PROBLÈMES DIVERS SUR LES PENTES
To. — Nous allons examiner successivement divers pro- ^^èmes se rattachani à la question générale des pentes, ^Ui se présentent fréquemment dans la pratique.
Ces problèmes, sous des formes variées, ont généralement le même objet, savoir : déterminer r avantage qu'il peut y avoir à choisir telle pente plutôt que telle autre. Il ne suffit pas de connaître théoriquement la valeur de la pente économique, il faut encore savoir apprécier Timportancc des motifs qui, selon les cas, commandent de l'adopter ou permettent de s*en écarter.
Dans les recherches qui vont suivre, nous nous occuperons de cette partie de la dépense annuelle qu'on a
vue dépendre de rincHnaison (n**4'îr) el que nous avons, pour ce motif, nommée dépense variable. C'est elle effectivement qui présente tout l'intérêt dans un calcul mathématique de pentes. La dépense variable se confond avec la dépense totale quand on suppose : i*» que la répartition kilométrique des stations est indépendante de Tinclinaison ; 2° que les frais occasionnés par les freins supplémentaires, frais toujours très-faibles, peuvent être négligés sans erreur sensible. J'ajoute que la différence des dépenses variables relatives à Tadoption de deux pentes différentes pour rétablissement d'une rampe , est dans tous les cas égale à la différence des dépenses totales ; car la quantité constante afférente à chaque somme disparaît parle fait de la soustraction.
Il nous arrivera fréquemment, moins pour fournir des résultats susceptibles d'application, que pour faire mieux comprendre nos formules, de présenter des exemples numériques. En pareil cas nous attribuerons uniformément aux divers coefficients les valeurs suivantes, conformes d'ailleurs à bon nombre de cas pratiquts, comme nous te verrons plus tard :
/=Q' ® = Â' r=o,oo5y U =
Problème I.
71. — Une rdmpe est établie avec une pente absolument quelconque ; on demande V expression de la dépense : I" pour la rampe totale; 2° pour i kilomètre de longueur.
Soit H la hauteur à franchir, A' rinclinaison adoptée, ei 2:' la dépense variable.
Nous avons vu (n" W) que la dépense totale d'unr ï'ampe est représentée par
MA4-N H 'i -4-
fQ — r — h 1 000 h
^eite expression est tout à fait indépendante de la valeur attribuée à Tinclinaison ; elle subsiste aussi bien pour la pente quelconque h' que pour la pente économique A. On » donc
(,. , H MA'-f-N
Nous avons trouvé (n° k\) }A=^-7rz Si nous fai-
^^ns la substitution, en remarquant que P est égal à NU^ '^ vient
MA'4-N=:y;^^(U»A'-h/0-r-A'), ^^ lij valeur de t prend la forme suivante :
1000/0 — r\A' ' fB — r-^h'
^^> vérifie aisément que cette formule reproduit Téqua-
^^^n [g] du n" 4.7, en faisant h' = h = ^ "Jj »
^ous obtiendrons de la même manière Texprcssion de ^ <iépense kilométrique <t'. En effet, pour une inclinai-
son quelconque, celle dépense csl exprimée simplemen par
MA-f-N
Faisons pour M la même subsUlulion que ci-dessus; viendra
(3) ^'=j^\^-^JT=r7zrK')^
et Ton voil encore qu'en y remplaçani A' par la pen i économique, on retombe sur la formule (/ir) du n"47.
Problème II.
72. — Une rampe peut être établie avec deux inclinai' sons différentes; on demande la différence des dépenses correspondantes : i^ pour la rampe entière; 2? pour i kilomètre de longueur.
Soit A' et h" les deux inclinaisons, absolument quelconques. Pour fixer les idées, nous les supposerons toutes deux moindres que la penie économique, et A'<;A". Soil 2' et 2", o-' et V les dépenses correspondantes, pour la rampe entière et pour i kilomètre.
