenir compte des résistances intérieures de la machine, qui n'ont pas d'intérêt pour l'adhérence) aura pour valeur (n-4- w) ( A -h r). La relation d'équilibre sera donc
(0 (n-hrj)(k+r)=:fOtj,
des essieux, tant que la somme des deux dérivées restera inférieure à la somme des deux rapports.
La relation ( 3 ) ne fournit aucune indication numérique sur la valeur de cr qui donne lieu au maximum de h, puisque a et ^ sont des fonctions inconnues de a. On peut toutefois présenter certaines appréciations. Ainsi on peut admettre sans grande erreur que dans la dépense d'une machine les frais de personnel sont indépendants du poids, et que tous les autres (combustible, entretien, intérêt du capital, etc. ) sont sensiblement proportionnels au poids ; en sorte que a est une fonction de la forme k-\-lis^ A- et / étant deux constantes fournies par l'observation. D'après cette hypothèse, on a
«tla relation (3) devient
^ qui nous montre que le maximum est tout à fait indépendant des dépenses de machines autres que celle du personnel.
Si l'expérience permettait de conclure la forme analytique de ^ = /(Tar), la relation (4) se résoudrait par les procédés ordinaires. Supposons, par exemple, qu'on ait ê = At^^*, m étant plus grand ^"® i; cette formule paraît assez rationnelle, puisqu'on sait que 6 augmente très-rapidement avec a, pour des poids peu supérieurs à ceux de nos locomotives ordinaires. On aurait
i06 CHAPITRE IV. - CALCUL DE LA PENTE,
d'où
{2f) n-f-cj=^=^^ — r^ ei n=^^^ f-r
et la relation { 4 ) deviendrait
OU
d'où suit la valeur
m/ Je
La quantité A est une constante fournie par la connaissance de Tusurc de la voie pour un certain poids de machine déterminé.
Dans le cas particulier où l'on supposerait w = 3, w = 45 tonnes (poids do la machine moyenne du Midi), 6 = o*', aa (| de la dépense d'entretien par kilomètre de train), on aurait
si l'on suppose en outre / = o'%ao (dépense du personnel de la traction par kilomètre de train), il en résulte
or = ^40000 = 35 tonnes.
Mais ce poids est évidemment trop faible, parce que la dépense de personnel n'est pas la seule qu'on doive considérer comme constante dans une machine : une portion des autres frais est dans le même cas, ou du moins varie moins vite que le poids. Si, pour en tenir compte, on force X-, et qu'on le suppose égal, par exemple, à o'% 3o, la valeur de cr diffère peu de 40 tonnes.
Mais ces résultats n'offrent, on le comprend, aucune certitude, par suite de l'insuf&sance des données expérimentales.
EXPLOITATION SPÉCIALE. i07
fO — r Hemplaçons h par sa valeur connue j; ; il vient après
réduction
— /e-hrU
Si l'on veut avoir le rapport de cette charge à celle qui serait remorquée sur un palier, il suffit de diviser n par
cette dernière, c'est-à-dire par* ^ ^ p(*)' On a en appelant P la charge en palier,
(3) n /e+rU __ rU
^ P"" fB—r ""/©-+- rU
^*t>ù enfin
C^tte expression montre dans quelle proportion la charge ^'^ne machine doit être réduite en passant de la ligne •^^irizontale sur la pente économique.
On a immédiatement une limite supérieure de ce ftp- P^Tl ou une valeur maximum de n, en attribuant à D la
Plvis grande valeur qu'il puisse recevoir. Alors -jt est le
(*) Dans l'hypothèse où l'adhérence pratique est prise au même chiffre dans les deux cas, ce qui n'a pas lieu nécessairement. Mais il s'agit ici d'une relation purement théorique.
plus petit possible, et t;^ — le plus grand possibl
'-^ — Tt On a vu (n" kk) que la valeur maximum de U est égal
à \/— : il en résuite
Mais, d'après le numéro précité, le second membre do celte relation est égal à /.^-^^ > A représentant la limite inférieure de la pente économique. On a donc
n représente dès lors la charge du train remorqué sur le minimum de pente économique. On parvient ainsi à ce résultat remarquable, que le rapport des trains remorqués sur le minimum de pente économique et sur la ligne horizontale est égal au rapport des inclinaisons minimum et d'équilibre.
On peut exprimer cette relation sous une autre forme. Si Ton adosse Tun contre l'autre deux plans inclinés, l'un à la pente minimum, l'autre a la pente maximum, et si l'on place respectivement sur ces plans deux poids, égaux le premier à la charge remorquée en palier, le second à la charge remorquée sur la pente minimum, ces deux poids se feront équilibre.
En adoptant pour /, Ô et r les valeurs déjà admises en plusieurs circonstances, la charge sur le minimum do
pente ou la charge maximum se trouve égale au 6® de la charge en palier.
