On peut donner à celte relation une autre forme

N(i+U) , en remarquant : i° que —jr ^ n est autre chose que

la dépense kilométrique ^ sur la pente économique;

^"^ 7^ \ ^ "^ 7^ ) ''^P^^sente la dépense qui

serait faite sur la ligne horizontale si le prix de construction y était C au lieu de C ; c'est donc la quantité désignée jusqu'ici par <Tr, La relation (4) prend ainsi la forme extrêmement simple

(5) / ;C' — C) := p(T — ffr.

Cette dernière expression est évidente à priori. En

effet, si Ton multiplie tous les termes par » le der-

"^ lOOO

nier terme représente la dépense faite sur la ligne horizontale dans rhypothèse où les frais kilométriques de construction y sont les mêmes que sur la rampe; le premier membre représente Taccroissemenl effectif de ces frais ; et il est clair que leur somme exprime la dépense totale de la ligne horizontale. Cette somme doit être égale à la dépense de la rampe, laquelle est représentée par le pre-

mier terme du second membre, puisque p est égal

à la longueur de la rampe.

Évaluons en nombres la formule (4) en conservant nos

chiffres habituels et -^ = 25ooo; on a

i(C' — C) = 25ooo(2p — I ,08).

Si p est seulement égal à i, c'est-à-dire si la rampe est aussi courte que la ligne horizontale, on a

i(C' — C)=23ooo^

d'où, en capitalisant à 6 pour 100 (amortissement compris),

C — C = près de 400000^ (exactement 383 3oo^).

On voit quel immense intérêt on a à éviter l'ascension d'une hauteur et à y suppléer par un profil horizontal (ou en pente courante), même au prix d'un accroissement de frais de construction, qui, à égalité de parcours dans les tracés, peut être de 38oooo francs par kilomètre. On ne doit pas craindre d'augmenter la mise de fonds pour conserver au chemin un profil adouci et régulier. C'est ce qu'on énonce vulgairement en disant que les intérêts de la construction doivent être sacrifiés à ceux de l'exploitation.

La question des tunnels rentre dans ces considérations. La dépense C de la ligne horizontale représente la dépense kilométrique du souterrain. Si le tunnel ne coûte par kilomètre que 38o 000 francs de plus que Fa rampe

à ciel ouvert, et si le percement de ce tunnel permet d'éviter une rampe à pente économique égale à sa longueur, on a autant d'intérêt à l'adopter qu'à franchir la hauteur. L'avantage du tracé horizontal du tunnel, puisque nous parlons de cet ouvrage d'art, devient bien plus considérable lorsque la longueur de la rampe excède notablement celle du souterrain, c'est-à-dire quand p est supérieur à i. Cela arrive toutes les fois que l'inclinaison naturelle du sol est plus grande que la pente économique, circonstance fréquente dans les pays de montagnes. Si, par exemple, p est égal à 2, ce qui est loin d'être exagéré, puisqu'il suffit d'une inclinaison naturelle de 6 à 7 centièmes, l'équation (4) donne

d'où résulte

C — C = 1 200000^ (environ).

Dans ce cas, il y aurait intérêt à choisir le tracé le plus dispendieux, tant que l'accroissement de la dépense kilométrique de construction ne dépasserait pas 1 200 000 francs, différence supérieure à celle que présentent la plupart des ouvrages d'art les plus difficiles.

Ainsi les avantages du tracé horizontal augmentent trèsrapidement à mesure qu'on réduit la longueur du parcours, et pour peu qu'on gagne la moitié de la longueur que devrait avoir la rampe, on est assuré que le tracé horizontal est préférable, même quand il nécessite des ouvrages d'art très-considérables. *

Le problème que nous venons de traiter n'est, du reste, qu'un cas particulier du problème général suivant, qui

répond à Thypolhèse où la rampe n'est pas à la penie économique.

Problème XIII.

89. — Une hauteur est franchie, avec une pente quelconque ^ par une rampe qui s'étend symétriquement sur les deux versants ; on peut également relier les pieds des versants au moyen d'une ligne horizontale [ou en pente courante), dont le prix kilométrique de construction diffère de celui de la rampe. On demande lequel des deux tracés est le plus avantageux ,

Soit h'' la pente de la rampe ; la dépense totale 2" nous sera donnée par la relation (2) du n*» 71 :

" ~~ 1000 /ô — rVA'' /0 — r— A"/

La dépense sur la ligne horizontale est, comme nous avons vu,

1000 /0 — r\ ji

rU'^

L'équation d'équivalence des deux tracés sera, en re-

A'' présentant toujours par p le rapport -yr-» et supprimant les

facteurs communs,

(0 ^^('-^TTzrTrJ-P^i'-^ /e-^r-^A- )^"

^ cause des relations connues :

N'U'» = NUS N'=:N +i(C'-C)(/ô— r), ' équation ci-dessus peut s'écrire

(^)/(C'-C)(y^-r)-NU'(^^^,-^-:^,.)-N(p-.)=o; ***oei l'on déduit

Il est facile de voir que cette relation renferme comme ^^ particulier la relation (4) du problème précédent : on

* ^ qu'à remplacer A" par - — ^r- Il est également facile

^^îî constater, d*après la formule (3) du n" 71, que Té- ^Xiation ci-dessus peut se ramener à la forme

Évaluons en nombres la relation (3), en faisant, comme ^ Tordinaire,

I 3 N y=-, r = o,oo5, 9 = ^9 U = I et ^ =25ooo.

Quant à p, attribuons-lui sa valeur minimum, c* est-à-dire Vunité. On trouve

Vo,o7 — /i''

Quand A" est la pente économique, nous avons vu qu'à moins d'une différence de prix supérieure à 38oooo francs par kilomètre entre la ligne horizontale et la rampe, il y avait avantage à adopter la première. Mais si A" est inférieur à la pente économique, la balance peut se renverser en faveur de la rampe, même avec une différence de prix beaucoup moindre : c'est ainsi qu'avec une pente égale à r, l'avantage de la ligne horizontale disparaîtrait pour peu que le coût kilométrique fût plus élevé. Il y a donc lieu de se demander au-dessus de quelle inclinaison la rampe est désavantageuse, pour une différence donnée dans les prix d'établissement.

Supposons, pour fixer les idées, que la comparaison s'établisse entre une rampe à ciel ouvert et un tunnel, et que les prix du kilomètre soient respectivement de 3ooooo et de Sooooo francs, de telle sorte que la différence en question est de 200 000 francs.

Dans ce cas, i (C — C) est égal à 12000, et l'on a