CHAPITRE V
CALCUL DE LA PENTE ÉCONOMIQUE POUR UNE RAMPE EXPLOITÉE CONCURREMMENT AVEC UNE SECTION HORIZONTALE.
53. — Nous passons à la recherche de la pente économique dans rhypolhèse où il n'y a pas d'exploitation spéciale pour la rampe. Les trains doivent la parcourir en gardant la composition qui leur est assignée sur le reste du réseau, et ils ne reçoivent le secours d'aucune machine spéciale ou supplémentaire. En un mot, la rampe n'est qu'un accident plus ou moins prononcé dans le profil général, et n'entraîne aucune particularité d'exploitation.
11 n'est pas indifférent, on le comprend, d'adopter une pente ou une autre. Il faut concilier les intérêts de la rampe avec ceux de la ligne horizontale, et cette conciliation dépend de l'importance relative de chacune des
deux sections du réseau. 11 s'agit précisément de déterminer la part exacte qu'il convient de faire à ces influences opposées.
La marche à suivre ne diffère pas d'ailleurs de celle du chapitre précédent. Nous formerons l'expression de la dépense faite, tant sur la rampe que sur le palier, et nous égalerons la dérivée à zéro. La dépense de la partie horizontale dépend évidemment de la pente adoptée. Car cette inclinaison détermine la composition des trains sur la rampe, et comme la composition demeure la même sur la totalité du réseau, l'influence s'en fait sentir sur la ligne horizontale. Nous aurons donc deux fonctions à chercher : i** celle qui concerne la dépense de la rampe; 2? celle de la section en palier. -
54. — En conservant les mêmes notations que précédemment, la dépense totale de la rampe continuera à être exprimée par le polynôme suivant :
.. „ ^ H / a loe
looo \ir q
-f-jiCH-K-t--aQ-f-2/i(a4-6 — -^-f-^^M t\
\ 1 \ 2 2r / ) looo/i
h représente, non plus la pente économique déjà trouvée, mais la nouvelle valeur qui doit convenir au cas
actuel.
La dépense kilométrique de la ligne horizontale s'obtient facilement. Si l'on se reporte aux considérations dé- • veloppées dans le chapitre III, on reconnaît immédiatement :
I® Que dans le service du matériel et de la traction il y a lieu de distinguer : i** une partie indépendante de la
. EXPLOITATION œMMUNE. 123
pente, savoir Fentretien et le graissage des véhicules, à l'excepUon des machines; 2** une partie dépendante de la pente et égale k^na-^-aQ, dépense occasionnée par le transport, dans chaque sens, de n locomotives et du
trafic - Q ;
2° Que Texploitation proprement dite et le service commercial fournissent également une partie constante
et une partie exprimée par Q — h : cette dernière quantité représente, comme on sait, les frais dus à la présence des freins supplémentaires nécessités par le service de la rampe, frais qui se produisent sur tout le parcours si Ton admet que le régime de l'exploitation ne subit pas de modification ou que la composition des trains demeure la même sur Tensemble du réseau (*);
(*) Dans l'hypothèse où Ton ne change rien à la composition des trains pour passer de la ligne horizontale à la ligne inclinée, il est clair que TËtat doit imposer des conditions de sécurité en rapport avec les nécessités de la rampe, et qu'il prescrira, par exemple, de mettre un frein par 8 wagons au lieu d'un frein par 10 wagons. L'exploitation entière se trouve naturellement grevée par cette clause d'un intérêt tout local. Il peut arriver alors que l'administration du chemin de fer préfère affecter un personnel supplémentaire au service exclusif de la rampe, de sorte que chaque train emprunte, en entrant sur ce parcours, un certain nombre de gardesfreins, qu'il abandonne en en sortant. Gela revient à dire que le
terme — h disparaît de l'expression de la dépense sur la ligne
horizontale. Il en est de même quand l'inclinaison est assez faible pour que le nombre de freins nécessités par les conditions générales du service paraisse suffisant pour parer aux besoins spéciaux de la
3*» Que dans le chapitre des Bàlimenls et de la Voie on doit, comme dans celui du Matériel et de la Traction, distinguer : I** une partie constante, comprenant Tentretieii des bâtiments, la surveillance de la voie, Tusure produite par le passage du poids total à l'exception des machines 2® une partie égale à 2 /i6, laquelle exprime la part d'usure afférente aux n machines circulant dans chaque sens à h tête de leur charge (*).
Si Ton représente par K, l'ensemble des frais kilométriques indépendants de l'inclinaison, les frais d'exploitation seront égaux à
K.-f-aQH- Q — A-f-2w(a + 6).
Il est visible que K, représente précisément la valeur que prend K dans l'expression de la dépense sur la rampe, quand on suppose que la répartition kilométrique des stations ne varie pas avec la pente.
Cela posé, soit Ci les frais d'établissement par kilomètre, et L la longueur, en mètres, de la ligne horizontale;
le nombre de kilomètres sera égal à ; et la fonction
rampo. La dépense des freins demeure ainsi indépendante de la valeur de la pente.
