PRSnVB PAR 9 DB LA HULTIPLICATION. — Soît

à multiplier les deux nombres 58 et 34. Le nombre 5') équivaut à un multiple de 9, plus 8 ; et ic sombre 34 équivaut à un multiple de 9 plus 7, si Ton multiplie la première somme par la seconde; le produit se composera évidemment du produit de chacune des deux parties du multiplicande par chacune des deux parties du multiplicateur; c'est- ^ire qu'il contiendra quatre parties, dont trois seront des m\iltiples de 9 ; la quatrième sera le produit des deux restes 8 et 7, c^est- à-dire 56. Or ce nombre équivaut lui-même à un multiple de 9 plus 2. Le r^ste de la division du produit 53 X 34, 00 1 802, par 9 doit donc être égal à 2.

De là cette règle : pour faire la preuve d'une multifUication par 9, on cherche les restes de la division par C du multiplicande et du multiplicateur; on fait le produit de ces deux restes, et Pon cherche le reste de la division de ce produit par 9 \ ce reste doit être le même que celui de la division par 9 du produit des deux nombres donnés.

On ferait de la même manière la preuve de la multiplication par 1 1 .

On peut aussi faire par le même procédé la preuve d'une division, attendu que le dividende, diminué du reste s'il y en a un, est le produit du diviseur par le quotient.

17. es. — Nombres premiers. Tout nombre qui n'est divisible que par lui-même et par l'unité, est ce qu'on appelle un nombre premier; tels sont les nombres V, 3, 5, 7, 11. La considération des nombres premiers a une grande utilité en arithmétique.

Pour reconnaître si un nombre donné est un nombre premier, le moyen naturel est d'essayer la division de ce nombre successivement par 2, para, par 4, par 5, etc., jusqu'à ce qu'on soit parvenu kune division qui donne un quotient plus petit qne le diviseur; si aucune des divisions essayées n'a donné un quotient exact, on peut affirmer que le nombre proposé est premier. Soit, par exemple, le nombre 461 ; en opérant comme il vient d'être dit, on parvient Jusqu'au diviseur 23, qui donne pour quotient 20 et pour reste 1. Le quotient 2o étant moindre que le diviseur 23, on en conclut que 461 est premier. Car si un diviseur plus grand que 23 donnait un quotient exact, ce quotient serait moindre que 2o; mais, d&ns une division

qui se fait exactement, le quotient est contenu un nombre exact de fois dans le dividende ; le nombre 461 admettrait donc un diviseur moindre que 23, ce qui est contraire à l'hypothèse qui a été faite.

Il faut bien remarquer que dans ces essais il n'est nécessaire d'essayer, comme diviseur, que les nombres qui sont premiers. Si l'on a reconnu, par exemple, que 8 n'est pas un diviseur du nombre proposé, il est inutile n'essayer 6 ou tout autre multiple de 3. Car si le nombre proposé se composait d'un nombre exact de fois 6, il se composerait par cela même d'un nombre exact de fois 3, et serait divisible par 8. De même, si 5 ne divise pas le nombre proposé, il est inutile d'essayer comme diviseur un multiple quelconque de 5 ; et ainsi pour tous les nombres premiers.

On peut remarquer encore qu'il résulte de ce qui précède que tout nombre qui n'est pas premier admet au moms un diviseur premier; car si, en opérant comme il vient d'être dit, aucune division ne se faisait exactement, le nombre dont 11 s*ag!t serait premier.

18. es. — La suite des nombres premiers est illimitée ; car si l'on considère un nombre premier quelconque, 11 par exemple, il est facile de démontrer qu'il doit exister un nombre premier plus grand. Considérons, en effet, la somme

qui est évidemment plus grande que 11. On bien cette somme est un nombre premier; ou, si elle admet un diviseur premier, ce diviseur doit être plus grand que U ; car les nombres premiers Jusqu'à 1 1 , divisant la première partie de la somme ci-dessus, sans diviser la seconde qui est 1, ne peuvent diviser la somme. Dans les deux cas, U existe un nombre premier plus grand que 11.

Voici la liste des nombres premiers moindres que 100 :

19. C. S. — Un nombre peut toujours être décomposé en facteurs premiers. Pour cela, on le divise par 2 si cela est possible, puis le quotient par 2, et ainsi de suite jusqu'à ce (ju'on parvienne à un quotient qui ne soit plus divisible par 2. On , épuise alors le diviseur 3 comme on a épuisé le di- ' viseur 2 ; on opère de même pour les diviseurs premiers 5, 7, 11, etc., jusqu'à ce qu'on obtienne pour quotient l'unité. Tous les diviseurs employés sont les facteurs premiers du nombre proposé. S'il s'agit, par exemple, du nombre 2520, on formera comme il suit le tableau des opérations.

en écrivant chaque quotient au-dessous du précé* dent. L'opération montre que l'on a

Exercices. — En appliquant cette méthode on arrivera de même aux résultats suivants :

4851=3«.7«.ll; 24750 = 2.3«.5».ll ;