DISCOURS

DIVISEURS

diseonn» il ▼ a gënénlexnent une question de fait à éclairdr drabord; l*aaditeur ne sMntéressera à T08 prétentions, ne les comprendra même, que quand tous lui aurez raconté les faits en les lui présentant habilement sous le Jour que vous croyez être le yrai. Cette narration oratoire ne ressemble pas à la narration historioue ou à la simple relation des événements: celle-ci peut être froide, impartiale, neutre, et Uisser Tesprit indifférent ou hésitant; Tautre est nécessairement colorée, vive, courte^ passionnée, faite surtout pour servir la cause qu*on soutient : en admettant môme qu'elle reste dans le vrai, elle insiste naturellement sur les côtés les plus avantageux à l'intérêt de celui qoi parle.

4* La confirmation^ la preuve ou le corps ^argumentation. — La cause exposée, les faits racontés, il faut en faire sortir les conséquences logiques : le moment est venu de faire appel à toutes les ressources d*un raisonnement serré, vigoureux,

aui s'impose à Tauditeur et se grave malgré lui ans son esprit Quelquefois, le plus souvent m âme, ce n'est pas une seule preuve qu'on in- Toque, on en a de plusieurs degrés : on commence par les plus faibles, et graduellement on y en ajoute ^autres qui soient de nature à amener résidence complète et irrésistible.

5» La réfutation ou réponse aux objections, — Quand l'auditeur est bien convaincu par vos démonstrations, bien gagné à votre cause, bien d'accord avec vous, il n'y a plus d'inconvénients à lui signaler, pour les mettre en pièces, les arguments de votre adversaire, les objections qu'il vous oppose ou va vous opposer. L'art de l'orateur est d'atténuer autant que possible les raisons de la partie adverse, de résoudre les sopLismes, les paralogismes (faux raisonnements), de dissiper toute confusion, tout malentendu, de rétorquer les argumenta spécieux et superficiels, qui ne résistent pas à un examen approfondi. C'est ici que l'orateur peut être le plus vif à l'attaque et avoir les plus beaux mouvements oratoires : tantôt l'ironie, tantôt rindignation, lui servent d'arme vengeresse pour confondre l'erreur et faire triompher la Justice.

6* La péroraison ou fin du discours, — L'orateur a fini la discussion des faits et des idées, il a fait la lumière dans les esprits, il se recueille maintenant et s'efforce de laisser en quelques graves et éloquentes paroles la trace de son passage; ému lui-môme en se sentant arrivé au terme de sa tâche et au moment décisif, il communique à son auditoire les sentiments dont il est plein. A ce moment seulement, sa tâche achevée, il semble faire un retour sur lui-même, et termine par quelques mots, soit de modestie, soit de confiance, qui complètent ce Qu'avait commencé Texorde, qui doivent provoquer dans l'auditoire, outre la persuasion, un sentiment de sympathie, d'estime et de respect pour l'orateur qu'on vient d'entendre.

Différents genres de discours, » Cette esquisse générale et théorique de la structure d'un discours s'applique aux difi'érents genres oratoires. On peut distinguer : le discours politique (éloquence de la tribune), le discours académique (éloquence académique), le plaidoyer (éloquence du barreau), le discours tumulaire ou oraison funèbre (éloquence funèbre), le sermon ou V homélie (éloquence de la chaire), la conférence (éloquence familière), les harangues ou proclamations militaires (éloquence militaire).

On a donné le nom de discours à certains ouvrages qui ne sont pas même pour la forme des œuvres oratoires : c'est dans le sens étymologique ancien du mot discours, qui signifiait ensemble de raisonnements, de déductions, de réflexions, comme dans la fameuse strophe de Malherbe :

Ta douleur, Du Périer, sera donc éteraeli«. Et les U'isttis ditcours

Que te met en l'esprit l'amitié paternelle L'augmenteront toujours !

C'est en cette acception que s*est pris le mot discours dans les titres suivants : Discattrs sttr ta méthode, de Descartes, Discours sur f histoire uni" versetle, de Bossuet, etc.