( "* ) La dépense par passage do machine n'est pas cxactemeni égale à 6, puisque € représente d'autre part l'usure sur la rampe. Or la charge sur la ligne horizontale nécessitant un moindre effort de traction que sur la voie inclinée, l'usure y est moins considérable. Mais comme la différence ne saurait être très-importante, nous continuons à représenter cette quantité [)ar 6, afm de ne pas compliquer inutilement les calculs.
de la penie qui exprime la dépense sur "le palier sera celle-ci :
(iC.-hK. + aQ)^ + [Q^A4-2;i(a + 6)]--
ooo
55. — En fin de compte, la dépense totale S, réalisée sur l'ensemble du réseau, est liée à h par Téquation suivante :
S = (iC.4-K.-h«Q)-^
ooo
ooo
looo \ir q j
-h ïG+K + -«QH-2w(a4-6— -^-H— M ,-
L 2 \ 2 2r/Ji ooo h
Si Ton s'en lient rigoureusement à cette formule, les calculs seront très-compliqués et Téquation de la pente économique sera du quatrième degré. En effet, la différentiation du second membre donnera :
i** Pour la partie de ce membre qui représente la dépense sur la rampe, une quantité fractionnaire de la
forme h^ifù^ j\^ — ^' ^ et N ayant les expressions que nous avons vues dans le chapitre précédent ; a'* Pour la partie qui représente la dépense sur la ligne
horizontale, un polynôme formé du terme Q -^ et
looo q
de la dérivée de 2w{a-i-o), cette dérivée étant, d'après
la valeur connue de n, une fraction dont le dénominateur
est (fQ^-r—hy.
ii6 CHAPITRE V. - CALCUL DE LA PENTE.
Dans le problème déjà traité, on n'a affaire qu'à la première de ces deux expressions fractionnaires, et il suffit, pour la condition du minimum, d'égaler son numérateur à zéro, ce qui conduit à une équation du second degré. Mais ici il faut annuler la somme des trois quantités dont nous venons de parler. Or en chassant les dénomina-
- . i-w L io«
teurs, la constante Q se trouvera multipliée par
le dénominateur commun A'(/ô — r— A)», et fournira par conséquent un terme du quatrième degré. Aucune
réduction ne sera possible ; car le coefficient Q '^*
looo q
de ce terme ne figure dans aucune des deux expressions fractionnaires.
Une solution aussi compliquée serait peu intéressante. 11 est préférable, pour amener la simplification des (ormules, d'admettre que la quantité Q disparaît de
la dépense de la ligne horizontale. En d'autres termes, on suppose que la rampe est pourvue d'un personnel spécial de gardes-freins supplémentaires, ou que la circonstance de cette rampe ne modifie pas sensiblement la proportion de freins qui serait déterminée par les autres conditions de l'exploitation. Selon que la pente est faible ou importante, l'un ou l'autre de ces points de vue peut être adopté raisonnablement, sans qu'il en résulte une
erreur appréciable. La suppression du terme Q ^
looo q
est d'ailleurs d'autant plus légitime dans tous les cas,
que la dép/ense des freins supplémentaires est minime
par rapport aux autres frais. Elle n'atteint une véritable
importance que sur les pentes très-fortes, comme lors-
qu'il s*agit de rampes exploitées isolément. Mais quand le service est commun, la pente est toujours modérée, et les freins supplémentaires sont en petit nombre. Pour ces motifs nous négligerons le terme qui en exprime la dépense.
56. — L'équation du minimum devient, par la suppression des constantes,
rfA ( " ^ ' lOOO
£C-hK+-«QH-2/i a-4-6 ^H ) Ti=o.
L 2 \ 2 2r/Jiooo^)
La dérivée du second polynôme est connue. Nous en avons rappelé tout à Theure la valeur, trouvée au chapitre précédent. Elle est égale à
MA'-l- 2NA— N(/0— r) H
h^lfB — r—hy looo
M et N ayant, comme on sait, les expressions (a) consignées au n** 4-0.
Quant à la dérivée de la première partie, elle se détermine très- rapidement. Remplaçons n par sa valeur
iQ r-h/i
- — 7ï- , 5 nous aurons
2 mfO — r — h
L'équation (2) devient par conséquent, en multipliant tous les termes par looo,
Réduisons tout au même dénominateur, et ordonnons les termes par rapport aux puissances de A. Représentons
en outre par m le rapport p' Q^î marque la proportion
de rampe et de palier du réseau ; la relation de la pente économique deviendra
(4) rM + m/9 J(a + 6)lA'-f-2NA— (/G — r) = o.
Celte équation ne diffère que par le coefficient de A* de celle déjà trouvée (n** 39) dans le cas d'une rampe exploitée isolément.
Pour simplifier les formules, nous poserons
et la relation ci-dessus prendra la forme ordinaire
(5) M,A'-f-2NA — N(/9-'r)=:o.
On sera dès lors conduit, comme dans le chapitre précédent, à écrire
P, = N + (/e-r)M„ U, = |!, et à meure la valeur de la pente sous la forme
Nous remplaçons A par Ai, afin de distinguer cette nou-
EXPLOITATION œMMUNE 129
Ile valeur de la pente de celle qui convieni à Texploton de la rampe seule.
57. — L'expression de Ai en fonction des éléments clirçcts de la question est aisée à obtenir. Il suffit de substituer à Ml sa valeur dans l'expression de P,, et de là on <léduira U,. En effectuant les calculs, qui n'offrent d'ailleurs aucune particularité digne de remarque, on parvient aux formules suivantes, analogues aux formules (a) et [c] des n»» 40 et 41, et qui jouent ici les mêmes rôles :
N.=Qr(f ^%--±^*) +(/C + K)(/e-r).
af^—r a-t-e— i*
2 r CI
^n peut donner à Pi et à U, une autre forme en faisant intervenir les polynômes P et U du chapitre précédent. On a évidemment, en décomposant convenablement l'ex- Pression de P.,
P. = P + m/ôQ(/0-r)^
us
P+m/eQ{/e-r)^ U' = *^ '^
mf9Q{fQ-r]
N Mais, en vertu des relations suivantes :
et
on peut écrire
mpQ (/e - r) l±i U=
• On en déduit par des transformations évidentes
,) u,=uyi
2 r cj
d'où enfin
(2) U, =Uv'H"W(/Ô — r)X,
en repf ésenianl abréviativement par X la fraction sous le radical. II est facile de voir que > est moindre que l'unité : il suffit, pour cela, de montrer que - est plus
grand que ^--? ou que a- o est plus quand que $.
vj r
fB — r En effet, d'après ce qu'on a vu au n® 43, "^ w représente le poids total que la machine pourrait remorquer sur un palier, et a «^ u la dépense de traction de
cette charge. De son côté, S est une consommation de combustible* inférieure à celle de la machine marchant à vide (n° 28). La première quantité est évidemment plus grande que la seconde.
