es. — Un même diviseur peut être corn

DIVISEURS

man à plusiears nombres. Ainsi 15 est nn diviseur commun à 4I> et à 60.

lie plus grand comrmm diviseur de deux nombres est le plus grand nombre qui les divise exactement tous les deux. Supposons que Ton demande le plus grand commun diviseur des deux nombres 621 et 184. On commence par remarquer que le plus grand commun diviseur cherché ne peut pas surpasser le plus petit nombre 18 1 ; mais il pourrait bien lui être égal si celui-ci divisait le plus grand. Essayons donc la division. En divisant 621 par 184 on trouve pour quotient 8 et pour reste 69 ; on en conclut que le plus petit nombre 184 n*est ^as le plus grand commun diviseur cherché. Mais il est aisé de faire voir que ce plus grand commun diviseur est le môme que celui qui existe entre le plus petit 184 des deux nombres donnés et le reste 69 de leur division. En effet, la division effectuée donne l'égaUté

Tout nombre qui divise à la fois 621 et 184, divisant aussi 18i X 3, divise une somme et Tune de ses parties, il faut^qu'il divise Tautre 69. Réciproquement : tout nmnbre qui divise 184 et 69, divisant 184 X 3, divise les deux parties d*une somme, donc il faut qu*il divise la somme 621. II en résulte que« si Ton formait d'une part le tableau do tous les diviseurs communs à 621 et à 184, et de l'autre le tableau de tous les diviseurs communs à 184 et à 69, ces deux tableaux seraient identiques. Donc, le plus grand de ces diviseurs serait le môme dans les deux tableaux. — Ceci démontre que le plus grand commun diviseur de deux nombres est le même que celui qui existe entre le plus petit d'entre eux et le reste de leur division.

La question étant ramenée à chercher le plus grand commun diviseur entre 184 et 69, on devra, d'après les mêmes considérations que ci-dessus, chercher si 69 ne divise pas 184 ; on trouve pour quotient 2 et pour reste 46. On en conclura comme plus haut que le plus grand commun diviseur entre 184 et 69 est le même qu'entre 69 et 46.

Divisant 69 par 46, on trouve pour quotient 1 et pour reste 2;). On divise 46 par 23, ce qui donne

{)our quotient 2 sans reste ; le nombre 23 est donc e plus grand commun diviseur entre 46 et 23, par suite entre 69 et 46, par suite entre 184 et 69, par suite enfin entre les deux nombres donnés 621 et On dispose l'opération comme ci -dessous :

en mettant les quotients au-dessus des diviseurs correspondants pour ne pas ^êner les calculs.

On voit que la rèsle consiste à diviser le plus grand nombre par Te plus petit, celui-ci par le reste de la division, ce premier reste par le second, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on obtienne un reste qui divise exactement le reste précédent ; ce dernier diviseur sera le plus grand commun diviseur cherché.

On trouvera ainsi que

et 175

est

Le plus grand commnn diviseur des numbres....

21. C. S. — On peut remarquer qu'en faisant ces opérations, on parviendra toujours à un reste qui divise exactement le reste précédent ; car les restes allant toujours en diminuant, on finira tou-

jours par le reste 0. Si le reste précédent était l, le plus grand commun diviseur des nombres proposés serait 1, ce qui revient à dire qu'ils n'auraient pas de diviseur commun. On dit dans ce cas que les deux nombres sont premiers entre eux. Âinai 35 et 48 (qui ne sont pas des nombres premiers) sont premiers entre eux.

On peut remarquer encore que tout nombre qui en divise deux autres divise le reste de leur division, et tous les restes successifs obtenus en appliquant la règle pour la recherche du plus grand commun diviseur, et par conséquent le plus grand commun diviseur lui-même qui est le dernier des restes obtenus.

Enfin, il est important de remarquer çiue H tcn multiplie deux nombres par wt troisième^ leur plus grand commun diviseur est multiplié par ce troisième. On sait, en effet, que si Ton multiplie par un même nombre le dividende et le diviseur, dans une division quelconque, le quotient ne change pas, mais le reste se trouve multiplié par ce même nombre. U en résulte que si Ton multiplie deux nombres par un troisième, l'applicatioD du procédé employé dans la recherche du plus grand commun diviseur conduira à des restes successifs qui seront tous multipliés par ce même nombre ; il en sera donc ainsi du plus grand commun diviseur qui est le dernier de ces restes. — Ainsi, les nombres 621 et 184, ayant pour plus grand commun diviseur 23, les nombres 3 105 et 920, qui sont les produits des deux premiers par 5, auront pour plus grand commun diviseur li5 qui est le produit de 28 par 5.

