NU^(H' — H

D'autre part, posons

N'H'U' -- NHU = v^N ( v^U'H' 4/^— V^UhY

Or, d'après ce que nous venons de voir, \/N'U' est égal m

\/NU. En mettant ce facteur commun hors de la parenthèse, il vient

N'H'U' — NHU = Nu(H'i/^ — H).

En vertu de la relation (2), on a

La fraction sous le radical est beaucoup plus petite que Tunité, car N ou

est visiblement très-supérieur à

On peut donc développer le radical en série, et s'arrêter avec une grande approximation aux deux premiers ter-

mes ( ;, savoir: i — >- . On n\ rnn

clul

N'H'U'— NHl) = NU (H' - H) - ' l) i[C -- C] [jr^^ ~ r) II'.

et la relation (3) devient, par des iransrorrniitlonN «Wl* dentés,

N(H'-.H)(i + U»-+-2U)~/(C-(:')(/0^-r)ir(i ♦ IJ). n.

« Supprimons i + U facteur commun, et il nantit In UtnuuUs très-simple

(4) /(c-C)H' = N^^^(ir ■ II;,

86. — On peut la mettre mn» mu*, 'juiréi tomm éMi m marquant que ^ ^ est égal ai y* #fi que , Ui'M uHirn

( * ) Vfmur cfjmuâêe «^. ^/misum^ ^m ai^it, ut^nwUtf i\ué'

ipr«/-. ',|-

donc SBCiK «rjWHttiAau: « V/rM'># /i# /i^fM^ i^n# '^^ ^ni^imn

chose que la dépense kilométrique représentée déjà par a. On a

ou bien

ce qui veut dire que le rapport de l'économie de la construction à la dépense totale (par kilomètre) doit être égal au rapport de la différence, des hauteurs à la hauteur la plus élevée. Supposons, par exemple, que H soit les trois quarts de H' ; l'économie offerte par la construction du kilomètre devra être égale au quart de la dépense kilométrique totale. Dans ces conditions, il y aura compensation parfaite entre les dépenses des deux rampes : l'accroissement du prix du kilomètre est balancé par la diminution de la longueur. Si l'économie de la construction dépasse cette limite, on a intérêt à franchir la hauteur la plus élevée ; si l'économie est inférieure, il est préférable de s'en tenir à la hauteur la plus faible.

Si l'on veut évaluer en nombres la formule (4), nous attribuerons aux divers coefficients leurs valeurs ordinaires, et nous admettrons que -pz est, comme au

n®81, égal à 26000 francs. Il en résulte

I C — iC! = 5o 000

Si la différence des hauteurs est égale, par exemple» au lo* de la hauteur la plus élevée, iC — iC a pour valeur

5ooo francs, annuité qui, capitalisée à 6 pour loo (amortissement compris), représente une mise de fonds de 80000 francs environ. Ainsi, pour qu*il y eût intérêt à franchir le plus haut des deux passages, il faudrait que le kilomètre coûtât 80000 francs de moins. Cette différence étant considérable et supérieure à celle qu'on rencontre ordinairement dans la pratique (quand les travaux d'art sont dp même nature), on peut dire d'une manière assez générale qu'on a intérêt à choisir les passages les moins élevés, même quand la construction y est plus dispendieuse.

Problème XII.

87. — Une hauteur est franchie, avec la pente économique, par une rampe qui s'étend symétriquement sur les deux versants; on peut également relier les pieds des versants au moyen d'une ligne horizontale ( ou en pente courante], dont le prix kilométrique de construction diffère de celui de la rampe. On demande lequel des deux tracés est le plus avantageux.

Soit H la hauteur; la longueur de la rampe sur l'ensemble des deux versants sera r» et la dépense 2

aura pour valeur

3tH N

Soit D la distance (en mètres) horizontale ou en pente courante qui relie les deux extrémités inférieures de la rampe. Le nombre de kilomètres de cette ligne sera

> et la dépense correspondante 2' aura pour valeur,

d'après la relation (3) du n°71, dans laquelle on fait h' = r,

D N' / rU'

fQ^r\ f0-2rj'

j'écris N' et U' au lieu de N et U, parce que le prix d'établissement du kilomètre a une valeur C, diîférente par hypothèse de la valeur C.

La relation d'équivalence des deux tracés sera

Les longueurs de la rampe et de la ligne horizontale sont ordinairement assignées parleur rapport, c'est-à-dire

qu'on connaît la valeur numérique dep = -Yr-' Mettant p en évidence dans la relation (i), celle-ci devient

N' / ri]'' \ N

JO^r\ p-ir/ ^ h

ou bien, erï remarquant que h est égal à rr-?

Mais, d'après ce que nous avons vu au problème précédent, on a simullanémonl

N'U'-^ = NU% N' = N 4-/(C' - C) (/e - r).

£n substituant, il vient

d'où Ton tire