On peut donner à la valeur de U, une autre forme en
supprimant - 9, toujours très-petit devant a et 6, et, à plus
forte raison, négligeable dans l'ensemble du polynôme
- ^ 1 î— • Dans 1 expression (i) rempla-
fQ P
çons fB — r par r — > et divisons les deux termes de
la fraction par le produit ^ • Cette fraction
deviendra
mr
ats
Le multiplicateur de mr est visiblement plus grand que
l'unité. En effet, chacun des deux termes du dénomina-.
leur est fort inférieur à -• H est superflu de Texpliquer
pour le second terme, et quant au premier, on le constate aisément, car au, dépense de traction d'une charge égale au poids de la machine, est moindre que la dépense a de cette même machine. Si Ton représente par s la somme
des deux fractions -7 rr -f- -7^ j la valeur de U, de-
vient
(3) u. = uy/
mr
L'expression de Ui en fonction de U nous montre que le premier de ces polynômes est toujours supérieur au second, et que, par suite. Ai est moindre que h : résultat auquel on devait s'attendre. La différence entre U» et U est d'autant plus considérable que le rapport m est plus élevé, ou que la partie horizontale prédomine sur la partie inclinée. Si m diminue indéfiniment jusqu'à s'annuler. Ut tend vers U, et, à la limite, la pente économique se confond avec celle trouvée au chapitre précédent. Au contraire, si m devient infini. Ut est infini aussi^ et la pente est nulle ; ce qui doit être, car la partie horizontale existe alors seule.
58. — Il n'est pas sans intérêt de comparer les valeurs des deux pentes économiques h et Ai. On a
A=îi -., A, = î^ rr-»
et par suite
ou bien
(2) A-A. = A-p— JJ-.
On peut prendre aussi le rapport des deux pentes,
Une remarque importante se présente.
Dans la comparaison que nous venons de fôire, nous avons considéré /ô — r comme un facteur commun aux expressions de A et de Ai. Ce point de vue n'est légitime qu'à la condition que les coefficients /, et r aient les mêmes valeurs dans les deux modes d'exploitation dont on s'occupe. Cette identité n'a pas nécessairement lieu, ^t il arrive même fort souvent que le contraire se produit dans la pratique.
En effet, sur les fortes rampes, où il s'agit avant tout d'avoir des machines puissantes, susceptibles d'un grand effort de traction, on étend, autant que possible, l'accouplement des roues ; et d, rapport du poids moteur au poids de la locomotive, atteint quelquefois la valeur i (comme sur la section de Busalla à Ponte-Decimo, du chemin de Gênes). C'est le cas des rampes à exploitation spéciale. Lorsqu'on veut, au contraire, rendre l'exploitation commune à une partie inclinée et à une partie horizontale, les convenances de la rampe sont forcément subordonnées en partie à celles de l'autre section. On ne peu^plus
sacrifier la vitesse à la charge, et il est indispensable que les trains desservent le réseau à la marche exigée habituellement des chemins de fer (*). Or l'accouplement est, comme on sait, un obstacle à la rapidité de Tallure de la locomotive. C'est ainsi que dans les convois de voyageurs, les express notamment, Tessieu moteur est indépendant des autres. Le coefficient B prend donc une valeur sensiblement moindre ; et, bien que les machines à marchandises puissent conserver un accouplement prononcé, il n'est pas impossible de voir le rapport moyen du poids
moteur au poids total descendre à - et même au-dessous. D'après cela, on n'a pas généralement le droit d'attribuer à la même valeur dans l'expression de h et dans celle de Ai.
Pareille observation s'applique, quoique à un degré moindre, au coefficient r. La résistance au mouvement horizontal est par elle-même absolument indépendante du type de la machine et de la composition du train. Mais il ne faut pas perdre de vue que l'organisation du service a pour résultat de donner à la moyenne des trains une vitesse plus grande que dans le cas d'une exploitation spéciale pour la rampe. Par conséquent, le coefficient r prend une valeur plus considérable. Toutefois, comme la vitesse peut être ralentie pour les convois de marchan-
(*) Sur une rampe exploitée séparément on se contente de vitesses moindres que dans Tautre cas , et c'est naturel : car, la pente étant beaucoup plus forte, le parcours est beaucoup moins long. Lorsqu'on adopte une inclinaison modérée, il est juste de composer par la vitesse l'accraîssement de parcours, afin d'effectuer le trajet dans des conditions de délai conTenables.
dises, la différence ne porte que sur la moindre partie des transports. L'erreur commise, en conservant la même valeur, est donc plus faible pour r que pour 0.
Le coefficient d'adhérence pratique /ne varie pas dans les deux cas. Nous avons dit, en effet (n''24), que sur un réseau ordinaire on peut prendre l'adhérence au 8*, comme sur les plus fortes rampes, pourvu que la composition des trains soit réglée de manière à satisfaire au maximum de pente rencontrée sur le réseau. Dans le cas actuel précisément, on a calculé la charge des trains au point de vue de la rampe, et celle-ci a nécessairement une inclinaison supérieure à celles qu'on trouve sur les réseaux ordinaires (sans quoi le calcul serait sans objet). La composition des convois, réglée d'après l'adhérence au 8*, est donc très-large pour la partie horizontale, plus large même que les convenances du service ne l'exigent. Ainsi, rien n'empêche de conserver à / la valeur qui lui est attribuée sur les fortes rampes exploitées isolément.
