Or, comme on a n r
, (7 et 2,.=
. (*) Cela revient à convertir en quelque sorte, d'après la dépense ^tective, les kilomètres de rampe économique en kilomètres ordinaires, ou à compter comme doubles les kilomètres qui ont coûté double. Ce principe a déjà été appliqué pour certains parcours exceptionnels. Cest ainsi que le pont sur la Garonne, à Bordeaux, représente pour la perception autant de kilomètres qu'il a coûté de fois 5oo 000 francs.
176 CHAPITRE Vï. - PROBLÈMES DIVERS.
il s'ensuit que t et ^ sont respectivement proportion -
nels à 2 et à ir, et que le quotient est égal à —• Ainsi
l'avantage fait au trafic est exprimé parle rapport de la dépense de la rampe économique à la dépense de la rampe r; de sorte que si cette dernière était égale à quatre fois la première, les frais supportés par le trafic ne seraient que le quart de ceux qu'il supporterait avec la pente courante. Ce résultat ne surprend pas quand on songe que pour
U = I, d'où A = - (/ô — r), le parcours sur la rampe r
est sept fois aussi considérable que sur la rampe A (*)•
(*) C'est, à notre avis, le point de vue auquel il faut se placer pour concilier, dans des pays comme la France, les intérêts opposés de l'État et des Compagnies de chemins de fer. Celles-ci n'ont pas avantage (abstraction faite de toute question de trafic] à choisir de fortes pentes, puisque leur rémunération est proportionnelle au parcours. L^tat, au contraire, qui représente surtout l'intérêt du transporte, doit tendre à les faire prévaloir, afin de diminuer les distances. Il y a là matière à une sorte de transaction, d'après laquelle les bénéfices attachés aux fortes inclinaisons soient répartis équitablement entre les deux intéressés.
Si le contraire arrive fréquemment, et s'il n'est pas rare de voir l'État poser une limite supérieure aux pentes proposées par les Compagnies, on doit attribuer à des considérations d'un autre ordre ce renversement apparent des rôles naturels. L'État, préoccupé à juste titre, quelquefois peut-être avec exagération, des conditions de la sécurité publique et de la régularité du service, répugne aux fortes inclinaisons, toujours moins sûres que les profils adoucis. En outre, ces derniers conduisent généralement à desservir un plus grand nombre de localités. De leur côté , les Compagnies, aujourd'hui en
Problème VI.
79. — Une rampe est établie avec la pente relative à l'exploitation par renforts^ au lieu de la pente économique; on demande : i° l'accroissement de dépense qui en résulte pour la rampe entière; 2° la diminution de dépense par kilomètre,
La solution se déduit encore de celles des problèmes
III et IV, en remplaçant, dans la formule (2) des n°* 73
et 75, h' par la valeur afférente à Texploitation par ren-
^ j. 3/9 - 2r forts, c est-a-dire par r -^-
Si nous représentons par 22 la dépense correspondante à cette dernière pente, nous aurons
/, 3 fB — 2r
iM 2, 2^^^^^^ ^ ay'e — 2r\ 3/Ô— 2r'
/G -h 2 r 7 fQ -i'T.r
présence de lignes nouvelles peu productives (c'est le cas d'une partie des nouveaux réseaux), dans lesquelles chaque accroissement de parcours parait devoir se traduire en une aggravation des charges financières, se montrent désireuses de réduire autant que possible le total des capitaux engagés. Par suite, elles sont disposées à adopter spontanément de fortes pentes, qui, non-seulemenf diminuent la longueur des lignes, mais encore abaissent généralement la dépense kilométrique de construction. Il est même des cas où cette dernière considération est tout à fait prépondérante pour faire rejeter les profils adoucis. C'est une circonstance dont nos formules ne tiennent pas compte, puisqu'elles sont établies dans l'hypothèse où le prix du kilomètre est indépendant de l'inclinaison.
i78 CHAPITRE VI. - PROBLÈMES DIVERS.
Occupons-nous de transformer la dernière fraction. Elle peut d'abord s'écrire
r[(fB^r)(fB'h:tr)-r[3fB^:tr)\(3fQ-^:tr)'
Le dénominateur est égal à
/er(/e-2r)(3/ô-2r).