DiSPOSiTlorf. — y. Composition.

DISTILLATION. — Y. Ebutlition,

DIVISEURS. — Arithmétique, XI, XTII. — 1. On nomme diviseur d'un nombre tout nombre qui le divise exactement, c'est-à-dire sans reste. Amsi 7 est un diviseur de 35, parce que, si l'on divise 3S par 7, on obtient un quotient exact, 5. Par une raison analogue, 13 est un diviseur de 78, etc. Tout nombre admet au moins deux diviseurs, car il est divisible par lui-même et par l'unité: ainsi 87 divisé par 37 donne pour quotient exact I, et 37 divisé par 1 donne pour quotient exact 37. Il y a des nombres qui admettent un grand nombre de diviseurs ; ainsi on peut vérifier que 60 est divisible par l, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 1?, 15, 20, 30, 60. Un même nombre peut être à la fols diviseur de plusieurs autres ; ainsi 13 est un diviseur de 52, de 78, de 91, etc. On dit alors que c'est xm diviseur commun à ces nombres.

2. — Tout nombre qui en divise deux autres divise leur somme. Sachant, par exemple, que 13 divise 52 et 78, on en conclut qu'il divise la somme de 52 et de 7x, c'est-à-dire 13(>. Dire, en effet, que 52 est divisible par 13, c'est dire qu'il se compose d'un nombre exact de fols 13 ; il en est de même pour 78; or si à un nombre exact de fols 13 on ajoute un nombre exact de fois 13, la somme se composera évidemment d'un nombre exact de fois 13, c'est-à-dire qu'elle sera divisible par 18. Le même raisonnement montrerait que tout nom' bre qui en divise plusieurs autres divise leur somme. Ainsi 7 divisant les nombres 35, 63, 84, 105. divise leur somme 287.

3. — Tout nombre qui en divise un autre divise ses multiples. Ainsi 8 divisant 24 divisera tous les multiples de 24, par exemple 5 fois 24, ou 130. Car 120 est la somme de 5 nombres divisibles par 8, il est donc lui-même divisible par 8, d'après ce qui a été dit ci-dessus.

4. — Tout nombre gui en divise deux autres divise leur différence. Sachant, par exemple, que 13 divise 91 et 52, on en conclu/a qa'il divise leur différence -'iS; car si de 91 qui se compose d'un nombre exact de fois 13, on retranche 52, qui se compose aussi d'un nombre exact de fois 13, on obtiendra pour reste un nombro exact de fois 13, c'est-à-dire un nombre divisible par 13.

On en conclut que tout nombre qui divise une somme de deux parties et l'une d'elles, divise nécessairement Vautre^ qui est la différence entre la somme des deux parties et l'une d'elles.

5. Caractères de DivisiBiLrré. — Il arrive quelquefois qu'on peut reconnaître à certains caractères qu'un nombre est divisible par un autre ; ces caractères de divisibilité trouvent leur application dans les calculs.

Un nombre est divisible par 2 quand le dernier chi/fre à itroite est 0 ou un des chiffres pairs 2, 4, 6, H. En effet, tout nombre peut être considéré comme partagé en dizaines et en unités ; or, 10 étant divisible par 2, tout nombre de dizaines, qui est un multiple de 10, est aussi divisible par 2. Pour que le nombre total soit lui-niôme divisible par 2, il faut donc, et il suffit, que le chiffre des unités soit 0, ou un chiffre divisible par 2. Ainsi 24, 36, 78, 382, 490 sont des nombres divisibles par 2.

Un nombre terminé par l'un des chiffres impairs 1, 3, 5, 7, 9 n'est point divisible par 2, et, en faisant la division, on obtiendrait pour reste 1.