Nos remarques ne doivent pas s'arrêter là, et il y a lieu de les étendre aux polynômes Uet U,, bien qu'ils n'aient pas joué le rôle de facteur commun dans les formules précédentes. Il ne faut pas perdre de vue que ces polynômes diffèrent réellement entre eux, non-seulement par Informe algébrique de leurs expressions, mai3 aussi par les valeurs de plusieurs des éléments qui y figurent. Cela ressort, pour et r, des considérations que nous venons d'exposer. Ces coefficients ne sont pas les seuls auxquels s'appliquent de semblables restrictions. Ainsi . le poids o varie généralement, d'après le même principe que les machines puissantes, lourdes par conséquent, s'adaptent mal à une marche rapide. Les quantités a et €
varient naturellement dans le même sens, et lesrapports
— » — > — prennent tous des valeurs différentes. Nous
VJ VJ tjj
avons vu (n® 45) que Tun de ces rapports augmente, tandis que l'autre diminue, et qu'il est impossible de rien conclure à priori sur le sens des variations de leur somme. Toutefois, si u n& dépasse pas certaines limites, la somme ne change pas beaucoup, en sorie qu'on peut, à la rigueur, faire abstraction de cette circonstance dans la comparaison des polynômes U et Ui. Si nous voulions pousser plus loin cette analyse, nous reconnaîtrions qu'il n'y a peut-être pas un seul élément qu'on ait le droit de regarder comme constant dans les deux cas, par suite même des modifications de service, qui, à égalité de trafic, sont dues au système différent d'exploitation. Mais ces nuances peuvent être négligées, avec encore plus de raison que
pour la somme des rapports — ? — • Il n'en reste pas moins
l'inégalité de r et surtout celle de 0, qui ne permettent pas d'exprimer, par exemple, U, en fonction de U^par la formule du n*» 57.
Ces diverses, circonstances ont pour résultat commun de diminuer la valeur de la pente économique. Il suffit, pour s'en convaincre, de se reporter à la discussion du n** 45. On y a vu que et o venant à décroître, ou r à croître, l'inclinaison s'abaissait dans tous les cas. Une discussion analogue fournirait ici la même conclusion.
Si Ton veut tenir compte des variatitDns dont nous venons de parler, les formules concernant les deux modes d'exploitation ne sont plus comparables entre elles, et leur rapprochement perd tout intérêt. C'est ainsi que, en
distinguant par un indice les quantités r et 0, différentes dans le second problème, la relation (3) ci-dessus prend la forme peu instructive
Ai /Q. — r. i-hU h ■" p — r i-hU, '
La formule (i) reste également à Tétat de différence indiquée, sans aucune réduction possible :
Aussi, dans la suite, quand nous voudrons comparer théoriquement les résultats des deux modes d'exploitation, continuerons-nous à attribuer les mêmes valeurs aux divers coefficients employés. Ce n'est que dans les appréciations numériques que les différences pourront être introduites.
59. — L'expression de la charge du train moyen n'est pas plus difficile à obtenir qu'au n*» 46. Il suffira de remplacer partout U par U,. Si je désigne cette charge par n,, j'aurai évidemment
Le rapport de ce poids à celui qui pourrait être remorqué sur un palier a pour expression
Prenons aussi le rapport de la charge n, à la charge obtenue dans le premier problème :
fa I
(") îr= — jrr-
Cette dernière formule n'a pas grande importance .
« 60. — Passons maintenant à l'expression de la dé—
pense.
Elle se compose, comme nous avons vu, de deux parties : celle de la ligne horizontale et celle de la rampe.
(]ette dernière peut se mettre sous la forme
, „ ^ H loc MA4-N H
A-+-B4-Q Y- r-p2 j-TT »
looo q (jB — r — h) h looo
M et N ayant les valeurs [a) du n® 40.
En effet, la forme de cette expression est tout à fait indépendante de la grandeur quelconque attribuée à h. Bien qu'elle ait été établie à l'occasion de la recherche de la pente économique d'une rampe isolée, il suffit de se reporter aux calculs du n** 42 pour se rendre compte qu'elle n'implique aucune valeur particulière de h. Rien donc n'empêche d'admettre que A représente précisément la pente du problème actuel. Si, conformément aux notations antérieures, nous désignons par G le polynôme ÀH-B-fQ -f la dépense en question a
looo q
pour expression
M//-hN H
(/0 — / — h) h looo
L'autre partie de la dépense est égale à
/ô — r — h m lOOO
en posant, pour abréger,
I={iC,+K.^-aQ)
lOOO
On aura la dépense totale en faisant la somme des deux quantités ci-d6SStis, et y remplaçant h par se valeur
connue
La considération de cette dépense totale n'offre qu'un médiocre intérêt. Nous nous borneront à examiner la part afférente à la ranûpe.
A cet effet, reprenons le polynôme qui l'exprime, et
remarquons tout d abord que la fraction , ^ , w
ne peut pas, comme au n** 47, être ramenée à la forme simple yfQj^ (/ -> car l'inclinaidon A est ici fonction,
non plus de i/ ^» mais de 1/^5 P» étant différent de P.
Dès lors le principe des transformations disparaît, comme il est facile de s*6n convaincre en se reportant aux calculs du numéro précité. Mais on n'en a pas moins
U, pi-enant la place de U.
