CT CT
comme à peu près constantes dans les grandes lignes exploitées. Le poids des machines, le système de voies, l'organisation administrative ne diffèrent pas assez d'un chemin à l'autre, pour que les quantités ci-dessus en soient modifiées sensiblement. — Nous ne parlons pas de r et de i, qui de leur nature sont indépendants de ces particularités. Au contraire,/, 0, G et Q varient beaucoup, les deux premiers suivant le mode d'exploitation donné à la rampe, les deux autres selon les contrées où elle est établie. Il convient d'exprimer la pente en fonction de ces quatre éléments, les autres étant remplacée une fois pour toutes par leurs valeurs numériques.
Par la même occasion nous rechercherons les valeurs des polynômes N,P et U, qui se représentent perpétuellement dans les questions relatives aux pentes.
107. — Détermination des polynômes N, P et U. — On a la formule connue
N = Q,. (^ /i^% "-^^F^O + ('^- ^ ^Q^ iP - '■'. cQ remplaçant K.
On peut mettre cette expression sous la fonno suivante :
laquelle met mieux en évidence les facteurs Q ol /O — r. Si l'on remplace par leurs valeurs les termes
a aH-6 — ^*
N on obtient le rapport ^:-< , qui so rencontro dans lu
•/ plupart des questions du chapitre pr(^cédent :
(2) ^j— -j;==o,o6C4-Qfo,oo5 4-Trjp^
N La valeur numérique de ^ se trouve iindi fonction
des quantités G, Q, /et 9, qui sont ncccssairomunt umnIgnées dans chaque cas particulier.
Si Ton veut avoir 7- en fonction do C ot do Q nnulo-
ment, il faut attribuer à / et 9 ccrtalnoH voIcuph, pur
exemple, /= ^ et = ç« On a alors
Quand C est égal à Sooooo et Qk 700000, Il (tn r/'Hiilto
:p- = 23 000 environ;
chiffre peu éloigné de celui dont nous avons fait usage au chapitre précédent.
L'expression numérique de P s'obtient de la même manière. On peut mettre ce polynôme sous la forme
d'où, en remplaçant, comme tout à l'heure,
a a-4-6 — 15 - et : — —
par leurs valeurs,
(5) P=Q^(/G--r)L,ooo75-h j^^o,0233y
En y faisant /= ^ et ô =^> on obtient, en fonction de
Q seulement.
et
P = o,oo23 Q.
Pour Q = 700 000, P est égal à 1600 environ.
Si l'on divise l'une par l'autre les relations (3) et (5), il vient
0,005 + 0,006 -rr -h -jrz 0,0233
Telle est Texpression numérique de U en fonction dos quantités qui doivent être assignées dans chaque question.
On peut simplifier cette expression de la manière suivante : divisons Tune par Tautrc les relations (i) et (4), il viendra
P jr, fQ ^'^ fQ^r n
— ou U' = ' •
fO-r m Q
Cela posé, remarquons que les variations do /et nginseni d'une manière bien différente sur les deux fartourn
de U% à savoir ^ et la grande fraction qui en oHl multipliée. Le premier facteur augmente ou diminue proportionnellement à chacun des coefficients /et 0, landin quo le second varie avec eux d'une manière à peu prèn Insensible. Aussi en donnant à/ une valeur moyenne cjilre
3 et — » qui sont presque deux extrèmen, hoIi • » t*i en
O 12 ^ "^ ^ lO
donnant de même à 9 une valeur o^^S interm/^diaire nntrn
les extrêmes- et i, on pourra faire h Mutmtitutlon uim
fois pour toutes dans la gr^nAtt fraction, timU t;u m^ ^,iir
dant de l'appliquer au premier hcU'Mf^ " 0*XU*, t^iilmtlln-
tion, toujours plus ou mo%u% fjfuintirtt k mu* Hf^onritut^M exactitude, n'influera pd<^ s^jt<ihU*4f$(uti ntir U ynU'ur lU* h, et celle-ci sera obt/^nue, A:àu% UfH% U',% /;i*», n motn«i A' un
246 CHAPITRE VH. - APPUCATIONS NUMÉRIQUES.
dixième près ( * ) . Une pareille approximation suffit évidemment aux besoins de la pratique. En effectuant ces
(*) Il est facile de reconnaître que Terreur est toujours au-dessous de cette limite.
Désignons en effet par X le polynôme
afQ-r , a-h6-5
'À r Vf
par Y le polynôme
et par V*la fraction ^ — v' ^ ^^^^ qu'on ait
On a évidemment
ttn posant Z= r^- Mais on peut écrire
(3) ^ ou Z= ^\^
a ta
L'erreur sera la plus grande possible si / et 6 s'éloignent le plus
CHAPITRE VIL - APPLICATIONS NUMÉRIQUES. 247 calculs, on ramène Texpression de U à la forme suivante :
possible , dans le même sens , des valeurs adoptées à priori pour ces deux coefficients. Nous avons supposé qu'on prenait
voyons ce qui adviendrait si / et avaient , par exemple , les valeurs Les plus grandes possible , soit
/= i et 0=1.
