V.Q — comme égal à Tunité. Cela nous permettra < k

donner à la relation cette forme plus simple :

[ibis] k=\ooo^ — 7 ^tt:; — -•

Avec les valeurs numériques ordinaires, k est égal à i8 mètres, ce qui veut dire que sur une longueur de rampe économique, rachetant une élévation de i8 mètres, on fait la même dépense que sur un kilomètre en palier ou en pente courante.

83. — Ce problème permet de résoudre celui-ci, qui au fond n'en diffère pas :

Quel accroissement de parcours horizontal peut-on accepter dans le but de diminuer d'une quantité donnée la hauteur qu'on est obligé de franchir ?

Cette question se rencontre fréquemment dans la pratique. Il s'agit, par exemple, de traverser une chaîne de

montagnes assez importante pour motiver une exploitation spéciale. Deux ou trois passages, plus faciles que les autres, sont indiqués par la nature des lieux. Leurs sommets sont à des niveaux différents, et, selon qu'on adopte l'un ou l'autre, le tracé du chemin sera modiûé de façon à donner. des parcours horizontaux de longueurs inégales. Si le passage le moins élevé conduisait en même temps au tracé le plus court, il n'y aurait pas d'hésitation : toute question de construction à part (nous supposons toujours le prix du kilomètre constant), ce passage serait évidemment le plus avantageux. Mais quand le col le moins élevé entraîne un accroissement de parcours horizontal, il y a lieu de se demander lequel des deux, tout compte fait, mérite la préférence. Si donc H et H' sont les deux hauteurs, L et L' les longueurs en plaine, H' étant moindre que H, et L' plus grand que L, il faudra voir si la différence H — H' compense ou non la différence L' — L. Puisque pour franchir k mètres on fait la même dépense que sur un kilomètre horizontal, pour franchir H— H' mètres on fera la même dépense que sur un nombre de kilo-

mètres représentés par — r La question se réduira à

voir si L' — L est moindre que — r Ainsi la limite

de l'accroissement de parcours qu'on pourra accepter en prévision de gagner la différence de niveau H — H', sera déterminée par la formule

looo /0 — r(2 — U»)

S'il s'agissait, par exemple, de faire passer le chemin

par un col moins élevé de loo mètres, on pourrait, avec avantage, subir un allongement du tracé en plaine jusqu'à concurrence de 5 kilomètres et deux tiers (*).

Ce problème renferme, comme cas particulier^ celuL qui consiste à déterminer dans quelles conditions il est: avantageux d'accroître le parcours pour éviter Tascensioi^ d'une hauteur donnée, ou pour permettre, en tournanVL. convenablement Tobstacle, de le franchir avec la pent^ courante; ce qui supprime toute exploitation spéciale « Ainsi, pour éviter la traversée d'une montagne qui, aix col le plus bas, présenterait 5oo mètres d'élévation, et pour rester en même temps dans le régime des pentes adoucies de 5 à 6 millimètres, on aurait intérêt à faire un détour de près de 3o kilomètres, ou à allonger la ligne totale de i5 kilomètres si la pente adoptée pour franchir la hauteur devait être de 35 millimètres.

Quant au trafic, il payerait sur le détour précisément la même taxe dont il serait grevé sur la rampe économique si Ton y élevait le tarif ordinaire dans la proportion de <7, à <r(n*» 78). Étant donc admis le principe de cette augmentation de taxe sur la pente économique, les intérêts du trafic se trouvent d'accord avec ceux du transporteur pour allonger les parcours dans le but de réduire les hauteurs à franchir.

(*) Ce n'est pas là, bien entendu, un accroissement net du parcours total, car le parcours sur la rampe même se trouve diminué. Pour une diflÉrence de niveau de loo mètres, par exemple, et une pente économique de 35 millimètres, la rampe aurait presque 3 kilomètres de plus, qui seraient à déduire des 5 | kilomètres d'accroissement en plaine, pour donner l'allongement réel sur la ligne totale. Celui-ci serait de près de 3 kilomètres.

CUAPmŒ M. - PROBLÈME DIVERS. i»i

PlOBLtXE X.

Sk. — On demande quelle est la différence de niveau qu'on peut racheter, sur la pente des renforts, avec la dépense d'un kilomètre en palier ou en pente courante.

Le problème est en toul semblable au précédent; il suffit d'y remplacer les quantités relatives à la rampe économique par les valeurs correspondantes de la rampe des renforts. On aura donc, en désignant par k^ la hauteur rachetée,

ki=- looo A, — • Or, ht étant égal à r -^ » et le rapport — à

ou approximativement à

il en résulte

(i) /ra = iooor-^- / 1 — ^^ ,

Les substitutions numériques, ordinaires donnent

frjrr: I I™, 25.

On verrait, comme précédemment, que la limite d( rallongement de parcours qu'on pourrait accepter aveci avantage, afin de diminuer la hauteur à franchir, est déterminé par la formule

Pour gagner, par exemple, loo mètres sur l'élévation, on peut allonger la ligne de près de 9 kilomètres, ce qui, en tenant compte de la longueur de la rampe (près de 8 kilomètres), porte à I kilomètre environ Taccroissemenl net du parcours. Le résultat est, du reste, d'accord avec ce que nous avons déjà vu au n° 80; nous avons trouvé que la dépense par kilomètre de rampe courante est égale

aux — de la dépense par kilomètre de rampe à renforts;

il en résulte que 9 kilomètres de la première rampe ne coûtent pas plus que 8 kilomètres de la seconde.

Problème XL

85. — De deux hauteurs à franchir avec la pente économique y la moins élevée donne lieu à un prix kilométrique de construction plus considérable ; on demande laquelle des deux hauteurs il est préférable de traverser.

Remarquons d'abord que les pentes économiques des deux hauteurs ne seront pas égales, puisque le prix

d'établissement du kilomètre n*est pas supposé le même. Remarquons également que les polynômes M, N et U (n** 40) auront des valeurs différentes, puisqu'ils sont fonctions de la dépense de construction. Au contraire, !e polynôme P sera identique dans les deux cas.

Cela posé, soit H, H' les deux hauteurs, H'>H, et C, C les deux dépenses correspondantes de construction, C'<;C. En nous servant des notations ordinaires, nous aurons

N H NH (i-hU)^ A* looo ipoo (y*9 — ry

A" looo looo [f^ — ry

Les avantages se balanceront de part et d'autre, quand on aura 2 = 2', et par suite

(i) N'H' (i 4- U')^— NH (i + U)^ = o.

Si Ton se reporte à la forme du polynôme N, on reconnaît aisément qu'on est en droit d'écrire

(2) N'==rN-i(C-C)(/e-r).

Développons les carrés indiqués, il viendra

I N (H'-H) - 1 (C-C) (/ô-.r)H'-i- 2 (N'H'U'— NHU)

Mais de U» = |^ et U'» = ^, , résulte N'U'» = NU^ Les

deux derniers termes peuvent se mettre sous la forme