D'autre pari on peut écrire
P N NU'— N /O — r~/ô — r
On en déduit
i + Ui i+Ui
et par suite
MA + N N(U'+U.)(i + U.)
Désignons par Si la dépense totale sur la rampe; l\ pression de la dépense variable Si — G ou ii sera finale ment la suivante :
On reconnaît que cette formule se confond avec cel du n° 47 lorsque Ui est égal à U, c'est4i-dire quand il m' a pas de section horizontale.
On peut mettre cette valeur sous une forme analoguA
à celle de la relation (i) du même numéro, en remarquant que -A est égal à j-t^ ^î' ^' vient alors
Celte formule esl plus compliquée que celle du cha- Ipitre précédent à cause de l'inégalité de U et de XJ,.
Il n'est pas difficile d'avoir la dépense variable par Ulo- Imèlre de rampe. En la représentant par a,, son exprès- ' pion est évidemment
il')
, 61 . — Si l'on voulait comparer ces diverses valeurs de a dépense avec celles déjà obtenues, en tenant compte liriation des coefficients r, B, etc., les formules se- I comme nous l'avons remarqué, beaucoup trop ■iquées pour offrir quelque intérêt. 11 est pré- Ile de continuer ce que noua avons déjà fait pour la ^araison des deux pentes, et d'admettre que les di- 6 coefficients conserventles mêmes valeurs. Dans cette fcolhèse la différence des deux dépenses totales ou des mx dépensas variables devient
^.[„.„,,(..M.;)„.„,]JL.
Ui CHAPITRE V. - CALCUL DE LA PENTE.
La quantité entre parenthèses peut s'écrire
(i+U.)(U.4-U') , ,,,, U?+U'-2UU , (U,-U)'
u; (i+u)= — û; — =—ur
d'où résulte
H N (Ut-U)^ • 1000/1=^ U.(n-U)=
Cette formule exprime l'accroissement de dépense qui se produit quand, au lieu d'exploiter la rampe isolément avec la pente économique, on adopte un service commun à la rampe et à la section horizontale, en employant d'ailleurs les mêmes types de machines et en marchant à la même vitesse. Cet excédant de frais serait plus grand encore si l'exploitation spéciale avait dû être faite avec des machines appropriées aux fortes inclinaisons.
Nous laissons de côté cette autre augmentation qui peut se produire en même temps sur la ligne horizontale par suite de l'obligation où l'on est de concilier la composition des trains avec les exigences de la partie inclinée.
Si l'on veut prendre le rapport des deux dépenses variables, il suffit de diviser les deux relations (g*) et (gi) l'une par l'autre. On a immédiatement
'^ÏL
On obtient de la même manière
Le rapport =^ étant moindre que l'unité, <y est plus
grand que ^i. Cela doit être, puisque nous comparons les dépenses sur une même longueur de chemin, et que la première inclinaison est supérieure à la secondées. — Dans ces diverses questions nous avons supposé tacitement qu'il n'y avait qu'une seule hauteur à franchir. Les résultats seraient évidemment les mêmes si H représentait la somme de plusieurs hauteurs successives, dis*tribuées sur le parcours du chemin. Rien n'empêche de concevoir que les rampes correspondantes soient disposées bout à bout de manière à constituer une rampe unique. Les conditions de la dépense ne seraient pas changées, du moins en théorie. On devrait trouver dès lors pour A, et pour Si les mêmes valeurs obtenues cidessus ; en d'autres termes. A, représenterait l'inclinaison commune à toutes les rampes, et S. la somme des frais effectués sur leur parcours. Il faut admettre, pour donner au problème toute sa généralité, que l'on commence par faire la somme des diverses hauteurs à franchir sur la ligne considérée, et que c'est cette somme qui doit être comparée avec celle des parcours horizontaux pour arriver à la pente la plus avantageuse possible.
Cette comparaison paraît au premier abord illusoire, parce que sur un chemin de fer les hauteurs rencontrées sont extrêmement multipliées, et constituent en quelque sorte l'état normal du terrain. Il sufût de jeter les yeux sur le profil d'une ligne quelconque pour reconnaître que la voie n'est presque jamais rigoureusement horizontale, majs présente au contraire une succession perpétuelle de montées et de descentes diversement inclinées. Si
iU CHAPITRE V. - CALCUL DE LA PENTE.
Ton voulait former la somme de toutes les hauteurs et la comparer au développement des paliers, on arriverait à des conclusions complètement fausses, car la faiblesse du rapport conduirait à traiter un chemin en plaine comme un chemin en montagnes, et à s'occuper de fortes pentes là où un tracé non accidenté est évidemment de circonstance. Mais, ainsi que nous en avons fait la remarque au début de ce livre, on assimile aux paliers les rampes dont Finclinaison ne dépasse pas certaines limites, 5 ou 6 millimètres par exemple (*); je veux dire par là qu'il n'en
(*) Le maximum de 5 millimètres a été fréquemment adopté sur les chemins de fer français. J'ignore quelles considérations théoriques ont conduit à prendre ce chiffre plutôt que tout autre , mais on en pourrait trouver une raison dans les lois générales de l'exploitation, et notamment dans les phénomènes de la traction : L^inclinaison de 5 à 6 millimètres par mètre est la limite supérieure de celles pour lesquelles, à la vitesse moyenne des trains, il n^y a aucune perte de force motrice. C'est ce que nous allons expliquer.
