ALCOOLISME

mateurs d*alcool ; ce qui tient à ce que le cidre que i*on boit presque partout aujourd'hui, en Bretagne et eu Normandie, est fade et indigeste et que les Duveurs de cidre, sous prétexte de le faire passer, — c'est leur propre expression — absorbent pour ainsi dire autant de verres d*eau-de-yie que de pots de cidre. Aussi, contrairement à ce qui a lieu pour le vin, plus la récolte du cidre est abondante, plus on boit d'eau-de-vie.

a Depuis 1839, la consommation de Talcool a augmenté, pour la France entière, de 38 p. 100 ; elle n'a diminué que dans la région du Nord, où elle était déjà très-forte en 1889; elle est restée stationnaire dans l'Est et a augmenté dans, toutes les autres régions.

a Dans la plupart des départements où la consommation de l'alcool a diminué ou est restée stationnaire, il y a lieu de l'attribuer surtout à l'augmentation de la consommation du vin, la seule boisson qui paraisse, avec la bière, pouvoir lutter contre renvahissement des alcools d'industrie.

« Quand on étudieavec une certaine attention, en effet, à ce point de vue spécial, les départements où la culture de la vigne est toujours restée dans des limites fort restreintes, — le Morbihan, l'IUett-Vilaine, la Majrenne» la Sarthe, l'Eure-et-Loir, la f eine-et-Oise, l'Oise, l'Aisne, les Ardennes, — et qui forment une ligne non interrompue de l'ouest à lest, on est frappé de ce fait que dans tons ces départements les superficies plantées en vigne ont diminué depuis 1840 et que c'est surtout dans ces départements que la consommation de l'alcool a augmenté. »(D'Lunier.)

I«eotiurM recommandées. — Vabus des liqueurs fortes par le D' Bouchardat, dans les Entretiens populatt*es de l'Association polytechnique, 2" série. De l'alcoolisme, des diverses formes du délire alcoolique et de leur traitement, par le D' Magnan.

ALCOOLISME. — Hydène, XII. ^ — (Étym, Mot de création récente désignant l'ensemble des maladies et des vices qui résultent de l'excès des boissons alcooliques.)

Effets physiologiques db l*alcoolisme. — Le docteur Magnan, dont le nom est attaché à l'étude scientifique de l'alcoolisme, a rendu sensibles par suite d'expériences sur les animaux les ravages qu'exerce l'alcoolisme dans le corps humain. (V. cidessous une saisissante description de l'état du chien empoisonné graduellement par l'alcool.)

Chez l'homme, les phénomènes sont plus complexes et plus graves encore. L'ivresse débute d'abord par une période de surexcitation factice, qui fait oublier les chagrins, qui semble stimuler les facultés intellectuelles, mais qui est bientôt suivie au contraire d'une perturbation mentale. Les idées deviennent confuses ; l'ouïe et la vue sont sujettes à des illusions nombreuses ; l'odorat et le goût sont pervertis, et la sensibilité générale tellement omoussée que les mutilations les plus graves ne sont pas senties. Les individus en état d'ivresse se font les blessures les plus graves, dont ils ne s'aperçoivent aue lorsqu'ils sont dégrisés. C'est une grande erreur de croire que les liqueurs alcooliques réchaufl^ent; elles abaissent au contraire la température du corps, qui dès lors ne peut plus lutter contre le froid extérieur: de là les fluxions de poitrine auxquelles les ivrognes sont sujets.

Quand, au lieu d'être une exception, l'ivresse devient une habitude, à ces accidents passagers succèdent des symptômes persistants : l'ivrogne devient irritable et inquiet, il perd le sommeil et l'appétit, il devient le iouet d'hallucinations, qui le poursuivent d*abord la nuit, puis Jour et nuit; il assiste à sa propre ruine. Il sent son intelligence décroître, sa mémoire disparaître, sa volonté s'affaisser, il n'a plus la force de résister à la passion qui le tue ; le spectacle môme de sa honte, de

la misère et du désespoir où il plonge sa famille n'a plus le pouvoir de 1 arrêter ; finalement il tombe dans le déhre, de là dans la démence, et aboutit à la paralysie générale, digne fin de cette misérable existence.