Quant au numérateur, remplaçons-y h par ^ ry- ; il décrient
^^[/9(/e-2r)-rU(3/9-2r)]?,
ou encore
D'après cela, si nous représentons par u le quotient
X^"" — f lequel, dans tous les cas, différera peu de ^7 3/ ô — 2 r ^ 3
la fraction en question se réduira à
/ôr(/e~c.r)(i-hU)' r
et la relation (i) elle-même prend la forme suivante :
H N /0 ( ' /ô « ^ ' ' 1000 h* r \ i-hU
On peut, si on le préfère, remplacer A' par sa valeur, ce qui modifie ainsi la formule
(3) .,.= JLn«/?(^
^ ' looo r \ jO— r
Le rapport des dépenses a évidemment pour expression
Avec les valeurs que nous avons déjà adoptées pour les coefficients» nous trouverons
u= G, 3 et 21= 1 ,675 2 = approximativement f n--J2.
Ainsi, quand on adopte la pente des renforts au lieu de la pente économique, on augmente la dépense totale de deux tiers environ.
Pour obtenir les dépenses kilométriques, nous emprunterons la formule (2) du n° 75, ce qui donnera
On en déduira, par des transformations analogues .aux
précédentes,
ou, en remplaçant h par sa valeur,
>a^ NU / r U\
La relation (5) fournil sans difficullé
rU
i + uV+
Comme
plus
haul,
on trouve
en
faisanl les substitu
lions numériques :
el
(Tj = o ,6i(T = approximativemeni ■= <t.
Si Ton rapproche les résultais numériques de ceux du n** T7, lanl pour les dépenses lolaies que pour celles du kilomètre, on voil que Tusage de la penle des renforts diminue notablement les écarts observés quand on s'en lient à la penle courante. La pente des renforls apparaît comme une sorie de lerme de concilialion entre les deux inclinaisons extrêmes.
Problème VIL
80. — Une rampe est établie avec la pente courante au lieu de la pente relative à V exploitation par renforts; on demande .• i" Vax:croissement de dépense qui en résulte pour la rampe entière; 2° la diminution de dépende par kilomètre.
Dans la formule (2) du n° 72, remplaçons h' el h*' par les valeurs de la pente courante et de la pente des renforts, c'est-à-dire par r et r -^- • En nous servant
des mêmes notations que précédemment, il viendra
, . I 1000 fô — r
Le multiplicateur de la grande parenthèse se réduit à
H 2rN(/Q — 2r) 1000 (/0 — r)(/0-h 2r)*
La quantité entre parenthèses est aisément ramenée à
(^* + ^'-) [r'(3/e-.r)-/9(/.r)']- La relation (i) devient par conséquent
^^ ' '-iooo/e rL;-(3/9-2r) /9(/e-2r)J"
Désignons par w, comme dans le dernier problème, le quotient éfK~ ' ^^ faisons passer le facteur rdans la
parenthèse ; nous obtiendrons immédiatement la forme suivante :
. , H 2N r« rV 1
Pour avoir le rapport ^? formons la valeur de 2i. D'après la relation (2) du n**71, on trouve
^'■-,000 fB-r L'-(3/0-2r)"^/O(/0-2r)J*
Mais en remarquant que 3/Ô — ir est égal à «^ — • — ,
ce qui permet de mettre 7^ en facteur commutt, la
valeur de 2, devient
D'après cela, le rapport cherché a pour expression
u rU»
(5) ^r ^(fB-ir) r p{fB~ir)
^ ^ 2," fB-h^r u U^
Le terme ^^>^^ — : étant toujours très-petit devant -5
à cause de la présence de r au numérateur de l'un et au dénominateur de l'autre, on peut le négliger sans erreur sensible (*) ; ce qui donne aux relations (3) et (5) la forme plus simple ci-après :
^ ' looo r{/9 — r)
(5 bis] - = I
■^ .„ \ I » Il ' I ■
En substituant aux coefficients leurs valeurs numériques convenues, nous aurons
d'où
Ainsi la dépense avec la pente courante est égale à deux fois et un quart celle de la rampe des renforts. Comparons maintenant les frais kilométriques. La re-
( * ) On voit, par exemple^ qu'avec les valeurs ordinaires des coefficients le terme - est égal à 60, tandis que le terme TTm^ x
est à peine supérieur à i. Or, quelles que soient les hypothèses faites sur la grandeur des coefiâcient», on ne pourra guère faire varier ce dernier que du simple au double. La dififérence (estera donc toujours très-considérable.
