Construire un polygone semblable à un poly
AIRES
AIRES
gone dorme et qui soit avec lui dans le rapport des nombres p et q.
Soit P Taire dujpolygone donné; X celle du polygone demandé. On deyra avoir
Mais si a est un des côtés du polygone donné et X son homologue dans le polygone demandé, on dcTra ayoir
X sfi
En comparant ces deux égalités, on en déduit
La question est donc ramenée à construire le , côté X d*un carré, qui soit à un carré donné dans le rapport du nombre p au nombre q. G*est le problème ci-dessus.
Une fois le côté x obtenu, on construira sur ce. côté, comme homologue de a, un polygone semblable au polygone donné.
16. Construire un carré équivalent à la somme de deux carrés donnés.
Construisez un triangle rectangle dans lequel les côtés de l'angle droit soient les côtés des deux carrés donnés ; Thypoténuse de ce triangle sera le côté du carré demandé.
17. Étant donnés deux polygones semblables, en construire un troisième qui leur soit semblable et qui soit équivalent à leur somme.
Soient a et a' deux côtés homologues des d:iux polygones donnés et x le côté homologue du polygone demandé. Les aires des polygones semblables étant proportionnelles aux carrés de leurs «■6t6s homologues, si Ton désigne par P et P' les deux polygones donnés et par P'^ le polygone demande, on aura
a» fl»' «« ... a« -h a'* »«
p"F==F'' ^^^ pqrF"==F'
Mais dans cette dernière égalité les dénominateurs sont égaux ; il doit donc en être de môme des numérateurs. Ainsi le problème est ramené à construire le côté X d'un carré équivalent à la somme de deux carrés donnés ; c'est le problème du n* 16. Une fuis le côté X obtenu, on construira sur ce côté, comme homologue de a, un polygone semblable & p.
18. Tracer un cercle équivalent à la somme de deux cercles donnés.
Soient R et R' les rayons des deux cercles donnés, et x le rayon du cercle demandé. On devra avoir
««• » irR» + irR'«, d'où *« = R« -f- R'».
Le rayon demandé est donc l'hypoténuse d*un triangle rectangle dans lequel R et R' sont les dcn\ côtés de 1 angle droit.
10. On pourrait demander de construire un carré éi/uivalent à la différence de deux carrés donnés.
En appelant a et a' les côtés des deux carrés donnés, et x le côté du carré demandé, on devrait avoir
ai = ai — a'i,
ce qui suppose
a> ss a** -t- «*.
La question revient donc à construire un trian-
§le rectangle connaissant l'hypoténuse a et l'un es côtés de l'angle droit a', ce que l'on sait faire. Le 8* côté serait le côté du carre demandé.
Ceci permettrait de résoudre des problèmes analogues a ceux des n*" 16, 17 et 18, dans lesquels
la somme serait remplacée par
une différence.
[H. Sonneu]
Enal de simpUfioatloii^ A l'usage de renseigne, ment primaire. - En considérant un métro carré divisé en 100 décimètres carrés,on voit que le rapport entre les surfaces du décimètre carré et du mètre carré estfjç, pendant que le rapport de lenre côtés est seulement î^. La fraction ^l^ étant le carré de la fraction ^, on peut dire que le rapport des aires des deux carrés est exprimé par le carré du rapport des longueurs de leurs côtés. Cette relation B*appli-
Sie à deux polygones semblables quelconques ; de ce théorème : le rapport de deux polygones semblables est égal au carré du rapport de leurs côtés hoinologueSt ou, ce qui est la morne chose, au rapport des carrés de deux côtés homoiogtses.
Nous le démontrerons : l* pour deux triangles ; 2* pour deux polygones semblables d*an Inombrc quelconque de côtés.
1* Soient deux triangles semblables T' et T, les côtés du plus petit T' étant par exemple les | des côtés homologues du plus grand T, ou comme on dit pour abréger, leur rapport de similitude étant |.
Désignons par b* et b deux côtés homologues pris pour bases oans les deux triangles et par h' et h les hauteurs. Le rapport ^ des hauteurs est égal à I, comme le rapport ^ des bases.