Il est douloureux, mais malheureusement Décessaire d'ajouter que l'ivrogne ne s'empoisonne pas seulement lui-même : il lègue à ses enfants le triste héritage : le fils d'un invétéré buveur est souvent un buveur plus acharné encore, un idiot ou un épileptique.

Progrés de l'alcoolisme, — De nos Jours l'alcoolisme est, pour de nombreux motifs, plus redoutable qu'il ne la Jamais été. Les anciens aussi s'eni vraient sans doute ; mais d'abord ils ne s'enivraient

Sue de vin, puisqu'ils ne connaissaient pas l'eane-vie ; et de plus ils se livraient une partie de la loumée à des exercices violents, la lutte, la course, la palestre et d'autres Jeux gymnasUques, ce qui leur permettait d'absorber Impunément une quantité de boissons qui serait fatale de nos Jours à de» gens enfermés dans un atelier, un magasin ou un urean. L'eau-de-vie même fut pendant longtemps inofl^ensive en comparaison de ce qu'elle est aujourd'hui. Il est vrai qu'elle a du xv* au xvm« siècle, mille fois plus que les armes, contribué à détruire les races indigènes des deux Amériques et de TOcéanie ; mais, du moins en Europe, elle n'exerçait pas de ravages aussi considérables. Aujourd'hui, par un double et fatal mouvement en sens inverse, la consonmiation s'accroît autant que la qualité diminue. Plus s'aggravent les impôts qui pèsent sur l'alcool, plus la fabrication s'ingénie à produire à bas prix des alcools malsains : l'eau-de-vie de blé, d'orge, de betterave, de cidre, de pomme de terre, et en un mot les alcools d'industrie et les liqueurs frelatées do toute sorte, remplacent peu à peu l'eau-de-vie saine qui devient d'un prix trop élevé, n est facile de comprendre que les effets en soient infiniment plus pernicieux pour la santé publique.

Et il n'est pas étonnant que ces progrès effrayants de l'alcoolisme soient une des questions qui préoccupent le plus les hygiénistes et les économistes. La loi pour la répression de l'ivresse publique votée le 3 février 1873, et due surtout aux efforts de MM. Desjardins, Laboulaye et D' Roussel, est une des premières mesures prises pour arrêter le développement du mal. Une autre mesure salutaire serait de diminuer le plus possible les impôts sur le vin : les populations boivent d'autant moins de mauvais alcools qu'elles peuvent boire plus de vin naturel.

Enfin, les économistes et les philanthropes s'accordent à conclure que le plus lent peut-être, mais le plus efficace de tous les moyens pour arrêter le fléau de l'alcoolisme, c'est la diffusion de l'instruction élémentaire, de l'éducation morale ; pour défendre l'homme contre lui-même, il n'y a rien de mieux que sa conscience et sa raison.

fAdr. Desprez.] Diotèes. — Effets de l'bao-db-vib sub les animaux. — « Pour constater les effets de l'alcool sur l'organisme, J'entrepris de mêler aux aliments d'un chien une petite quantité d'alcool et d'observer les phénomènes qui se produisaient. Cette expérience, répétée un grand nombre de fois sur des sujets d'âge, de Uille et d'espèce différentes, donnent toujours les mêmes résultats. Le premier Jour, l'animal, légèrement excité, saute. Jappe, caresse, court, va et vient en tous sens ; puis assez rapidement il se montre comme hébété, u tombe dans un eut de demi-torpeur ; son corps se refroidit, la circulation diminue d'activité; bientôt la paralysie s'empare du train postérieur et va peu à peu en envahissant tous les membres. Dès le quinzième Jour de cet empoisonnement à petite dose, il survient une susceptibilité nerYeuse,une impressionabilité remarqua-

ALEXANDRE

Mes. L*antaiil eslinqaiet, triste ; il écoute, il se tient au içnets, le moindre bruit le fait tressaillir ; il ne répond plus aux caresses, s^éloigne, se cache, cherche i mordre dès qa'on yeut le saisir. Vers la fin da premier mois anirent les illusions et les hallu- GBtsioQs, oui se transforment en Téritable délire. Atvc le délire, on Yoit apparaître dès le second mnsui tremblement, qui, d*abord localisé dans les pittef, se généralise peu iî peu, gagne les muscles do XTVoe et de la tète, et 1 on crée ainsi à Yolonté ce tenible accès de delirium tremens que Thomme, hélas! se craint pas de donner à lui-même. Ce sont U Ifs troubles de intelligence et du mouvement ; miîs sTec eux se produisent des lésions graves des ceotres Derveuz, des organes digestifs, des appareils drcolatoires et respiratoires : le poison s^est ri^ndu partout, et partout il a laissé des traces de «<» passage.