W. — Passons maintenant au calcul de la dépense totale faite sur la rampe.
Nous avons trouvé, au n* 42, Texpression suivante
/ V o 4 « ^ H I05 MA + N H
looo q (f9 — r — A)Aiooo
Pour en déduire le chiffre de la dépense, il suffit de remplacer A par la valeur obtenue pour la pente économique,
c'est-à-dire par '^ — • Si nous faisons cette subslîlu-
tion, nous aurons, d'une part
/ô— r— A = ^ rf— >
doù
et d'autre part
Mais, d'après la formule {i4) du n^ 39, M est lié à P et à N par la relation
iiO CHAPITRE IV. ~ CALCUL DE LA PENTE.
Si Ton remplace M par celle valeur dans le second meni bre de l'équation ri-dessus, on obtient
= N/PN = Ny/^ = NU.
En représentant , pour abréger, par G le polynôme
A + B + Q 5 indépendant de la valeur de la pente,
looo q
l'expression de S prend la forme
, X ft n , N(i-f-U)' H
On peut lui donner une forme différente en remarquant que ^ " est égal à tî il vient alors
ooo
Mais il ne faut pas en conclure que le dernier terme du second membre est inversement proportionnel au carré de rinclinaison ; car h est une fonction implicite de N, et les mêmes éléments qui font varier A font aussi varier N. Les expressions précédentes nous montrent que la dé« pense S, correspondant à Tadoption de la pente économi-
EXPLOITATION SPÉCIALE. iii
que, se compose de deux termes : Tun qui ne dépend ni de h ni d'aucun des éléments (sauf le trafic Q) qui concourent à former la valeur de A, Vautre qui est fonction des divers éléments de la question et de la pente ellemême. C'est ce dernier seul qui intéresse véritablement. Aussi écrirons-nous généralement les formules (g*) et (/) sous la forme suivante, en considérant la différence S — G comme une quantité unique i :
ig) S — G ou 2= -7^;r r^^ 5
'^ (jB — ry looo
(0 S — G ou 2 = T-,
lOOO
La quantité 2 sera désignée désormais sous le nom de dépense variable, pour indiquer que c'est elle qui dépend de l'inclinaison, et qui est la moins élevée possible quand on adopte la pente économique. Nous donnerons à S le nom de dépense totale, ou de dépense économique qui la distingue suffisamment. Quant à la quantité G dont nous aurons rarement occasion de nous occuper, on peut, si l'on veut, l'appeler dépense constante, puisqu'elle est indépendante de l'inclinaison.
La dépense variable se confond avec la dépense totale lorsque la répartition kilométrique des stations ne varie pas avec la pente, et lorsqu'on néglige les frais dus aux freins supplémentaires, toujours peu importants par rapport aux autres dépenses.
Si l'on désire connaître la dépense variable rapportée à un kilomètre de rampe, il faut diviser la quantité 2 par la
longueur du parcours, j- En désignant par tr cette
m CHAPITRE IV. - CALCUL DK U PENTE,
dépense kilométrique, on a
(*•) "= fB-r '
(i) - = -yi;
expressions d'une forme très-simple.
48. — Nous avons remarqué loul à l'heure que, A étant implicitement fonction de N, la dépense variable n'est pas inversement proportionnelle au carré de Tinclinaison. Maison peut montrer que 2 varie en sens contraire de A, ou que les circonstances qui augmentent la valeur de la pente économique diminuent en même temps le chiffre de la dépense. Les frais d'établissement font seuls exception : à mesure qu'ils augmentent^Ua pente économique augmente également (n"" 45]. Dans tous les autres cas la dépense croît quand l'inclinaison diminue, et vice versa.
On le constate immédiatement pour le trafic. Les frais d'exploitation croissent avec lui, tandis que la pente économique décroît.
Il en est de même pour le poids de la machine, ou plutôt
pour les rapports -»->-• On a vu que Tinclinaison varie
vj tn zj
en sens inverse de la somme de ces rapports. Au contraire,
le polynôme N varie dans le même sens. Il y a donc une
double raison pour que 2, qui est égal à t; 9 diminue
quand h augmente, et réciproquement.
Reste l'influence de/ô. Quand A augmente par suite
EXPLOITATION SPÉOAfcE. US
des valeurs attribuées à /ô, N augmente aussi, et on ne
N discerne pas tout d*abord comment -j- doit varier. Mais
nous avons reconnu (n^iS) que le dénominateur de h
( formule b ) croît moins vite que yZ/ô, et que le numérateur croît avec la première puissance de/0. Donc A augmente plus rapidement que ^fB, et A' plus que fB. D'autre part N croît évidemment moins vite que/ô; il s'ensuit
N que -jz diminue à mesure que A augmente avec/ô.
Ainsi, sauf l'élément de la construction, la dépense économique varie toujours en sens contraire de la pente, quelles que soient d'ailleurs les conditions d'exploitation dans lesquelles on se trouve placé. Ce résultat n'est pas évident à priori. Rien n'indique pourquoi, l'inclinaison économique venant à augmenter, la dépense correspondante est nécessairement diminuée.