On a pour les aires des deux triangles :
Divisant membre à membre la 1** égalité par la î*, on trouve
T ■" bXh '^ b ^ h' Ou, en remplaçant le rapport ^' par le rapport égalj:
r 6'» r /6'\« f-sr ou Y-^yT)
2* Soient maintenant deux polygones semblables P' et P, ayant un rapport de similitude égal, par exemple, à { ; imaginons qu*on mène les diagonales de deux sommets homologues. Le polygone P' sera décomposé en triangles a, ô', d^.. et le polygone P en autant de triangles a, ô, c... respectivement semblables à ceux de F. D'après le cas précédent chacun des triangles a* ÔV,... sera les {-des triangles a, ô, c... On aura donc
puis b
etc.
Si Ton additionne ces égalités membre à membre, on trouve, en mettant { en facteur commun :
P' = P X ^ ; ou encore p == ;
ce qui démontre le théorème.
Corollaires. — )* Deux polygones réguliers ayant le môme nombre de côtés sont semblaoles. Lo rapport de leurs rayons et celui de leurs apothèmes sont égaux au rapport de leurs côtés ; donc le rapport de leurs aires est égal au carré du rapport des rayons ou du rapport des apothèmes.
2* Deux cercles étant deux fibres semblables, le rapport de leurs aires est aussi égal au rapportées carrés des rayons ou des carrés des diamètres. " On peut le prouver directement. Soient deux cercles C et C, leurs rayons r et r^ ; les aires seront :
C = isr» et C = nr'\ d'où ^ = ^.
ALBIGEOIS
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^^ — !• Si pour faire le dallage d'un
T^mle on emploie des carreaux hexaffones régu- Uerf dont le côté est la moitié de celui de carreaux de aême forme qu'on aTait d*abord adoptés, le Doobre des petits carreaux à employer sera quadruple du nombre des plusçrands*
;* Vn propriétaire oui a le plan de son domaine nu CD faire une eopie qui n^occupe sur le papier qoe h moitié de Fespace couTort par le plan ; comoeot doit-il opérer T
Sait a un eôté quelconque du plan et x le côté koaologue inconnu de la copie. Le rapport entre la fcfke de la copie et celle du plan doit être égal au rtp^ des carrés de ces côtes, et par conséquent fl est exprimé par g.D^un autre côté, il doit aussi lire égal à J.
ODadonc
5=1' ^ot «.=f.(i)
Od peut maintement résoudre la question de deux Buiières : numériquement ou graphiquement.
}ivm&Ufuemefit. — Pour éviter d'aToir un radial ao dénominateur, prenons
X* «^ aulieude x^=^^;
a qui donne, en extrayant la racine carrée,
Aitfi chaque côté de la copie doit ôtre égal à la noiQé du côté correspondant du plan, multiplié par ^,c'est4-dire par 1,414, ou, ce qui revient au oto, doit être égal à 28 fois la 10* partie du côté dn phn, si Ton te borne aux dixièmes.
Graphiquement. — En mettant Texpression (1) lOQi la forme
OD toit que chaque côté de la copie doit être une droite moyenne proportionnelle entre le côté homologae du plan et la moitié de ce côté. Cette conttnietioa est très-facile à effectuer. Sur une droite AB 4gile au côté a et prise pour diamètre on décrit une demi-circonférence ; au centre on élève à ce diamètre un rayon perpendiculaire OC, et la corde AC est le côté cherché.