On a
/'G — r 1° Avec les valeurs adoptées ^ = i4;
2° Avec les valeurs réelles = 24.
L'erreur commise dans la relation (i) sera celle qui provient de la substitution du chiffre i4 au lieu du chiffre 24 dans la relation (3). Or la différence des valeurs de Z qui correspondent aux chiffres 1 4 et 24 est égale à
\2 24 CT 2 14 cr /
2 14 Tff 2 24 w a-f-6 — 1^
Or en remplaçant «, a, 6, ^ et c par leurs valeurs , on voit que le
248 CHAPITRE VU. - APPUCATIONS NUMÉRIQUES, d'où résulte
(n) A = f^-o,oo5
multiplicateur de-Z est égal à o,53. La différence en question est
donc égale à — r- Z et par suite moindre que - Z.
L'erreur qui peut être commise sur V est moindre que la diffé-
rence qu'on obtient en y remplaçant Z par Z +- Z, ou moindre que
i-hZ i-h^Z i-f-Z H-îfZ . 7 lo
L'erreur sur U' est moindre que la différence
r \ lo / r r lo lo
L'erreur sur U est inférieure à
fQ — r Enfin l'erreur commise sur h = rr est moindre que
fQ^r fO-r fQ-r o,i5U
i-hU i-hi,i5U~ i-hU ' i-hi,i5U "^"115 , loo
Cette erreur sera la plus grande possible quand U sera le plus grand
Dans ces formules, ne Foublions pas, /et ô représentent, non plus les valeurs moyennes dont nous parlions tout à l'heure, mais bien les valeurs réelles qu'affectent ces coefflcienls dans chaque cas particulier.
possible ; ce qui aura lieu en attribuant à / et 9 leurs valeurs les plus élevées, et au rapport ^ la valeur la plus réduite qu'il puisse prendre dans la pratique. Faisons en conséquence
/=i et © = i.
On ne peut guère attribuer à C une valeur inférieure à 3oo ooo fr. ; quant à Q, il est, sur le Midi, égal à 700000 tonnes et correspond à une recette kilométrique (nette) de 28876^% 63. La recette du chemin le plus favorisé, celui de Paris à Lyon et à la Méditerranée, a été, dans la même année 1860, de 70 416''", 16, c'est-à-dire égale à deux fois et demie celle du Midi. On sera assuré de se maintenir au-dessus des circonstances usuelles en quadruplant, par exemple, la valeur de Q trouvée sur le Midi, ce qui donnera
f: = - environ. En faisant ces diverses substitutions dans l'expression de U , on obtient U = i , 8 et l'on est certain que cette valeur est supérieure à celle qu'on peut avoir occasion de calculer dans la pratique. Dès lors en remplaçant U par 1,8 dans la fraction
— ^ ? qui marque une limite supérieure de l'erreur commise
ii5 100 ^ ^ '^
dans l'évaluation de la pente , on voit que cette erreur est moindre
que — ^ II
Nous sommes donc fondés à remplacer une fois pour toutes/ par — et par 0,75 dans l'expression de V (formule i) et à ne conser-
Nous aurons U et A eu fonction de C et de Q seulement,
en attribuant, comme plus haut, à /et les grandeurs ^
et ■=' Il viendra
(/ibis) A — '
On reconnaît aisément que cette dernière valeur de U ne diffère point de celle qu'on aurait obtenue en divisant Tune par l'autre les deux relations (3) et (6). On aurait en effet
N o,o6C -ho,oo7Q
ver /et à l'état d'indéterminées que dans le multiplicateur de V. La substitution des valeurs des divers coefficients donne
d'où
\/ o,oo5 U,0929-ho,84^\
qu'on ramène aisément à
(en divisant tous les termes par 0,007 Q). ^^ cette dernière fraction est, à peu de chose près, le carré de la formule (9).
On peut, si on le préfère, mettre en évidence le poids T du trafic kilométrique au lieu du poids total Q. Sur l'en-
semble des chemins de fer français le rapport jr diffère
peu de ^- En, adoptant ce chiffre moyen, la formule [n) devient
[nier)
f^__ /Q — o,oo5
T est le nombre de tonnes de marchandises de toute nature, à grande et à petite vitesse, ainsi que le poids de voyageurs (calculé à raison de 65 kilogrammes par tête), circulant sur i kilomètre de chemin pendant l'année.
108. — Le tableau ci-après présente les valeurs de la pente économique pour les grandes lignes françaises, d'après les résultats de leur exploitation en 1860. On a supposé que le poids total (utile et mort) était égal au triple du poids du trafic (sauf pour le chemin du Midi où T est égal aux ^ de Q). On a attribué aux coefficients CyfelO les valeurs suivantes :
C = 3oo 000 francs, /=5 9 ® = ?'
Valeurs de la pente économliiiie.