Quand un train gravit une pente, la machine doit surmonter : 1° la résistance au mouvement horizontal; 2*^ la composante de la gravité. A la descente^ la machine surmonte encore la résistance au mouvement horizontal, mais elle est aidée par la composante de la pesanteur. Si la pente est assez faible pour que cette dernière action puisse s'exercer en liberté sans que le train risque de prendre une trop grande vitesse, elle entrera tout entière en déduction de la force nécessaire pour vaincre la résistance horizontale, et l'on gagnera à la descente de la rampe tout ce qu'on avait perdu à la montée. Quand, au contraire, la pente est trop rapide, il faut enrayer le train, c'est-à-dire perdre une partie du travail dépensé à la montée. Les expériences faites sur la résistance au mouvement horizontal ont montré que dans des circonstances normales et à la vitesse moyenne de ^ à 35 kilomètres, la résistance du convoi et de la machine est^ par tonne du poids total , de 5 à 6 kilogrammes ;
résulte aucune parlicularilé dans Torganisalion du service. Aussi le tracé n'est-il presque jamais déterminé par la condition d'éviter de semblables rampes. Indépendamment des difficultés qu'on rencontrerait pour agir autrement (augmentation de parcours» travaux plusdispendieuXy etc.), il y a une raison, inhérente à l'exploitation même, qui commande d'en agir ainsi. En effet, même sur une ligne parfaitement horizontale, les trains ne peuvent être composés de manière à utiliser toute la puissance de la machine à la vitesse normale. Il faut laisser subsister un excédant de force considérable, soit pour lancer le train assez rapidement au départ des stations ou après les arrêts accidentels de route, soit pour faire face aux circon-
c'est aussi la valeur de la composante de la pesanteur sur une rampe de 5 à 6 millimètres. Ainsi, avec une pareille pente, un train, sous la seule action de son propre poids, descendrait librement à la vitesse moyenne, et aucune portion du travail dépensé pour vaincre l'inclinaison à la montée ne se trouverait perdue à la descente. Il en serait autrement avec dés pentes un -peu supérieures.
Cette même considération montre en outre que Tentretien de la voie sur de pareilles rampes ne doit guère différer de Tentretien sur un palier ; en d'autres termes, le surcroît d'usure de la voie, à la montée, est contre-balancé par une égale diminution à la descente. Ce qui rend en effet, dans le premier sens, le train plus nuisible à la voie que sur une ligne liorizontale, c'est que la machine est obligée de développer un effort tangentiel plus considérable; mais comme, en descendant, cet effort est réduit dans la même proportion ^ la voie se trouve soulagée autant qu'elle avait été éprouvée.
Enfin de pareilles pentes n'influent pas sur la composition des trains, car celle-ci est réglée, même sur une ligne horizontale, de façon à laisser disponible une force suffisante pour permettre de gravir une rampe de 5 millimètres.
lO
stances atmosphériques particulièrement défavorables, telles que le vent, Thumidité des rails, etc., soit enfin pour vaincre le surcroît de résistance due aux courbes, aux parties défectueuses de la voie, etc. Cet excédant de force disponible n'est pas inférieur à la puissance nécessaire pour faire gravir aux trains une rampe de quelques kilomètres de longueur et de 5 à 6 millimètres d'inclinaison. Pourvu donc que Tinfluence de la pente ne coïncide pas avec les autres causes que nous venons d'indiquer, un convoi composé au point de vue d'un parcours horizontal sera également en état de franchir une pareille rampe, sans qu'il en résulte aucune modification dans le service (*). En d'autres termes, la charge des trains peut être considérée comme réglée au même chiffre, soit que le réseau comporte des pentes de 5 millimètres, soit qu'il ait tout son développement en palier.
D'après cela, toutes les fois que les ondulations du sol sont de telle nature qu'on puisse les franchir, sans dévier ou allonger trop sensiblement le tracé, avec des inclinaisons modérées, il est superflu de chercher une autre solution, et l'on regarde le parcours comme horizontal au point de vue de la comparaison dont nous pariions tout à l'heure. Ainsi il y aura une distinction fondamentale à établir entre les diverses hauteurs rencontrées, selon qu'il sera possiblç de les franchir directement avec des
(*) C'est pour ce motif qu'on évite d'établir une station sur une rampe. Indépendamment des inconvénients qui pourraient en résulter pour les manœuvres dans la station, les trains auraient beaucoup de peine à se lancer au départ. Aussi a-t-on soin en général de continuer la voie horizontalement sur une certaine longueur au delà de la station, et de ne reprendre le profil incliné qu'à la suite.
EXPLOltATION COMMUNE. 147
pentes de 5 millimètres ( si telle est Isi limite c|u'on s'est assignée), ou selon qu'il faudrait recourir à des pentes notablement supérieures.
J'ajouterai qu'une semblable théorie ne peut avoir son application que dans des régions fortement accidentées. Partout ailleurs, quand les inclinaisons du sol sont généralement adoucies, la somme des hauteurs ou la quantité H des formules est très-réduite, et par suite le rapport m du parcours horizontal à celte somme est un nombre fort coiïsidérslble. Dès lors la pente économique fournie par le calcul diffère peu de la limite d'inclinaison qu'on s'est assignée à priori dans la construction. L'intérêt du problème disparaît, et il est plus simple de s'en tenir pour toutes les ramfpes à cette limite elle-même. Les faibles allongements de parcours qui en résultent sont amplement compensés par l'avantage d'avoir un régime uniforme sur toute la section.
©3. — Nous terminerons ce sujet par une remarque analogue à celle du chapitre précédent. Je veux parler du cas où la traversée de l'obstacle donne lieu à une raftipe symétrique de part et d'autre. Le seul changement introduit dans l'expression fondamentale delà dépense porte
sur la longueur r de la rampe. Cette quantité doit être
doublée, et, en conséquence, le rapport m diminué dé moitié. Ainsi toutes les formules s'appliquent au cas actuel, à la condition d'y remplacer m par - m.