22. C. S. — On peut avoir à chercher le plus grand commun diviseur de trois nombres, par exemple 1440, 960et6U0. Pour cela, on cherchera d^abord le plus grand commun diviseur des deux premiers, qui est 480 ; puis le plus grand commun diviseur de 480 et du troisième nombre 600; on trouvera i20, qui sera le plus grand commnn diviseur des trois nombres donn<^s. Car i* tout nombre qui divise les trois nomlre> donnés divise 480 qui est le plus grand commun diviseur des deu premiers ; divisant 480 et 600, il divise leur plu grand commun diviseur 120. Réciproquement 2*" le nombre qui divise 120 divise 48i> et 6*00 qui en sont des multiples, et par suite 1 440 et 960 qui sont des multiples de 480. Ainsi, en vertu du 2% le nombre 120 est un diviseur commun aux trois nombres donnés ; et U résulte du 1* qu*ils n'en peuvent pas avoir de plus grand, puisqu'il doit diviser 120; donc 120 est bien le plus grand diTlsenr commun des trois nombres donnés.

On verrait de même que pour obtenir le plos grand commun divisour de quatre nombres, il faut chercher le plus grand commun diviseur des trois premiers, puis le plus grand commun diviseur de celui-ci et du quatrième nombre.

Il serait faale d'étendre la même opération i plus de quatre nombres.

Exercices. — On trouve que :

Lepia< craDdides 3 nombres 286, 264 et 110 est 22

ciimmaa di-{— 3 1104, 690 — 4C0 — 46

'^■*"' (— 4 — 340, 510, 595 et 9i5 — 85

23. G. S. — Propriétés des nombres prewxbs ENTRE EUX. — St un t, ombre divise un produit de deux (acteurs et quHl soit premier avec iun d'eux, il divise nécessairement tautre. — Par exemple, le nombre 840 étant le produit des deux facteurs 35 et 24, le nombre 12, (}ui divise le produit et qui est premier avec 35, divise nécessairement 24. En effet, le plus ^and commun diviseur des nombres 12 et 35, qui sont premiers entre eux, est 1; le plus grand commun diviseur des nombres 12 X 2i et 35 X 24 est donc 24. Or 12 dirise évidemment le produit 12 x 2i ; U divise aussi

DIVISEURS

DIVISION

par hypothèse le produit de 85 X 34, on 840; donc il dÎTlse leur plus grand commun diiisear 24.

On déduit de ce principe que tout nombre premier qui divise un produit divise au moins Fun de ses facteurs; et que tout iiùmbre premier qui divise une puissance d'un nombre divise ce nombre.

On en déduit encore que si deux nombres sont premiers entre eux, leurs puissances sont premières entre elle^. Ainsi 8 et 9 étant premiers entre eux, » et 9> le sont aussi ; car, sMls avaient un facteur premier commun, ce facteur divisant une puissance de 8 et une puissance de 9 diviserait 8 et 9 ; ces deux nombres ne seraient donc pas premiers entre eux.

24. C. S. ~ Quand un nombre est divisible par deux autres nombres premiers entre eux, il est divisible par leur produit. — Ainsi 860, qui est diviBible par 8 et par 9, est divisible par 8 fois 9 ou 72. En effet, soit g le quotient de 360 par 8, on aum

Le nombre 9 divisant 360, et éunt premier avec le facteur 8, divise nécessairement Tautre facteur 9; on a donc

en désignant par q* le quotient de q par 9. Par suite» on peut écrire

360 = 8X (9X9')=8X9X9'= (8X9)Xy,

Le nombre 860 est donc divisible par le produit 8X9.

Pour qi^un nombre soit divisible par un autre, il faut et il suffit qu'il contienne tous les facteurs premiers de cet autres affectés des mimes exposants, — Ce principe, évident pour deux facteurs d'après ce qui précède, s'étend sans peine à un nombre quelconque de facteurs.

25. — Un nombre ne peut être décomposé que d'une seule manière en facteurs premiers» — Supposons qu'un nombre aécomposé en ses facteurs premiers ait donné pour résultat

8X5XTXn

et que, décomposé d'une autre manière, il ait dcinné

a X ô X c X rf. .

Of b, c, d représentant des facteurs premiers que nous ne désignons pas ; on devra avoir

Le premier membre étant divisible par 3, il faut que le second le soit, 3 divise donc un des facteurs de ce second membre ; mais ces facteurs sont premiers, il faut donc que 3 soit égal à l'un d'eux. Supposons a » 3; on pourra diviser les dcuxmembres par 3, et il en résultera l'égalité :

Le premier membre étant divisible par S, il en est de même du second ; 5 divise donc un des facteurs de ce second membre; mais ces facteurs sont premiers; il faut donc que 5 soit égal à l'un d'eux. Supposons 6=5; on pourra diviser les deux membres par 5, et on aura l'égalité

En continuant ainsi on verra que tout facteur du premier membre est «5gal à un facteur du second, et que les deux membres sont identiques.

Nous avons supposé, pour plus de clarté, les facteurs premiers différents, mais le môme rai- Bonnement s'appliquerait à des facteurs égaux.