6. — Un nombre est divisible par 5 quand le chiffre de ses unités est un 0 ou un 5. Tout nom«

DIVISEURS

bre peut être considéré comme composé de dizaines et d'unités; or, 10 étant divisible par 5, les (lizalneSf qui sont un multiple de 10^ sontdivisiiiles par 5. Pour que le nombre total soit divisible par 5 il faut donc, et il suffit, que le chiffre des unités soit divisible par 5, ce qui exige que ce chiffre soit 0 ou 5. Ainsi 35, GO, 75, 90, 105, etc., sont des noml)res divisibles par 5.

7. — On peut remarquer que si l'on divise par 2 ou par 5 un nombre quelconque, et que la division ne se fasse pas exactement, on obtient le même reste qu'en divisant par V ou par 5 le chiffre des unités. Car les dizaine3 étant un multiple de 2 et de 5, le reste de la division ne peut provenir que du chiffre des unités.

8. — Un nombre est divisibfe par 4 quand le nombre formé par ses deux derniers chiffres à droite est divisible par 4. En effet, tout nombre peut être considéré comme composé de centaines et d'un nombre moindre que 100. Or 100 étant un multiple de 4, les centaines, qui sont un multiple de 100, forment un nombre divisible par 4. Pour

3U0 le nombre total soit divisible par 4, il suffit onc que le nombre farmé par les deux derniers chiffres à droite soit divisible par 4. Ainsi les nombres 528, 2 940, 15 684, 23 796, etc., «ont divisibles par 4, parce que 28, 40, 84, 96, etc., sont des multiples de 4.

9. — Tout nombre est divisible par 25 ouand le nombre formé par ses deux derniers chiffres à droite est divisible par 25. Même démonstration qu'au n* 8 Les nombres divisibles par 2.S sont donc ceux qui se terminent à droite par 00, 25, 50 ou 75. Ainsi les nombres 1 800, 725, 4 750, 16 375, etc., sont divisibles par 25.

10. — On peut remarquer que si Ton divise un nombre par 4 ou par 25» et que la division ne se fasse pas exactement, on obtient le même reste qu'en divisant par 4 ou par 25 le nombre formé par les deux derniers chiffres à droite. Car les centaines étant un multiple de 4 et de 25, le reste ne peut provenir que de la division du nombre formé par les chiffres des dizaines et des unités.

11. — Toui nombre est divisible par 9 quand la sommfi de ses chiffres^ pris en valeur absolue^ est divisible par 9. Kemar^uons d'abord que tout nombre formé de l'unité suivie d'un nombre quelconque de zéros est un multiple de 9, augmenté de l'unité. Ainsi 10 000 est égal à 9999, qui est un multiple de 9, plus 1. En second lieu, tout nombre formé d'un chiffre significatif suivi d'un nombre quelconque de zéros, est égal à un multiple de 9, augmenté de ce chiffre significatif. Ainsi 70 0i>0, ou 7 fois 10000, équivaut à 7 fois 9 iJii9, c'est-à-dire à un multiple de 9, plus 7 fois 1 , ou 7. Soit maintenant un nombre quelconquo 78 845 ; on pourra le décomposer de la manière suivante :

70000, qui est un multiple de 9, plus 7

6, qui est égal à zéro, — &

En faisant la somme, on voit donc que le nombre proposé 78 435 se compose d'une somme de multiples de 9, qui est un multiple de 9, plus la somme

qui est la somme de ses chiffres pris en valeur absolue. Pour que le nombre donné soit divisible par 9, il faut donc, et il suffit, que la somme de SCS chiffres soit elle-même divisible par 9. — C'est ce qui a lieu dans cet exemple, puisque la somme des chiffres est 27 qui est un multiple de 9. On peut remarquer qu'en faisant la somme des

chiffres on peut passer les 9, et même les coaples de chiffres dont la somme fait 9.

12. — Tout nombre est divisible par 3 quand ia somme de ses chiffres, pris en valeur absolue^ est divisible par 3. Car tout nombre étant égal h xux multiple de 9, qui est en même temps un multiple de 3, augmenté de la somme de ses chiffres, il sarîst, pour qu il soit divisible par 3. que la somme de ses chiffres soit un multiple de 3. Ainsi le nombre 19 587 est divisible par 8 ; car si Ton fait la somme de ses chiffres en passant le chiffre 9 et le couple de chiffres 1 et 8, qui font 9, on trouve 12 qtd est un multiple de 3.