lalion (4) du n° 72 nous donne
D'après ce que nous avons vu tout à l'heure, le numérateur de la fraction est égal à —^^ '—'> et le déno-
minateur à -zrrriiz r," On a par conséquent
(7) ffj--(T,=2N
fHP-^r)
Il est d'ailleurs facile de voir, diaprés la formule (3) dit n® 71, que «tj a pour valeur
On en déduit le rapport des dépenses, savoir :
On peut simplifier cette expression en remarquant que le quotient i^ diffère peu de l'unité. On a approximativement
Nous trouverons, comme précédemment,
d'où
rr = — (Ta (à près)
Ainsi l'adoption de la pente courante, en place de la pente des renforts, a pour résultat d'abaisser la dépense
kilométrique de — -
Problème VIII.
81. — Une rampe est établie avec la pente économique; on demande quel est, par mètre de hauteur franchi, r accroissement de dépense par rapport à celle qui aurait lieu sur une même longueur en palier ou en pente cou^ rante.
Nous avons trouvé au n** 77 l'accroissement de dépense pour un kilomètre de rampe. Ce kilomètre correspond à une hauteur franchie de 1000 A mètres, puisque A représente la différence de niveau regagnée sur un mètre. Pour avoir l'accroissement par mètre de hauteur, il faudra diviser la quantité précédente par loooA. Nous aurons, en désignant par n l'accroissement cherché,
«r — (7, NU A - r
Tfï =
lOooA 1000 h^fB — 2r
Si Ton préfère éliminer A, la relation devient, après réduction,
M I N U{i-hU) / rU \
^'^ ''^ ,ooo/e-r /G — r V /® — ^r/*
On peut arriver à cette expression au moyen de la for-
mule (7) du n° 77, qui donne le rapport — • On a, en effets ,
"-."=" i+U ' d'où il suit
En remplaçant «r et A par leurs valeurs t- et "^ — ^r > on
retombe sur la relation (i) ci-dessus.
En se reportant aux relations [a] du n" 4-0, on voit que
-Kz est égal a
Nous rechercherons plus tard la valeur de ce polynôme, pour un prix de construction et un trafic donnés. Afin de fixer les idées, nous le supposerons égal, en nombres ronds, à 25 000 fr. (chiffre peu éloigné de ceux qui conviennent à plusieurs lignes françaises). On trouve alors
ïî = 660 francs environ.
Ainsi, quand une hauteur est assez importante pour motiver l'adoption de la pente économique, chaque mètre d'élévation entraîne dans le parcours correspondant un ^accroissement de dépense annuelle d'environ 660 fr. Cette charge paraîtra plus onéreuse encore si l'on considère la faiblesse du parcours sur lequel elle se produit. Avec les chiffres dont nous avons fait usage, ce parcours est à peine de 3o mètres. Sur une longueur de i kilomètre, l'accroissement serait de 23 000 à 24 000 francs, pour racheter 35 mètres d'élévation.
Problème IX.
82. — On demande quelle est la différence de niveau qu'on peut racheter, sur la pente économique, avec la dépense qui serait faite sur un kilomètre en palier ou en pente courante.
Nous disons en palier ou en pente courante, parce que les frais sont les mêmes dans les deux cas.
La solution se déduit de celle du problème V. En
effet, nous avons trouvé la valeur du rapport — des dépenses de deux kilomètres, l'un en pente économique, l'autre en palier. Or la hauteur rachetée par le premier est égale à 1000 A, et la dépense correspondante est égale
à (7 ou à <7r X — Pour avoir l'élévation qui correspond à la dépense (x,, il faot diviser 1000 A par — La hauteur en
question k sera exprimée par looo A x — ? et l'on aura
i \ t L 7^ — 2r (i) Ar=ioooA — Yr — •
Remplaçons par h la valeur, il viendra
On peut, sans grande erreur, considérer le rappo ^^m