■ La même expérience, faite avec Tabsinthe au lieu d'alcool, donne des résultats plus effrayants encore et plus rapides. Au bout ae très-pou de Jours, ranimai est sausi de secousses musculaires et de Tertiges épileptiques. Vingt centigrammes d*e5scnce d'absinthe injectés dans les veines d'un chien produisent instantanément do véritables accès d*épikpsie. » (D* Magnan.)

iLEXASDRE— Histoire générale, IX. — Né à PelU (Macédoine) en 356 avant J.-G., mort à Babfioae en 323.

Le nom d* Alexandre est un de ceux oui ont tra- Tsrsé les âges avec le plus d'éclat, un ae ceux çui oct laissé une trace ineffaçable dans l'imagination des peTtples. Aussi est-ce un des plus rares chapitres d'histoire ancienne qui aient leur place marquée daos le cadre des études primaires. Nous Doos efforçons d'en tracer ci-dessous l'esquisse méthodkpie.

1. Enfuioe d'Alexandre. — L'onfance d'Alexandre, comme celle de tous les grands hommes de rntiqmté, a été entourée de légendes : c'est la krmi naturelle de l'admiration populaire pour les persomnges qui passent la mesure commune. Il éuit né U même nuit où un fou vaniteux, nommé &ostrate, brûla le temple de Diane à Ephèse, une des mcnreiUes de l'art antique, uniquement pour fiire parler de lui.

Bucéphale, — n nV a rien d'invraisemblable à admettre que, tout enfant, il donna des marques de ce caractère ardent, de cette vive intelligence, de ee courage impétueux et tenace tout ensemble, qui deralent le mener si loin. La légende nous le montre tout Jeune, domptant un Jour, à la stupéfaction de tous, un magnifique cheval sauvage que nul GiTaitpumonter: son père lui en fit cadeau; c'est, diwm, ce même cheval, nommé Bucéphale, qui le porta plus tard de victoire en victoire Jusqu'aux extrémités du monde.

EdueaiiM éTAlexondre. -— Ce qui est plus autbemiqoe, c'est que son père Philippe, roi de Macédoine, ne négligea rien pour lui faire donner 1 édaation convenable à un prince qu'on veut préparer au plus grandes destinées. Il lui donna pour précepteur non pas seulement le plus savant des maîtres, mais un homme de génie, le premier peufêv du monde antique, Aristote. (Sur cette éducation, V. rutide Aristote dans la I'* Partie du Dictionnaire.)

Vingt anecdotes ont trait à l'insatiable soif de gloire aae U nature, aidée peut-être par cette éducation, loi hispha dès l'enfance (V. Anecdotes dans l»l-PaTiE.)

LPraniAres années de son règne. — Alexandre "Kcéda,en336 avant J.-G.,à son père Philippe. Il nût ^ ans quand il devint roi, 33 ans quand il

°»wnt. Son règne n'a donc duré que 13 années ;

°^ ces 13 années sont pleines de grands événe-

œnta.

Etat dt la Macédoine à la mort de Philippe. —

Philippe avait fait de la Macédoine, naguère barbare, un Etat puissant. Il lui avait donné une organisation militaire incomparable, des revenus réguliers, des frontières sûres, enfin une double suprématie, d'une part sur les barbares de la Thrace et du Danube qu'il avait asservis par la force, de l'autre sur la Grèce, que, malgré l'éloquence de Démosthènes, il avait réduite à l'obéissance par son habile politique.