13. — Si l'on divise un nombre par 9 ou par 3, et Que la division ne se fasse pas exactement, on obtient le même reste au*en divisant par 9 on par 3 la somme des chiffres de ce nombre . Car le nombre donné se composant d'un multiple de 9 plus la somme de ses chiffres, le reste, s'il y en a un, ne peut provenir que de la division de fa somme des chiffres. Ainsi 1 578472 divisé par 9 donnerait pour reste 7, car la somme de ses cniffrcs est un multiple de 9 augmenté de 7. Le même nombre, divisé par 3, donnerait pour reste 1, qui est le reste de la division de 7 par 3.

14. C. S. — Tout nombre est divisible par il quand la différence entre la somme de ses chiffrer de rang impair et la somme de ses chiffres de rang pair est nulle ou égale à un multiple tie II.

On remarque d^abord que l'on a :

d'où 10X10— (n-l)XlO = m.ll — 10

ou 100=f?i.U — lH-l = m.ll-|-l

(en désignant par m. 11 un multiple auelconque deU).

Multiplions par 10, nous aurons :

100XlO«(m.ll-hl)X10=m.ll4-10=m.ll — 1

ou ^ 1000 = m.ll--l.

Multiplions encore par 10, il viendra :

1000X10=(m.ll— l)X10=m.ll— 10=m.U— 11-ft

ou 10000 = »i.ll-M.

En continuant ainsi on reconnaît que Tanité suivie d'un nombre impair de zéros équivaut à un multiple de 1 1 diminué de l'unité, et que l'unité suivie d'un nombre pair de zéros équivaut à un multiple de 11 augmenté de Tunité.

Par un raisonnement pareil à celui qui a été fait plus haut à propos de la divisibilité par 9, on en déduit que tout nombre composé d'un chiffre significatif suivi de zéros équivaut à un multiple de 11, augmenté ou diminue de ce chiffk^ si^ificatif suivant que ce chiffre est de rang impair ou pair, à partir de la droite.

Cela posé, soit à considérer le nombre 659 318, on pourra le décomposer de la manière suivante :

50000 a mil -h 5

10 = m.ll — 1

d'où, en faisant la somme:

Ce qui montre que tout nombre est égal à un multiple de 11 augmenté de la tiifférence entre la somme de ses chiffres de rang impair et la somme de ses chiffres de rang pair. Il en résulte que, pour qu'un nombre soit divisible par 11 il suffit q^o

DIVISEURS

— GOi —

DIVISEURS

cette différence soit elle-même on nulle oa divisible par 1 1 .

(Si la somme des chiffres de rang Impair était moindre c^ue la somme des chiffres de rang pair, on pourrait ajouter à la première 11 ou un multiple de 1 1 sans changer la conclusion).

Dans Texemple actuel on voit que 659 SI 8 est dirisible par II, car les deux sommes de chiffres considérées sont toutes deux égales à 16.

IS. G. S. — Si Ton divise par 11 un nombre quelconque, et que la division ne se fasse pas exactement, le reste obtenu est le môme que si l'on divisait par 1 1 la différence entre la somme deb chiffres de rang impair et la somme des chiffres de rang pair (la première de ces deux sommes étant, s'il est nécessaire, augmentée de 1 1 ou d'un multiple de 11). Si, par exemple, on divise par 11 le nombre 659 348, on obtiendra pour reste 8 ; car la somme des chiffres de rang impair 8-4-3+5 est Ifi; la somme des chiffres de rang impair 4 -(-9 -h 6 est 19 ; si Ton augmente la première somme de 11 ce qui donne 27, et qu*on en retranche 19, il reste 8.

Exercice. Parmi les nombres :

reconnaître ceux qui sont divisibles par 2, 8, 4, 5,9, 11 ou 25.