Nous ne parlerons pas des diverses hypothèses qui peuvent être faites sur les éléments de la dépense, comm« pour une rampe exploitée isolément. On verrait sans peine
lO.
as CHAPITRE V. - CALCUL DE LA PENTE.
par une récapitulation semblable à celle du n*' 52, les modifications que subissent les formules quand on calcule la pente au point de vue exclusif de l'exploitation, ou quand la répartition kilométrique des stations est indépendante de rinclinaison, etc., etc.
Des machines de renfort.
64-. — La solution que nous venons de présenter n'a d'intérêt, avons-nous dit, que dans les régions très-accidentées, où Ton ne peut songer ni à exploiter chaque rampe par un service spécial, ce qui conduirait à remanier les trains beaucoup trop fréquemment, ni à se renfermer dans la limite des pentes ordinaires (5 à 6 millimètres), ce qui entraînerait de grands allongements de parcours. Mais quand les rampes sont en petit nombre, la solution ne s'applique plus ou plutôt devient illusoire, car le rapport de la somme des parcours horizontaux à la somme des hauteurs est un nombre tellement élevé que la pente économique fournie par la formule (6,) du n® 56 diffère peu delà limite de 5 à 6 millimètres et peut même lui devenir inférieure, ce qui enlève toute utilité au calcul théorique. D'un autre côté, on ne veut pas recourir à une exploitation spéciale pour les diverses rampes (à moins qu'elles n'aient une grande importance), parce que la condition de rompre le service aux extrémités de chacune d'elles entraîne de sérieuses difficultés pratiques. Il y a lieu de rechercheij^si entre l'exploitation spéciale proprement dite et une exploitation absolument commune, il ne se trouve pas quelque mode intermédiaire qui permette d'échapper aux difficultés de la première, tout en étant moins dispendieux que la seconde. De là le système
des machines de renfort en usage sur plusieurs chemins
defer(*).
65. — Dans le système des renforts, les trains ne sont pas remaniés au pied de la rampe, mais ils conservent leur composition ordinaire, comme dans le cas d'une exploitation commune. Seulement, quand la machine du train est insuffisante pour gravir la rampe, on ajoute en tête une machine de renfort. C'est ainsi, par exemple, qu'on procède à Ëtampes. Quand la pente est très-raide, on peut craindre que la charge du convoi entier ne détermine sur les attelages de tête un tel effort de traction que la rupture risque de s'ensuivre. Il est préférable, en pareil cas, au moins pour les trains de marchandises, de diviser chaque convoi en deux, et de faire remorquer chaque moitié par une seule locomotive. Telle est la pratique (lu chemin du Bourbonnais (**). Cette division du train ne
(*) On peut citer comme exemples de l'emploi des renforts la rampe d'Étampes (chemin d'Orléans), celle de Rivc-de-Gier (chemin de Paris à Lyon par le Bourbonnais ), celle de Creil (chemin du Nord), etc.
{**) L'emploi de deux machines attelées simultanément, l'une en tète, l'autre en queue, qui permettrait de ne pas dédoubler le train, parerait au danger de la rupture des attelages, mais oilrirait des inconvénients d'un autre genre. Il est arrivé, par exemple, sur la rampe de Rive-de-Gier, qu'un train ainsi remorqué a fait ventre subitement pendant la marche, c'est-à-dire que la machine de queue, tendant à aller plus . vite que celle de tête, le milieu du train, pressé entre les deux locomotives, est sorti de la voie. On peut ajouter d'une manière générale que les deux mécaniciens, séparés par le train, s'entendent difficilement pour régler la marche.
iSO CHAPITRE V. - CALCUL DÇ LA PENTE.
constitue pas d'ailleurs un remaniement, car chaque wagon conserve son chargement primitif.
On aperçoit immédiatement ce qui distingue l'emploi des renforts d'une exploitation spéciale proprepfient di^e. La pente, au lieu d'être calculée de manière à correspondre aux moindres frais possibles, a une valeur tout à fait arbitraire, qu'on peut néanmoins considérer comme soqnfiise à un maximum déterminé par la condition qu'ui^ train normal du réseau puisse franchir la rampe à Taide de rfcMo: machines au lieu d'une (*). En partant de cette condition, la valeur du maximum se calcule aisément.
Soit n la charge du train composé au point de vue de parcours horizontaux et de pentes de 5 à 6 millimètres. Conservons d'ailleurs les mêmes notations /, cr, 6, r que précédemment. On peut admettre que sur une rampe de 5 à 6 millimètres la composante delà gravité est sensH)lement égale à r; en sorte que le poids du train sera déterminé par la relation
(l) (n+cr) 2r=/0cj.
Soit h le maximum de pente cherché. Le même poids n devant être remorqué par deux machines sur cette pente, on aura
{2) (n+2CT) (r-h A) = 2/ÔCT.
(*) Nous disons deux machines, et non un plus grand nombre. En effet, il y aurait inconvénient et même danger à atteler plus de deux machines à la fois à un train de voyageurs. D'ailleurs FAdministration publique ne le souffrirait pas.
EXPLCMTATiœJ COMMUNE. i5i
Remplaçons n n- o par sa valeur* 5 il vieni
VTr + °)'''+'"=^-^'
ou, eu supprimant le facteur commun o.
d'où enûn
Telle est la limite d'inclinaison des rampes qui doivent être exploitées à Taide des machines de renfort.
