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d'où, en effectuant les opérations indiquées,

Il y aura donc avantage à préférer le tracé à ciel ouvert tant que la pente ne dépassera pas 25 millimètres. Audessus de cette inclinaison, le tracé en souterrain sera plus avantageux malgré le surcroît de dépense de construction de 200 000 francs par kilomètre.

Cette limite de pente est sensiblement inférieure à la

pente économique. Celle-ci, en effet, avec les valeurs adoptées pour les coefficients, serait égale à 35 millimètres.

90. — La question peut se présenter sous une forme plus complexe, si, par exemple, comme cela arrive souvent, l'inclinaison étant inférieure à la limite d'équivalence, la longueur de la rampe se trouve, d'un autre côté, notablement plus grande que celle de la ligne horizontale. Le problème, dans la plupart des cas, se ramène au précédent par la considération suivante.

Soit H la plus grande hauteur que doive franchir la rampe au-dessus du niveau du tunnel. Supposons que ce sommet soit situé sur la verticale passant par le milieu du souterrain, et joignons-le à chacune des deux extrémités du tunnel. La longueur de celui-ci ne différant géïiéralement pas beaucoup de celle d'une ligne droite, nous le considérerons comme rectiligne, et nous aurons par conséquent, avec les deux droites précédemment menées, un triangle isocèle dont la hauteur est égale à H. Cela posé, remarquons que le parcours de la rampe est, quelle que soit l'inclinaison, supérieur à celui du souterrain. Si donc, dans l'équation (3), nous faisons p= i, nous diminuerons la dépense effective de la rampe, et nous augmenterons la pente d'équivalence h". En d'autres termes, on peut être assuré que toutes les rampes menées entre les extrémités du souterrain, et d'une inclinaison égale ou supérieure à h" j donneront lieu à une plus forte dépense que le tunnel. Quant à cette valeur de h" y elle se déduit de l'équation (3), qui, dans l'hypothèse de p = i, prend la forme

(4) i{C' — C)=NU»r7 ^^-^ 7-.

Supposons que h" soit moindre que la pente économique. Si l'inclinaison fournie par le triangle isocèle dont nous parlions tout à l'heure, est supérieure à A", il est évident que toute rampe qu'on voudrait construire serait plus onéreuse que le souterrain. En effet, cette inclinaison est moindre ou plus grande que la pente économique. Dans le premier cas, la rampe qui l'emprunte est moins onéreuse que toute autre franchissant la même hauteur, puisqu'on y fait usage d'une pente aussi rapprochée que possible de la pente économique; néanmoins une telle rampe est plus coûteuse que celle dont l'inclinaison serait A", avec p = i. Dans le second cas, la rampe serait plus dispendieuse que celle qu'on établirait avec la pente économique ; et cette dernière serait elle-même plus chère que la rampe h'\ avec p = i.

Ainsi on sera assuré que le souterrain est plus avantageux toutes les fois que l'inclinaison du triangle isocèle construit comme il a été dit ci-dessus, est supérieure à la valeur de h" déduiie de l'équation (4), dans laquelle i(C' — C) représente une différence de dépenses appréciée d'avance.

Mais quand la valeur de h" est supérieure à la pente économique, ce moyen ne s'applique plus. Lors même que l'inclinaison du triangle surpasserait cette valeur, on ne serait pas certain qu'une rampe plus longue et plus adoucie sera plus onéreuse que celle dont la pente est A'' avec p=:i. Il faut alors laisser à p sa valeur véritable dans réqualiofl (3), et faire le calcul exactement. On arrive à des conséquences de même genre que celles qui terminent le n° 88, lesquelles font ressortir l'économie des tracés horizontaux dès que la longueur du parcours se trouve par là notablement diminuée.

11 est bien évident que tout ce que nous venons de tlire d'un tunnel s'applique à tout autre ouvrage d'art tel 9ue ponty viaduc, etc., et en général à un tracé horizontal ï^ielconque dont le prix de construction serait supérieur * oelui de la rampe.

Il peut enfin arriver que l'ouvrage d'art comparé à la mpe ail lui-même une pente supérieure à la pente counte. Soit h' cette pente; il faudra substituer A' à r dans l'expression de la dépense -s', ce qui modifiera l'équa- ^îon (3) de la manière suivante :

» suite l'équation (4) devient

C4- bis) ,(e-c) = NU> ^^^^^;-^;^^. ^.

l'angle qu'il faudra comparer avec h" ne sera plus l'angle ême du triangle isocèle, mais bien celui que forment *^s côtés avec l'horizontale.

Problème XIV.