FRANÇAISE (LANGUE
' Le diviseur 7 D*étant pas contenu dans 4, on •^uve 0 pour le chiffre aes unités du quotient, et il reste 4. Ces 4 unités valent 40 dixièmes, dont U 7* partie est 5 dixièmes, que l*on peut écrire au quotient, et il reste 6 dixièmes. Ces & dixièmes ▼aient 50 centièmes, dont la 1* partie est 7 centièmes, que i'oa peut écrire au quotient, et il reste 1 centième, qui vaut 10 millièmes, dont la 7* partie est 1 millième, qu*on écrira an quotient, et il restera 3 millièmes, etc. En continuant ainsi on obtiendra au quotient autant de chiffres décimaux qu*oa voudra. Mais Topération ne se terminera pas , et l*on n'obtiendra} oue la valeur approchée de î à 1 dixième, 1 centième , 1 miliièmo près, etc., suivant qu'on aura calculé 1, 2, 3 décimales, etc.
33. C. S. — L'opération ne saurait se terminer ; car les restes étant nécessairement moindres que le diviseur 7, au bout de 7 opérations au plus, on retombera sur un des restes déjà obtenus ; ce reste fournira un dividende partiel déjà obtenu; et, à partir de ce moment les opérations se reproduiront dans le même ordre indéfiniment. Le quotient sera donc illimité, et de plus il sera pértoMque, c'est-à-dire que les chiffres se reproduiront indéfiniment dans le môme ordre. Dans Tcxemplo cidessus, la période se compose des chiffres S714?8.
Si l'on opère de même pour les fractions ^ et ^^ on trouvera
et 0,?96?9629S.
Pour la première, la période est 5t ; pour la seconde c'est 396. Ces fractions sont ce que Ton appelle des fractions pério^iiques.
Mats si l'on opère de même pour les fractions -^^^ et J^, on trouvera
et 0,01297297297.
Ce sont encore des fractions périodiques, mais elles diffèrent des premières en ce que la période, au lieu de commencer immédiatement après la virgule, ne commence que quelques rangs après, en sorte que la première période est précédée de chiffres dits irréguliers^ qui ne font point partie de la périodicité. On dit, dans le premier cas, que la fraction est périodique simple^ et, dans le cas actuel, qu'elle est périodique mixte,
34. C. S. — La théorie complète et rigoureuse des fractions périodiques sort du cadre de l'enseignement primaire. Mais on peut au moins, par des considérations fort simples, obtenir la règle pour résoudre cette ()uestion. Étant donnés une fraction périodique simple ou mixte, trouver la fraction ordinaire qui l'a produite et qu'on appelle sa fraction génératrice.
Constatons d'abord que si Ton réduit en décimales les fractions J, ^, ^igi ®^^ * ^^^^ ^^ dénominateur ne contient que le chiffre 9, on obtient les fractions périodiques
Cela posé, soit donnée d'abord une fraction périodique simple, par exemple
On peut la regarder comme le résultat do la multiplication de 0,001001001.... par 457; elle équivaut donc à 15^.
On verrait de même que 0,787373... équivaut à îf , c'est-à-dire qu'une fraction périodique simple a pour fraction génératrice une fraction dont le numérateur est la période et dont le déiiominatettr
se compose d'autant de 9 çt^îf y « d^ chiffres dan la période.
Soit donnée, en second lieu, une ftvciMm pémdique mixte, par exemple
Transportons la virgule à eauche da la première période, ce qui revient à multiplier la fraction périodique par 100, nous obtiendrons
9yii
62,457457457.... ou 62-4ou, on réduisant l'entier en fraction
Mais , au lieu do 62 X 999 * on peut écrire 62 X 1000 — 6^ ; il vient donc
rî2000 4- 457 — 62 62457 — 6C OU
Et comme co résultat est 100 fois trop fort, puisqu'on a multiplié par lOO, la valeur réelle da la fraction périodique proposée est
On verrait de même que 0,8546454.... éoui-
vaut à —^ — ) d'où l'on peut conclure qu'ioa
fraction périodique mixte a pour fraction génitrice une fraction dont le numérateur est (a di/ffrence entre la partie non périodique suivie de U période et la partie non périodique ^ et don* le dénominateur se compose a autant de 9 qu'il y a de chiffres dans la péHode, suivis d'autant de zéna qu'il y a de chiffres dam la partie mm oeribdique,
35. — On démontre qu'une fraction ordinaire réduite en décimales donne lieu à une fractîos périodique simple lorsque, ramenée à sa plus siai« pie expression , elle ne contient à son dénominaiecr ni le facteur 2 ni le facteur 5 ; et elle donne Iki à une fraction périodique mixte lorsque son dcnûminateur contient les facteurs 2 ou 5 avec d'autm facteurs étrangers à la base 10. Nous ne pouvoni donner ici la démonstration de ce fait, qu'il est facile de vérifier. [H. Sonnet.]
FRANÇAISE (Langue). — Littérature française, L — L*histoire de la langue française est d^renue, de notre temps, une véritable sciencp^ <]i-i souvent s'aide de l'histoire politique, qui parfois aussi J'éclaire et l'explique, mais qui mirmoins a son existence propre et sou domaine particulier.
Ce domaine est même fort étendu. Vhistoire de la langue firauçaise se compose de deux parties : l'une, cht*0'iolog que, comprend son ortgine^ sa /'onno/ion, son aévcloppement;rautre, géogrofàitfue, embrasse l'énumération et rhistoire pariicalière de cliacun de nos dialectes et patois français classés par anciennes provinces.
Cette vaste histoire est loin d*ètre acheTér>; elle se continue, se complète chaque jour. i>a seconde partie surtout présente encore de nonibreuses lacunes. Nous nous contenterons ici d>^• Quisser Vhisloire chronologique de la langue française.
Notre langue se ratuche à la famille des lojh yues indo-européennes, dont voici un Ubleautrès sommaire :