Remarquons que, par hypothèse, h" s'écarte moins de la pente économique que A' ; en conséquence if sera plus petit que 2'. Inversement, et pour le même motif, ct" sera plus grand que a' : en effet, sur une même longueur de rampe, la dépense est d'autanl plus élevée que la pente est plus forie ; elle sera donc plus considérable sur un kilomètre à pente h" que sur un kilomètre à
pente A'. Ainsi les différences à calculer sont 2' — 1."
Or, d'après le problème précédent, nous avons pour chacune des deux inclinaisons :
-r\h''^fB—r—h')'
d'où, en retranchant membre à membre.
1000 fô — r
Ea quantité entre parenthèses peut, par des transformations évidentes, se mettre sous la forme
^''"-f'') [FF ■" (/e-r~A')(/0-r-A")J' et la relation (i) devient ainsi,
2' 2" = -5- Ni*!:^
1000 fB — r
Pour ia différence des dépenses kilométriques, nous fe-
162 CHÂniKE VI. - PROBLÈMES MVERS.
rons un calcul analogue. Posons d'abord
'^-/n-rV-^/e-r-A';
et ensuite
„, « „. NU' / h" h' \
On ramène aisément cette dernière relation à la forme
(4) '^-^=^v' (j.,,Snfl-r-k''r
Selon notre remarque antérieure, la valeur de 2' — 2^ représente aussi la différence des dépenses totales; il en serait de môme pour a*' — a' si Ton supposait que la répartition kilométrique des stations ne varie pas avec la pente, et si Ton pouvait négliger la dépense des freins supplémentaires.
Problème III.
73. — Une rampe est établie avec une inclinaison dijférente de la pente économique ; on demande V accroissement de dépense qui en résulte.
Nous supposerons, pour fixer les idées, que la pente adoptée h' est moindre que la pente économique A.
La solution se déduira immédiatement du problème précédent en remplaçant dans la relation [i)h'' par h. On
a donc
^, ,^ H ^(h-h') , X . looo fQ — r
( ^LÂÂ'"'(/0-r-A)C/*0-r-A'}J*
La quantité entre parenthèses peut être transformée de la manière suivante :
Le polynôme /0 — r — h est égal à AU (n*» W). Donc cette parenthèse peut s'écrire
iji U \ i /e — r— A^(i-i-U)
h\h' f^-^r^h'l ~A {fQ — r—h')k' '
Mais on a et par suite
La quantité entre parenthèses devient
I [fB-.r)(h — h') ^ (/ô-r— A')A' '
et la relation (i] elle-même prend la forme
, H N {h~h'Y ^^1 ioooA'(/9-r— A')/l''
ou à volonté celle-ci :
puisque 2 est égal a j^ ^.
Telle est la valeur de raccroissement de dépense a quel donne lieu l'adoption d'une inclinaison différente la pente économique y en supposant, bien entendu , qu' applique le même mode d'exploitation à la rampe.
Nous avons supposé que h' était moindre que A; m la formule (2) nous montre que l'hypothèse contraire changerait pas le résultat, car le carré (A — A')' est pa tif, quel que soit le signe de la différence h — h'.