Cependant cette conquète,toute fraîche encore,n'était pas affermie. A la mort de Philippe, Grecs et Barbares se soulevèrent à la fois. Silo prince de vinst ans qui lui succédait eût été faible ou médiocre, l'œuvre de Philippe périssait. Alexandre fit face à tout. En moins de deux années, les peuples barbares, Triballes au nord, Illvriens à l'ouest, avaient été domptés ; au sud, Thèbes avait été enlevée d'assaut, et la Grèce, deux fois parcourue par les armes victorieuses d'Alexandre, acceptait sa domination. La promptitude merveilleuse avec laquelle il s'était transporté du centre de la Grèce Jusqu'au nord de la Thrace pour revenir ensuite devant Thèbes révoltée, son apparition subite partout où était le danger, la vigueur et la précision des mouvements qu'exécutait la masse imposante de la fameuse/>Aaton^e macédonienne, véritable forteresse vivante forma de 16 000 hommes et appuyée de corps spéciaux, d'archers et de cavaliers, le succès d'opérations militaires surprenantes pour le temps, comme le passage du Danube, préparé avec une prudence minutieuse, et accompli sous les yeux d'une armée barbare impuissante à l'empêcher : il n'en fallait pas davantage pour frapper les espri|B d'étonnement. Les défauts mêmes du Jeune vainqueur tournaient au profit de son ambition. Violent et emporté, il assouvit sur Thèbes toutes ses colères. La malheureuse cité fut rasée, ses habitants furent vendus à l'encan. Il terrifiait la Grèce par cet exemple effrayant. Avide de gloire, affamé de louanges, il ménagea au contraire Athènes, la ville des lettres et des arts, la grande dispensatrice de la renommée. Il se donnait ainsi, après les bénéfices de la rigueur, le mérite de la clémence.

3. Xbqpèdition d'Alexandre contre la Perse. — Projets de Philifype et ses motifs politiques, — Au moment où la mort l'avait frappé, Philippe méditait un grand projet, la guerre contre la Perse. Rien n'était mieux conçu pour établir la domination macédonienne en Grèce, pour détourner les esprits du regret de l'indépendance perdue. En réveillant le souvenir des guerres médianes, on développait une sorte de patriotisme hellénique oui imposait silence, au nom de l'intérêt général, aux ressentiments et aux intérêts particuliers des cités. On légitimait les empiétements de la Macédoine, on répondait par des services éclatants aux imputations de Démosthènes et de ses amis, qui repro« chaient à Philippe et à Alexandre d*être des étrangers et non des Grecs ; on faisait oublier l'asservissement à force de gloire.

Alexandre reprend ce projet, — Alexandre semble avoir pris au sérieux le rôle de vengeur de la cause grecque qu'il s'était attribué. Par une sorte d'illusion littéraire, il s'exaltait au souvenir de la guerre de Troie, relisait les exploits des héros d'Homère, célébrait des Jeux guerriers sur l'emplacement présumé de leur tombeau.

Difficultés et chances de succès de ^entreprise. — Au premier abord, on devait trouver téméraire l'idée d'une agression contre le colossal empire

{>erse. Quelle disproportion entre ce petit Etat de a Macédoine, même traînant après elle la Grèce à peine soumise, et l'immense royaume qui compre* nait tous les pays formant aujourd'hui la Turquie d'Asie, la Perse, le Turkestan, l'Afghanistan et le Béloutchisun (les montrer sur la carte d'Asie ou sur la Mappemonde).

Mais cette grandeur de la Perse éUit plus appa-

ALEXANDRE

rente que réelle. Lexpédition des Dix-Mille (V. Grèce) avait déjà révélé les faiblesses de la Perse : la plupart des provinces à peine soumises, les satrapes ou gouverneurs toujours prêts à se révolter, la cour du grand roi énervée par la dépravation et la discorde. Depuis Xerxès fusqu*au souverain qui régnait alors, le Jeune Dartits Codoman, presque tous les rois de Perse étaient morts assassinés. L'armée perso était innombrable ; mais, si l'on excepte les mercenaires grecs qui y prenaient du service, elle comptait peu de bonnes troupes ; c'était moins une armée qu'une multitude confuse et incohérente.

Si la Perse avait pour elle sa masse énorme, la Macédoine avait Tunité de son gouvernement. Texcellente organisation de ses forces militaires. La partie était à peu près égale. Le génie d'Alexandre devait décider les résultats.

Départ d'Alexandre. — Laissant en Europe son lieutenant Antipater, chargé, avec 1500 cavaliers et 12 000 fantassins, de ganier la Macédoine et de contenir la Grèce, Alexandre franchit THellespont. L'armée qu'il passa en revue sur le rivage asiatique montait à environ 36 000 hommes, dont 30 000 pour l'infanterie et 500f» pour la cavalerie.