26. «- Quand deux ou plusieurs nombres sont décomposés en leurs facteurs premiers, on peut ' former à vue leur plus grand commun diviseur. Il sufQt pour cela de faire le produit de tous les fadeurs premiers communs a ces nombres^ en affectant e?uieun de son plus petit exposant. Soient donnés, par exemple, le nombre

leur plus grand commun diviseur sera 2*. 5 ou 40. D'abord ce sera un diviseur commun ; et ce sera le plus grand; car on ne pourrait y introduire un facteur do plus sans rendre impossible la division de l'un au moins des nombres donnés par le produit ainsi formé.

On pourra exercer les élèves à trouver par ce procédé le plus grand commun diviseur des nombres

252 — 840 — 2800 ou 660 — 1886 — 1485

ou 2400 — 3600 — 4890

27. — On nomme plus petit multiple commun de plusieurs nombres, le plus petit nombre qui soit divisible par chacun d'eux. — Quand les nombres donnés sont décomposés en leurs facteurs premiers, on forme leur plus petit multiple commun en faisant le produit de tous leurs facteurs premiers, affectés chacun de son plus haut expo^ sant.

Soient donnés comme ci-dessus les nombres

350«»2».8«.5 240=:2*.3.5 500 = 28.5« bur plus petit commun multiple sera 2*.8S.5S ou 3600.

D'abord ce sera un multiple commun des nombres donnés puisqu'il contient tous leurs facteurs; et ce sera le plus petit, car on ne pourrait y supprimer un facteur sans rendre impossible la division de ce nombre par l'un au moins des nombres donnés.

On pourra exercer les élèves à former le plus petit multiple des nombres donnés comme exemple à la fin de l'article précédent. [H. Sonnet.]

DIVISION. — Arithmétique, IX et X. — 1. La division est une opération qui a pour but de partager un nombre donné en auunt de parties égales qiril y a d'unités dans un autre nombre donné. Le nombre à partager s'appelle le dividende: celui qui indique le nombre des parties à obtenir s appelle le diviseur; et le résultat de l'opération, c'est-à-dire Tune des parties demandées, porte le nom de quotient. Si, par exemple, on demande de partager 40 en 5 parties égales, auquel cas chacune des parties demandées sera 8, le nombre 40 sera le dividende^ 5 le diviseur et 8 le quotient. On peut remarquer que si l'on répète l'une dos parties trouvées, autant de fois qu'il y a de parties, on doit obtenir le nombre à partager; ainsi, dans l'exemple d* dessus, 5 fois 8 font bien 40. C'est ce ou on exprime généralement en disant que le dividende est le produit du quotient par le diviseur.

Mais la même opération peut être présentée sous un autre point de vue. Puisque 40 contient 5 parties égales cljacune à 8, et que 5 fois 8 est la même cbose que K fois .S, on peut dire que l'opération a pour but de chercher combien de fois 5 est contenu dans 40, ou, en général combien de fois le diviseur est contenu dans le c^vidende ; le résultat, 8, exprimant ce nombre de fois, s'appelle q"Otient fdu latin quoties, combien de fois). Sous ce point de vue, le dividende est regardé comme le produit du diviseur par le quotient.

Enfin, comme dans ces deux manières d'envisaeer la division, le dividende est un produit dont les

DIVISION

. deux facteurs sont le diviseur et le quotient, on peut dire que la division a pour but, étant donné im produit de deux facteurs, appelé dividende, et Vun de ses facteurs, appelé diviseur, de trouver foutre facteur, appelé quotient.

Ces divers points de vue peuvent être employés tour à tour dans la théorie de la division. (Dans le cours élémentaire on pourra introduire Tidée de division en supposant qu*on ait à partager également entre des écoliers un certain nombre de billes, un certain nombre de noix, eic)

Il n*arrive pas toujours que le dividende contienne un nombre exact de fois le diviseur; le but de l'opération est alors de chercher le plus grand nombre de fois que le diviseur est contenu dans le dividende. Celui-ci n*est plus alors le produit exact du diviseur par le quotient ; mais il est égal à ce produit augmenté d*un certain reste, nécessairement moindre quo le diviseur. Ainsi 43 étant le dividende et 5 le diviseur, le premier nombre contient le second 8 fois, plus un reste, qui est 3 ; et 43 est égal à 5 fois 8 augmenté de 3.

2. — Lorsque le diviseur n'a qu'un chiffre et que le dividende est moindre que 10 fois le diviseur, la table de multiplication fait connaître im médiatement le quotient. Soit, par exemple, à diviser 6i par 7. On suivra, dans la table, la colonne verticale qui commence par 7 ; on n'y trouvera pas le nombre 61^ mais on verra que 61 est compris entre deux multiples consécutifs de 7, savoir 56 et 63. Or 56 est dans la colonne horisontale qui commence par 8 ; c'est donc le produit de 7 par 8. On en conclut que 61 contient 8 fois 7, plus un reste qui est la différence entre 56 et 61, c'est-à-dire 5. Le quotient est donc 8 et le reste 5 ; et le dividende 61 est bien égal au produit du diviseur 7 par le quotient 8, augmenté du reste 3.

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