Le dénominateur de la fraction ou le produit
peut décroître jusqu'à zéro selon que h' diminue ind niment ou augmente jusqu'à la valeur de la pente d'éqi libre /« — r. Ce dénominateur n'a donc pas de minimiJK mais il est susceptible d'un maximum, correspondanil.^= à
la valeur A' = - (/ô — r). Supposons que la pente écoi ïo-
mique soit supérieure à la demi-pente d'équilibre et <] ue
h* s'éloigne de plus en plus de 1^ pente économiqu e;
qu'observera-t-on? Pendant que A' diminue depuis A jii is-
qu'à - (/ô — r), le dénominateur augmente ainsi que le
numérateur. L'excédant de dépense croît donc, d^^«ns celte première période, moins vile que le carré de Yéc arl de la pente. Au delà, le dénominateur diminue, lan- — dis que le numérateur continue à augmenter. La différei ^ce des dépenses croît plus vite que le carré de l'écart. Si *' augmentait au delà de la pente économique, Texcéd -^^nt de frais irait continuellement en croissant plus vite c—Ji"® le carré de l'écart. En résumé, tant que l'inclinais^®" adoptée est comprise entre la pente économique e^^ '^ demi-pente d'équilibre, la différence des dépenses a ^é^"
mente moins vite que le carré de Técart de Tinclinaison. Hors de ces limites, l'augmentation est plus rapide que celle du carré. On voit d'après cela combien il importe de ne pas s'éloigner beaucoup de la pente économique.
La dépense serait doublée si la valeur de h' était telle qu'on eût
[h — h'Y ou
On en déduit
Supposons que la pente économique soit égale à la moitié de la pente d'équilibre {.ce qui correspond à l'hypothèse U = I ); la valeur de h' devient
d'où approximativement
Ainsi la dépense est doublée quand l'inclinaison adoptée est égale à un peu moins du tiers de la pente économique ou à un peu plus d'une fois et deux tiers cette pente.
Si dans la relation (2) on admet que h' représente la pente économique relative à une exploitation commune,
c'est-à-dire si Ton fait h = ^ — y-- » on trouve
H N (U,-U)' ' ioooA»U.(i^U)«'
ce qui est précisément Texpression obtenue au n"61.
74. — La relation (2) nous permet d'exprimer sous u 1: — le autre forme la différence des dépenses correspondant. à deux inclinaisons quelconques, différence qui fait l'obj -^«l de la formule (2) du second problème.
Soit h' et If les deux inclinaisons, h" > A'. On p^^ ^ul avoir l'accroissement de dépense qui résulte de Templ— oi de chacune d'elles en place de la pente économique. !^^K^6 calcul précédent nous donne
— ^ !i (h — h'Y ^ ■"^"" ioooA»(/9— r-A')A''
ioooA»(/ô — r-A")A^''
En retranchant ces équations membre à membre^ on
obtiendra la différence en question, sous sa forme m.^^^"velle
m./ ^. H NT (A- A-)' (A-A-)' 1
yi) 1 2. — ^^^^ ^, L(yô,^yi/)/,/ (yo,^A")/5r.^ S
Il n'est pas difficile de voir, en remplaçant A pa^ ^
valeur, que cette Relation est identique à celle du n** '^^
Elle a r)ivantage d'être plus symétrique et de mettra ^^
évidence le caractère essentiellement positif de 2' ^ '
CHAPrrtiE VI. - MÔBLÈBIÉS DMSÈS. 167
tandis que dans la formule du numéro préeité, on ne toit pas à priori que la quantité entre parenthèses a le signe plusy ou que le premier terme est forcément supérieur au second. •
ProbIême IV.
75. — Une rampe est établie avec une inclinaison moindre que la pente économique ; on demande la diminution de dépense kilométrique qui en résulte.
La solution se déduit de la formule (4) du n° 72, en remplaçant h" par A. On a ainsi
Le polynôme/ô — r— ^ A étant égal à UA, cette expression devient
qu'on peut également écrii%
Si- Ton fait décroître h' indéfinhnenl dep«Rs la^ votleur A jusqu'à zéro, te numérateur de la fraction augmente^ depuis zéro jusqu'à A, et le dénominateur depuis^/ fl»-*^ p-^h jttsqu^à /••— r*. La fraction elle-même croît dep«i9 zéro
A jusqu à ^ > et la différence ex — u' depuis zéro jusqu'à
NU ^Q ■ Ainsi l'écart des frais kilométriques augmente
avec récart des inclinaisons, mais moins vite que ce dernier> par suite de la variation^ dans le même «ens, des deux termes de la fraction. En un mot, en prenant une pente moitié moindre, on ne réduit pas la dépense kilométrique de moitié.