66. — Afin de donner à l'expression ci-dessus une forme plus en harmonie avec les valeurs (b) et (6,) déjà trouvées pour la pente économique (n***41 et 56), Dous poserons
en représentant par U, une constante telle, qu'on ait
Nous avons écrit A, au lieu de A, afin de distinguer cette nouvelle valeur de celles que nous avons désignées auparavant par h et /i,.
i52 CHAPITRE V. - CALCUL DE LA PENTE.
La valeur de U, déterminée par la relation (i) est la suivante :
Sous la forme (fr,) il est facile de montrer que Aj est moindre que la pente économique d'une rampe exploitée isolément avec le même type de machines. Pour nous en assurer, voyons (ce qui revient au même) si U, est plus grand que U. On a dit (n^* kk) que U est toujours inférieur à \/—' Or U, ne diffère guère de cette
dernière quantité. En effet, posons/= g? r=o,oo5, 0= -
(0 ne descend généralement pas au-dessous de cette fraclion dans une machine moyenne), on devra avoir
Le radical est supérieur à 3, et la fraction qui le multiplie est un peu inférieure à ^y, — r ou à -•
Donc le produit diffère peu de Tunité, et U^ de l/— • Par
conséquent U, est plus grand que U, qui est notablement inférieur à cette quantité.
L'expression de la dépense faite sur la rampe avec la pente A» se calcule comme au n° 60. La partie variable est représentée, quelle que soit l'inclinaison, par le terme
T7^ TTi lï faudra remplacer h par la valeur ( 6,)
(/0— r— A)A looo * '^ \ /
ci-dessus; les transformations s'effectueront identiquement de la même manière, avec cette seule différence que U, figurera au lieu de U,. On arrivera à un résultat
de même forme :
(g.) S,-Gou., = -l__^__.
On trouvera de même
pour la différence des dépenses totales ou variables qui se rapportent à Texploitation spéciale et à l'exploitation par renforts.
67. — L'inclinaison maximum A, est en même temps la pente économique par rapport à toutes les inclinaisons plus faibles.
En effet, la rampe étant gravie au moyen de machines de renfort, et, par suite, la composition des trains sur le reste du réseau pouvant être réglée sans tenir compte des nécessités de cette rampe, on se trouve dans le cas d'une exploitation spéciale; à cela près que la pente, au lieu de pouvoir prendre la valeur déterminée au chapitre IV, ne doit pas dépasser le maximum que nous venons de calculer. L'accroissement de dépense qu'on produit en n'adoptant pas l'inclinaison dudit chapitre est d'autant plus considérable qu'on s'en écarte davantage ; et, comme le maximum ci-dessus est inférieur à Tinclinaison économique, on est évidemment dans les meilleures conditions possibles en adoptant ce maximum lui-même.
68. — On se rend compte des avantages que peut offrir, au point de vue économique, l'emploi des machines de renfort, par rapport à une exploitation entièrement commune.
Sur toute la partie horizontale la composition des trains devient plus large, puisqu'on peut la régler sans tenir, compte des nécessités de la rampe. Dès lors la dépense s'abaisse considérablement. D'un autre côté, sur la rampe même, il y a uneautre source d'économie. En effet, quand le profil général n'est pas très-accidenté, ce que nous supposons, la pente déterminée pour une exploitation commune est peu élevée et notablement inférieure à la valeur du maximum ci-dessus. Elle est donc plus éloignée que ce maximum, de la valeur correspondant au cas d'une exploitation spéciale. La dépense y est par conséquent plus considérable^ et on réalise une économie relative en passant à l'inclinaison qui convient aux machines de renfort.
Mais, en balance avec cette double économie, il faut mettre l'accroissement de dépense occasionné par l'emploi de machines qui peuvent n'être utilisées qu'imparfaitement. Le plus souvent les locomotives de renfort en dépôt au pied des rampes ne travaillent qu'une partie du temps, parce que leur marche est subordonnée à la distribution des trains et à la longueur de la rampe. Il arrive même, quand certains convois se succèdent à bref intervalle, que le nombre des renforts se trouve hors de proportion avec le travail effectué. A ces dépenses, qui peuvent être considérables, on doit ajouter les frais inhérents à l'installation même des dépôts.
L'ensemble de ces dépenses excédantes, par kilomètre de rampe, augmente généralement à mesure que l'impor-
lance de celle-ci diminue. Il y a donc un point au-dessous duquel, malgré les avantages relatés tout à l'heure, il y a intérêt à ne pas employer les machines de renfort et à adopter une exploitation parfaitement uniforme.
69. — En résumé, quand les rampes sont très-multipliées, ou quand elles sont en petit nombre et peu importantes, il est avantageux de rendre Texploitation commune. Mais si les rampes sont peu nombreuses et importantes, il vaut mieux recourir aux machines de renfort (*). Quanta la limite qui sépare les motifs de préférence entre ces deux modes, il est impossible de l'assigner exactement par le calcul. Le choix est souvent dicté par des considérations étrangères à la théorie. Ainsi, là où il pourrait être plus avantageux d'employer les renforts, les convenances du service public (au point de vue de la multiplicité des arrêts, par exemple,) peuvent faire renoncer à ce système. L'économie est sacrifiée à l'unité du service. Il est présumable que si une rampe est comprise entre deux stations nécessitées parle trafic, l'Administration supérieure, à moins de circonstances tout à fait exceptionnelles , ne permettra pas l'arrêt intermédiaire pour adjoindre ou retirer les machines de renfort. On devra, si on en emploie, se résigner à leur faire parcourir toute la distance qui sépare les deux stations. Dès lors si la rampe n'occupe, par exemple, que la moitié de cet intervalle, on augmentera considérablement, par suite
( * ) En admettant que le choix ne porte que sur l'exploitation commune et l'exploitation par renforts, l'exploitation spéciale étant écartée de la question.
