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V XbvSB l>*UlfB AIRS lEHMIWfal PAl UN COMTOim

otmien oviLcoffoire. — On peut toujours, par un procédé analogue à celui que représente la figure 5, diiiier li figure en triangles rectangles et en trapèzes rectangulaires dont un seul côté est currilifDe. Et comme le cas du trapèze comprend celui du triangle, puisque c'est celui où l'une des .bases de trapèze s'annolo, tout revient à savoir évaluer TiiR d'an trapèze curviligne tel que celui qui est représenté par la ligure 7.

Ponr y parvMiir, on divise la droite al en parties é^ei assez petites pour que, en élevant par les points de division des jpen;>sndiculaires à a/, on obtienne des arcs AB, BC, etc., que l'on puisse regarder eonune sensiblement rectuignes ; on n'a à Mner alors qa'une somme de trapèzes rectanloUiret. Soit e leur hauteur commune, et désignons par A^ A|, As, . . . , An leurs bases. Ces trapèzes auront successivement pour mesure

-e(An — 1 + hn),

^t la somme peut s'écrire

'•[j-(*f + A*) + Ai+At + V. . + *»-«]»

^^•^■^Fdire qu'i/ faut prendre la demi-somme des ^A<et tdrémeSj y ajouter la somme de toutes les Jtrn ôases, et multiplier le total par la distance ttéeux bases consécutives.

8. On nomme aussi aire la superficie des surfaces courbes (V. Corps ronds). [H. Sonnet.1

AIRES (Comparaison des). — Géométrie, XVU . ^ Les relations que cette comparaison peut mettre en évidence sont en nombre indéfini; mais en n'insiste que sur celles qui sont d'une application continuelle.

1 . Le rapport de deux rectangles est égal au rapport de leurs bases multiplié par le rapport de leurs nauteurs.

Soient, en effet, A, B, H, l'dre, la base et la hauteur d'un rectangle. A', B'^ H' les quantités analogues pour un second rectangle ; on aura (V. Aires [Mesure des]}

A^BXH et A'»B'XH', d'où, en divisant membre à membre, A BXH B ^H

CoBOLLAiMS. — I. Si les hauteurs sont égales^ les rectangles sont entre eux comme leurs bases; si les bases sont égales, les rectangles sont entre eux comme leurs hauteurs.

2. Le rapport de deux paralléharammes est égal au rapport de leurs bases multiplié par le rapport de leurs hauteurs.

Même démonstration et mêmes corollaires qu'au n* I.

3. Le rapport de deux triangles est égal au. rapport de leurs bases multiplié par le rapport de leurs hauteurs.

Môme démonstration et mêmes corollaires qu'au n« 1.

4. Deux triangles qui ont tm angle commun snnt entre eux comme les produits de* côtés qui corn* prennent Fangle commun.

Soient, en effet, ABC et Amn (flg. 1) deux triangles qui ont un angle commun A. Tirons mC. Les deux

Fig. 1.

triangles Amnet AmC, ayant le sommet m commun et leurs bases An et AG sur une môme ligne droite, ont môme hauteur, et sont par conséquent entro eux comme leurs bases. On a donc Amn An AmC " AC* Par une raison semblable, les triangles AmC et ABC, qui ont le sommet C commun, sont entre eux comme leurs bases Am et AB. On a donc AmC __ hni ABC"" AB* Si l'on multiplie membre à membre les deux relations ainsi obtenues, et que l'on supprime le facteur AmC devenu commun aux deux termes du premier membre, il reste

Amn Am X An

ABC — AB X AC' Remarque. — La môme proposition s'applique à deux triangles séparés qui auraient un anêle égal ; car on le rendrait commun en superposant les deux triangles comme dans la figure 1.

5. Deux triangles sanblabies sont entre eux comme les carrés de deux côtés homologues»

AIRES

Soient A et A' les aires de deux triangles, a, 6, c les côtés dn premier, a\ b\ c' les côtés homologaes du second. Les aneles opposés aui côtés homologues a et a' étant égaui, on a, en vertu de la proposition du n* 4 :

Mais les triangles étant semblables ont leurs côtés homologues proportionnels (V. Polygonei, p. 1662);

on peut donc remplacer le rapport ^ par son

égal T7, et il rient

Ce qu'il s'agissait de démontrer.

On aurait de même

r"^ ou p-j,

Remarque. — On peut, au rapport de deux côtés homologues, substituer le rapport de deux hauteurs homologues.

6. Théorème dr Ptthagosb. ~ Dcms un triangle rectangle ABC (flg. 3) le carré de Vhypoténuse équivaut à la somme des carrés des deux côtés de Vangle droit.

Fig. 2.

Abaissons, en effet, du sommet C de Tangle droit la perpendiculaire CD sur Thypoténnse AB.

Le triangle ACD, rectangle en D, a Fanele en A commun arec le triangle total; ces triangles sont donc semblables; et Ton a, en comparant leurs côtés homologues,

ri = TSî tfoù AC' « AD X AB. (1)

Par une raison analogue, le triangle BCD est aussi semblable au triangle total, et Ton a de môme

gj«g, d'où 5?

DB X AB. (î)

Ajoutant membre à membre ces deux égalités, on obtient

iC*4-BiG* « ADXAB+DB X AB = (AD+DB)XAB