La dépense «r' sera la moitié de <7 quand on aura
ou
On en déduit
UA-i(/Q-r)
^- ûzri
Mais on sait que/ô — r est égal à A(i -+-U) ; en faisant la substitution, il vient
Supposons comme à l'ordinaire U = i ; il en résulte h' = Oy ce qui signifie que le chemin doit être en palier. Ainsi la dépense kilométrique d'une rampe établie avec la pente économique est le double de la dépense d'une ligne horizontale.
Si dans la formule (2) on attribue à h' la valeur de la pente économique relative à une exploitation commune, on retombe sur la relation déjà trouvée.
76. — L'équaiion (2) nous fournit le moyen d'exprimer sous une autre forme la différence des dépenses kilométriques correspondant à deux inclinaisons quelconques, différence <]ui fait l'objet de l'équation (4) du n^ 72. On a en effet
N \i{h-h') "-'-Jp-r-h':
N Mih-h") "—^--Rp-r-h"'
Il en résulte
expression qui se ramène immédiatement, par la substitution de ?? à A, à la formule du numéro précité.
Problème Y.
77. — Une rampe est établie avec la pente courante (ce qui permet de l'exploiter comme une ligne ordinaire) , au lieu de la pente économique; on demande : I** r accroissement de dépense qui en résulte pour la rampe entière; 2? la diminution de dépense par kilomètre.
Nous appelons pente courante celle qu'on admet dans uiï réseau sans qu'il en découle aucune particularité d'exploitation par rapport au service d'une ligne horizontale. Nous avons eu occasion de dire (n** 62) que lapra-
170 CHAPnCBE VL -^PROBLÈMES DFVERS.
tique avait conduit à adopter pour limite supérieure des pentes ordinaires l'inclinaison même sur laquelle la composante de la gravité est sensiblement égale à la résistance du train, à la vitesse normale. Quelle que soit rorigine de cette pratique, il n'en est pas moins certain que le maximum ainsi fixé ou la pente courante offre l'avantage de ne donner lieu à aucuns frais en suç de ceux qu'exigerait un développement parfaitement horizontal. Aussi admettrons-nous désormais, à la foi« pour réaliser cette condition favorable et pour donner plus d'homogénéité à nos formules, que la pente courante (qui est de 5 à 6 millimètres) est exactement égale à r.
Cela dit, nous obtiendrons immédiatefment la solution du présent problème, en remplaçant h' par r dans la formule (2) des n°' 73 et 75.
Pour l'accroissement de dépense de la rampe entière, nous aurons, en représentant par 2r la dépense correspondant à l'inclinaison r (*),
\ H N [h — rY
^'^ ^' ^"" ioto4'(/© — 2r)r*
(*) La formule pourrait être obtenue d'une autre façon, en calculant directement, par les procédés du Chapitre IV, la dépense faite sur une rampe d'inclinaison r.
Sur une pareille rampe, avons^nous dit, les frais sont les mèittes que sur une ligne^ horizontale. Or l'expression de la dépense d'un palier de mêmQ longueur que la rampe est évidemment
AH-B + [iC + K + «Q + 2/2(a + ê)]-5
(dans l'hypothèse où le nombre absolu des stations est indépendant de l'inclinaison).
Le coefficient n est déterminé par la condition que la force laissée
dUmBE ¥1. — nCÊÊJStÊE^ nVEK. I7f
Celte iwiiii «eut aasâ sTémre
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AiaGL aa kncL ksè ckws ioramlei' «uit iQtiiLH|Bei'.
in CHAPITRE VL - PROBLÈMES DIVERS.
On en déduit aisément le rapport des dépenses ir et s En effet, on a
hul— (^ — 0'
et par suite
En attribuant aux divers coefQcients les valeurs spéciûée: au n" 70, d'où résulte
on trouve
(avec une suffisante approximation).
