AB : BC « DE : EF

ce qu'il fallait démontrer.

Remarque , On a aussi la proportion AB : AC=s DE : DF.

18. — Si deux angles ABC,DEF (flg. 9) ont, dans Fespace, leurs côtés parallèles et dirigés dans

Pig.7.

MN et PQ, sont égales. Car si, par les deux parallèles AC et BD on fait passer un plan, il coupera les deux plans MN et PQ suivant deux parallèles AB et CD. La figure ABDC sera donc un parallélogramme, et Ton aura AG=sBD.

Remarque. Le théorème subsiste lorsque les deux parallèles données sont perpendiculaires aux deux plans MN et PQ ; mais alors ces perpendiculaires mesurent la distance des deux plans, puisque toute oblique serait plus longue. On peut donc direoti^ «^ plans parallèles sont partout également ois-

17.— Dettt? droites quelconques ABC,DEF (flç.8) font coupées proportionnellement par trois plans parallèUs MN, PQ,RS. Menons, en effet, Afll parallèle à DEF. En vertu du théorème précédent on aura AH-«DBetHIs£F. Par les deux droites

Fîg. 9.

le même sent, ils sont égaux, et leurs plans sont parallèles.

Prenons BA» ED, BC r= EF ; et Joignons AB, BE, CF, AD, DF. Les droites AB et DE éunt égales et parallèles, la figure ABED est un parallélogramme. Par une raison analogue la figure BCFE est aussi un parallélogramme. Il en résulte AD =^BE= CF. Par conséquent la figure ACFD est aussi un par rallélogramme, et Ton a AC « DF. Dès lors les triangles ABC et DEF étant égaux comme ayant leurs côtés égaux chacun à chacun, il en résulte que les angles ABC et DEF sont égaux.

Les plans de ces angles sont en même temps parallèles. Car s*ils ne Tétaient pas, comme le plan ABC est mené par une droite AB parallèle à DE, il devrait couper le plan DEF suivant une parallèle à AB et par conséquent h DE ; mais comme cû môme plan ABC est mené par une droite BC parallèle à EF, il devrait couper le plan DEF suivant une parallèle à EF. Ces deux conditions étant contradictoires, il s*en suit que le plan ABC ne saurait couper le plan DEF ; donc ces plans sont parallèles.

19. — Soit AO (flg. 10) une droite qui rencontre en O un plan MN. D'un point quelconque A de cette droite, abaissons sur le plan la perpendiculaire AC, et Joignons OC. Cette droite OC est ce qae Ton appelle la projection de la droite OA sur le plan MN.

On peut remarquer d*abord que cette projection

reBte la même quel que soit le jpoint de OA d'où l'on abaisse la perpendiculaire. Car si BD est une seconde perpendiculaire abaissée sur MN d*un point de OA^ les deux perpendiculaires sont parallèles

Fig. 10.

entre elles, et déterminent un plan, qui contient AB et par conséquent le point O ; Fintersection CD de ce plan avec le plan MN passe donc par le point O.

L'angle dune droite et dùn plan est Vangle que fait cette droite avec sa projection S'tr ce ptan. Ainsi Tangle de OA avec le plan MN est Tangle AOC.

Cet angle est plus petit que celui que ferait OA avec une autre droite quelconque 01 menée dans le plan MN par le point O. Car si Ton prend 01 ^ OC et qu'on joigne BI, les deux triangles OBD et OBI auront deux côtés égaux chacun à chacun, savoir OB commun et 01 égal à OC ; mais le troisième côté de Fun, BD, qui est une perpendiculaire à MN, est moindre que le troisième côté de l'autre, Bl, qui est une oblique. Il en résulte que l'angle BOD est moindre que l'angle BOI.

20. — L'anale de detuc plans est le plus ou moim décart de deux plans qui se coupent. On donne à un pareil angle le nom d'angle dièdre (c'est-à-dire a deux faces) ; les deux plans sont les faces du dièdre, et leur intersection est V arête de ce dièdre. La figure 11 montre plusieurs

Fig. 11.

dièdres ayant une arête commune OD. Pour désigner un dièdre on emploie quatre lettres, dont les deux extrêmes sont prises respectivement sur chaque face et les deux intermédiaires sur l'arête. Ainsi le dièdre formé par les deux plans AODE et BODF pourra être désigné par AODB ; celui qui a pour faces BODF et CODG pourra être désigné par BODC; etc.

Pour comparer entre eux les angles dièdres, on leur substitue les angles plans formés par des perpendiculaires élevées dans chaque face par un même point de l'arête. Si, par exemple, OA, OB, OC sont des perpendiculaires à OD, il suffira, pour comparer les deux dièdres que nous venons de nommer, de comparer les angles plans AOB et BOC qui leur correspondent. On démontre, en effet, i

que si Ton prend pour unité d*angle dièdre celui

aui a pour angle plan l'unité d'angle, les angles ièdres sont proportionnels à leurs angles plans. Pour cela on montre d'abord que deux angles dièdres qui ont des angles plans égaux sont super- Sosables: on démontre ensuite que si l'angle pba 'un dièdre contient un certain nombre de fois l'unité d'angle plan, le dièdre contient le même nombre de fois l'unité d'angle dièdre.

Quand l'angle plan est droit, le dièdre prend le nom de dièdre droit, et ses deux faces sont dites perpendiculaires entre elles. Si, par exemple, l'angld A0(; était droit, le dièdre AODC serait aroit aussi, et les faces AODE, CODG de ce dièdre seraient perpendiculaires entre elles.

Deux plans perpendiculaires entre eux sont donc des plans qui forment un dièdre droit; c'est-àdire que SI, par un même point de Tarète, on élève dans cfiaque face une perpendiculaire à cette arête, les deux perpendiculaires ainsi menées forment un angle droit.

21. —Si deux plans Mfi et OP (fig. 12) sontper. pendiculoires entre eux, toute droite AB, menée dans Vun de ces plans perpendiculairement à leur

Fig. 12.

intersection OD, est perpendiculaire à C autre plan. Car si l'on mène dans le plan MN la droite BC pe^ pendiculaire & OD, l'angle ABC sera l'angle plan du dièdre formé par les deux plans, et sera doac droit; ainsi la droite AB, perpendiculaire auxdeu droites OD et BC menées par son pied dans le plu MN, est perpendiculaire & MN.

Corollaires, I. -^ Si par un point B de Finlfrsection on élevait une peipendiculaire au plan MX, elle serait tout entière dai>s le plan OP. Car, si elle différait de BA, on pourrait en un même point d'un plan lui élever deux perpendiculaires, ce qni est impossible.

II. — Si par un point A, pris dans le plan OP, on abaissait une perpendiculaire sur le planWH, elle serait toute entière dans le plan OP. Car si elle différait de AB, on pourrait, par un point pris hors d'un plan, lui mener deux perpenaiculiires, ce qui est impossible .

22. — Tout plan 09 (fig. 12), mené suivant unf droite AB perpendiculaire à un plan MN, est luimême perpendiculaire à ce plan. Car si l'on mène, dans le plan MN, la droite BC perpendiculaire à l'intersection OD, les angles ABC et ABO seront droits, puisque AB est perpendiculaire au plan M\. L'angle ABC sera donc l'angle plan du dièdre formé par les deux plans OP etMN, et puisque cet angle est droit, les deux plans sont perpendiculaires.

Remarques. — On peut énoncer ce théorème en disant que tout }>lan MN perpendiculaire à wte droite Ab située dans un plan OP est perpendieu' laire à ce plan.