Lors donc que la configuration du terrain appelle de fortes rampes, au point de vue de la construction, il y a un double intérêt à adopter les conditions de voie et de matériel qui font prendre à la pente économique une valeur élevée. Par là non-seulement le point de vue de la construction est satisfait, mais en outre on diminue les frais mêmes de l'exploitation.
Cas où la répartition kilométrique des stations est indépendante de la valeur de la pente»
49. — Dans cette hypothèse, les expressions de la pente et de la dépense conservent la même forme algébrique.
114 CHAPITRE IV. - CALCUL DE lA PENTE.
La seule remarque à faire, c'est que la quantité K, quB figure dans U et dans N, comprend alors non-seulennenfc les mêmes frais qu'auparavant, mais en outre les dé — penses relatives aux opérations des stations et à rentre — tien des bâtiments. Par cçntre, la valeur de G se trouver modifiée : car les quantités A et B, qui dans la relation fondamentale (i) du n** 38, figurent hors de la grande parenthèse, disparaissent naturellement pour se reporter sur la quantité K, augmentée en conséquence. Le polynôme G se réduit par conséquent à Q • Moyennant cette interprétation donnée à K et à G, les formules déjà trouvées conviennent parfaitement au cas actuel.
Hypothèse sur la dépense kilométrique de construction,
50. — Nous avons dit (n" 16) que dans un certain nombre de circonstances on ne devait plus regarder la dépense de construction comme indépendante de la pente^ et qu'on pouvait, avec une assez grande approximation, lui attribuer une expression de la forme C =G'H-C'' (h' — h), C et C" étant des constantes déterminées par l'observation, et A' une pente particulière, qui correspond à une dépense connue.
Nous avons ajouté, au numéro précité, que celle hypothèse n'introduit aucune modification dans la marche des calculs ; la quantité C, qui figure dans la parenthèse, se trouve remplacée par le terme, également constant, C'-h C'A', et l'on a, hors de la parenthèse, une constante
additionnelle — iC"
lOOO
EXPLOITATION SPÉQALE. 115
Pour rendre les formules précédentes applicables à ce
as, il suffit d'augmenter G de ce terme additionnel, et
le substituer à C le binôme C'-hC^A'. Quanta toutes les
iutres quantités, elles conservent la même signification.
Hypothèse d'une rampe double ou d*un faite
à deux versants,
51. — Jusqu'à présent nous avons considéré une exploitation organisée sur un seul versant, comme si le chemin se terminait effectivement au sommet de la hauteur, ou du moins comme si, au delà, la voie se continuait dans des conditions tout autres que celles de la rampe. C'est ce qui a lieu lorsque le terrain, abrupt d'un côté, s'étend, de l'autre, en pentes adoucies. Mais les choses ne se présentent pas toujours ainsi, surtout dans les régions assez accidentées pour motiver de fortes rampes et une exploitation indépendante. 11 arrive souvent que les montagnes franchies par le chemin de fer offrent deux versants opposés, plus ou moins symétriques, et d'une inclinaison supérieure à la valeur habituelle de la pente économique. 11 faut, en ce cas, établir l'exploitation spéciale des deux côtés.
Les formules déjà trouvées ne s'appliquent pas immédiatement à cette hypothèse. En effet, la longueur du che-
min n'est plus représentée par ri maiselleest égale
à la somme des deux rampes montante et descendante. 11 n'en résulte toutefois aucune difficulté. Rien n'empêche de résoudre le problème pour un versant envisagé
ii6 CHAPITRE IV. - CALCUL DE LA PENTE.
isolément, el la penle ainsi déterminée conviendra à l'autre rampe, puisque cette pente est indépendante de la hauteur totale à gravir. La seule circonstance qui pourrait, théoriquement, s'y opposer, ce serait si le trafic ou le poids total à transporter n'était pas le même dans les deux sens. Car le poids montant sur l'une des rampes étant le poids descendant sur l'autre, et vice versa , les conditions de la traction ne seraient plus identiques sur les deux versants et dès lors la pente économique aurait une valeur différente. Mais comme nous sommes convenus, d'une manière générale, de ne pas tenir compte de l'inégalité du trafic, et de le considérer comme se partageant exactement par moitié entre les deux directions, il est visible que l'inclinaison économique sera la même. Pour avoir la dépense totale effectuée de part et d'autre, on calculera séparément celle de chaque versant, ou, pour mieux dire, on remplacera dans la formule •(§•) du n" W, H par H-f-H', H et H' désignant pour chaque versant la différence de niveau comprise entre le pied et le sommet. Ces deux hauteurs ne sont pas nécessairement égales, et peuvent même être fort différentes, selon la configuration générale du terrain. Lorsque les pieds des deux versants sont situés au même niveau, les deux rampes sont d'égale longueur, quelles que soient d'ailleurs les inclinaisons naturelles, puisque cette longueur est mesurée par le rapport de la hauteur totale à la pente économique.
En résumé, l'hypothèse de deux versants ne nécessite aucune formule nouvelle. Celle de la pente s'applique identiquement, et pour celle de la dépense, il suffit d'y remplacer H par la somme des deux hauteurs.