Ainsi la dépense est presque quadruplée quand on adopte la pente courante en plac.e de la pente économique.
Cet accroissement serait plus grand encore si les machines affectées aux fortes rampes offraient un rapport
supérieur à ^9 chiffre que nous avons supposé.
Passons maintenant à la recherche de la différence des dépenses kilométriques.
On aura, en représentant par ar la dépense correspondant à rinclinaison r,
ou, à volonté,
(5) a — ff, ^ff
Le rapport des dépenses s'obtient immédiatement : il a pour valeur
Si l'on préfère éliminer h de la formule, on donne au rapport la forme suivante :
On peut la simplifier en remarquant que si U ne s'écarte pas beaucoup de l'unité (nous le supposons égal
à I dans nos évaluations), le terme v. — est assez petit, et la valeur de ~ devient approximativement
Ainsi la dépense sur un kilomètre de rampe économique est à peu près le double de la dépense sur la rampe courante ou sur une ligne horizontale.
Ce résultat est conforme à celui que nous avons trouvé à la fin du n" 75 : car la dépense en palier ne diffère pas de la dépense en pente courante.
174 CIlAPiTRE ¥1. - PROBLÈMES i^VERS.
78. — Celte dernière relation nous montre dans quelle proportion on augmente les frais kilométriques, lorsqu'au lieu de la pente courante on adopte la pente économique. Il n'est pas hors de propos de faire remarquer les motifs opposés qui peuvent présider au choix de Tinclinaison. Au point de vue de Tintérêt général, on ne saurait hésitera prendre la forte pente (dans Thypothèse, bien entendu, où la rampe comporte, par suite de son développement, la mise en œuvre d'une exploitation spéciale). En pareil cas, l'avantage est évident : la totalité des dépenses, entre les deux extrémités de la rampe, se trouve aussi réduite que possible- Mais à côté de cette considération, qui peut sembler déterminante, on doit /aire observer que dans la pratique habituelle le transporteur et le transporté sont deux individus distincts, et que le second paye au premier une rémunération généralement proportionnelle au parcours. Si donc on adopte la forte pente, l'intérêt du transporteur est complètement sacrifié à l'autre, puisqu'on lui impose une dépense kilométrique beaucoup plus considérable, dans l'unique but de diminuer les longueurs parcourues. La solution contraire, consistant à prendre l'inclinaison courante, serait encore moins justifiée, puisque en vue de maintenir les frais kilométriques à un niveau modéré, on ferait supporter indéfiniment au trafic d'énormes charges, pour des distances qui, prises à vol d'oiseau, seraient tout à fait disproportionnées avec la perception qu'elles motiveraient. La mesure qui paraît équitable, c'est de faire bénéficier le trafic des avantages de parcours que les grandes inclinaisons peuvent donner, tout en indemnisant le transporteur des excédants de frais qui en sont pour lui la conséquence. Ainsi, dans le cas où la dépense o serait
coÂnTRs Yi. -- PiK)miaass divers. 475
égale à deux fois la dépense ffr» il y aurait lieu de doubler le prix du transport par kilomètre, c'est-à-dire d'introduire dans les tarifs une taxe double pour ces passages exceptionnels (*). D'une manière générale la taxe devrait ^re augmentée dans la proportion
— OU yri
fH^^r
11 est clair que, même dans ces conditions, les avantages du trafic sont considérables, à cause de la réduction des parcours. En effet, T étant le tarif kilométrique ordinaire (et par suite aussi sur la pente r), le tarif sur la pente
A serait représenté par T — • Les prix payés pour le par-
cours total, sur les deux rampes correspondantes, seraient
respectivement égaux à T et à T « • L'avan-
^ ^ 1.000 r Vr 1000 A
tage obtenu par le trafic serait représenté par le rapport du second prix au premier, c'est-à-dire par — ^ ou par