En suivant cette marche, il faudrait construire ntantdedemi-drconférences qu'il y aurait de côtés. lUis û on observe que le côté cherché AC est Thypotéaute d'un triangle rectangle isocèle dont les cdtéa de rangle droit sont égaux à la moitié du côté dnplan, on pourra simplifier la construction. Pour eeli, on prolongera les côtés OC et OA de Tangle droit AOG; puis, pour trouver le côté de la copie bomologae du 2* côté à du plan, on portera la longœar b avec le compas sur les côtés de Tangle droit à partir dn sommet O. Soient OA' et OC ces tooKneort; la distance A'C sera le f eôté. ALllfiBOlS (Croisade des). — Histoire de
France X. — Vers la fin dn douzième siècle, cette région de la France qu*on appelait avant la révolution le Languedoc, et qui avait Toulouse pour ca- Sitale, présentait un spectacle étonnant pour le reste e la chrétienté. On nV pratiquait presque plus le catholicisme, surtout dans les hautes classes ; les églises restaient désertes, les monastères ne recevaient plus aucun don ; les prêtres étaient méprisés, au point qu'on les insultait souvent et qu'ils n*osaient pas se montrer en public, n ne se voyait rien de semblable ni môme d'approchant dans les autres pays de l'Europe qui croyaient fermement en la relision catholique, respectaient ses prêtres, et les enrichissaient. Quant aux causes de cet état
Particulier au Languedoc, nous ne pouvons, dans état actuel de la science, qu'essayer des conjectures.
Il est certain oue cette région était à cette époque la plus civlhsée de l'Europe. Les troubadours y florissaient. Nulle part on ne faisait aussi bien les vers, et, ce qui vaut sans doute mieux encore, nulle part il n'y avait autant de liberté politique, au moins dans les villes, et autant d'éealité entre les classes. Un grand nombre de dtés, érigées en communes, étaient de petites républiques, fort peu dé- { tendantes de leurs seigneurs. On y exerçait tous es arts de luxe, on y commerçait activement, on s'y amusait aussi, et même les mœurs étaient à quelques égards trop libres ; enfin la bourgeoisie, nche, cultivée, y traitait presque de pair avec la noblesse.
Parmi ces mosurs élégantes et parfois dissolues, des idées nouvelles au si^et de la religion s'étaient manifestées; des sectes avaient pris naissance. L'une d'elles professait des doctrines çui ont beaucoup de rapports avec le protestantisme de l'Ecosse : elle prétendait à faire rerivre les mœurs des premiers cnrétiens, rejetait l'autorité du pape, la hiérarchie ecclésiastique, et considérait les dogmes comme peu importants comparés à la morale. Les partisans de cette secte portent dans l'histoire le nom de vaudou. Une autre secte s'éloignait bien davantase des doctrines orthodoxes. Selon celle-ci» le monde physique n'était pas l'œuvre de Dieu» mais celle d'un mauvais ange. Dieu avait créé les hommes esprits purs, mais le mauvais ange les séduisit et enferma ces esprits dans des corps matériels ; de là le mal* sons ses formes diverses. La terre où les hommes vivent dans la soufnrance et dans le péché est le véritable enfer. Cependant le règne dn mal n'est pas étemel ; les hommes ne sont pas condamnés à vivre indéfiniment damnés : lis remonteront tous auprès de Dieu, les uns plus tôt, les antres plus tard. Pour mériter le salut, il n'y a
au'un moyen : c'est de mépriser le monde et la vie, e renier la nature humaine, de vivre autant que possible comme un esprit pur. On peut par là obtenir à sa mort d'être enlevé de sur cette terre maudite et rari au del. Sinon, on revivra encore dans un corps d'homme, peut-être même dans un corps d'aninîal. Jusqu'à ce que l'expiation soit suffisante aux yeux de Dieu.
Remarquons que la doctrine de cette secte la rattachait au Manichéisme (deux principes, l'un bon, l'autre mauvais), mais que sa morale aboutissait à la mortification, à l'ascétisme, comme la morale catholique elle-même. Les partisans de cette secte s'appelaient eux-mêmes les eatharet (du mot grec, qui sisnifie sur) ; les Français du nord les appelèrent Albigeois, bien qu'ils ne lussent pas plus nombreux dans le pays aloigeois que dans le reste du Languedoc : c'est le nom impropre qui leur est demeuré dans l'histoire.
Il ne parait pas que la masse de la population languedocienne Ait vaadoise ou albigeoise; les partisans décidés des deux sectes formaient partout la minorité ; mais ils étaient bien vus du reste des habitants, qui étaient dégoûtés du catholicisme, ou
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