PloTis de défense du Rhodien Memnon. — Les Perses n'avaient qu'un général capable de tenir tête à Alexandre, et ils ne l'écoutèrent pas. C'était Memnon le Rhodien. Il proposa de défendre le passage du détroit, les satrapes ne le voulurent pas. Il proposa ensuite d'éviter la bataille et de reculer sans cesse devant les Macédoniens en ravageant le pays pour faire le vide autour d'eux. Les satrapes aimèrent mieux livrer bataille.

Première victoire: bataille duGranique (334). — Ltos satrapes rangèrent leur armée sur la rive droite du Granique, petite rivière qui se Jette directement dans la Propontide (mer de Marmara). Alexandre les attaqua résolument, défit leur cavalerie qui lui disputait le passage et tomba sur leur infanterie avant qu'elle eût pu se mettre en mouvement. Le combat avait été très-vif sur quelques points, Alexandre y courut de graves dangers et dut la vie à son lieutenant Qitus.

La victoire du Granique livrait aux Macédoniens l'Asie Mineure : Sardes, Ephèse, et d'autres grandes villes ouvrirent leurs portes. Celle de Milet fût

Êrise d'assaut; pour Ilalicamasse, défendue par lemnon et par l'exilé athénien Ephialtès, il fallut un siéçe en règle.

Projets et mort de Memnon le Rhodien, — Au milieu même de ce succès, la fortune d'Alexandre courut le plus grave danger. Memnon le Rhodien avait conçu et fait adopter un projet aussi habile aue hardi. Il voulait laisser Alexandre s'enfoncer dans l'Asie, couper toutes ses communications avec l'Europe, profiter de son absence pour aller soulever la Grèce et porter la guerre en Macédoine. Les Perses possédaient une flotte nombreuse, les Macédoniens n'avaient qu'un petit nombre de vaisseaux, qu'il était facile de leur enlever. Il n'était pas moins facile de soulever la Grèce en y envoyapt une armée composée des mercenaires grecs d'Asie Mineure. Memnon avait déjà commencé cette contre^xpédition, quand il mourut devant l'Ile de Lesbos, dont il attaquait la capiule, Mhylène. Ses successeurs incapables n'osèrent continuer l'entreprise ; ils débarquèrent sur le continent les soldats n Memnon voulait mener en Grèce. Alexandre t sauvé.

Mais la tentative de Memnon lui servit d'avertisment. Il comprit qu'avant de s'aventurer dans les

Srofondeurs de l'empire perse, il lui fallait tout 'abord s'assurer des côtes ; il n*avancera plus qu'après avoir assuré ses communications par la conc^uête des provinces maritimes, la Cilicie, la Syrie, la Palestine, surtout la Phénicie et l'Egypte.

Seconde victoire: bataille d'Issus (333). — Cependant Darius s'apprêtait à tenter en personne les chances d'une bataille. Des levées avaient été faUes dans tout l'empire, une armée que les historiens évaluent à 000000 hommes avait été rassemblée. C'était une immense agglomération d'hommes, dans le genre de celle que Xerxès avait autrefois Jetée sur la Grèce.

Pour aller de la Cilicie où était Alexandre da/19 la Syrie où était Darius, il faut suivre Tétroit es-

f>ace que resserrent d'un côté le golfe dlssus, de 'autre le mont Amanus. Ce passage, qu'on appelle les Portes de Syrie ^ aurait pu être facilement défendu. Darius aima mieux attendre son adversaire dans la plahie. Alexandre fut retenu quelque temps à terre par une maladie qui le mit en cfanger. Il s'était jeté tout en sueur dans un fleuve aux eaux très-froides, le Cydnus.

Dès ou'il fut rétabli, il attaqua Tarmée perse, rangée oans la plaine d'Issus au delà d'une petite rivière. L'étroit espace où l'on allût combattre enlevait aux troupes de Darius Tavantage que leur donnait leur grand nombre et faisait de leur multitude même une cause d'embarras et de confn>ion. Alexandre attaqua vivement, selon son habitude. Il enfonça l'aile gauche de l'ennemi. Darius, qui se trouvait un peu en arrière de sa première h^ii'^. fut saisi d'une terreur panioue, se Jeta k bas de son char et prit la fuite, entraînant après lui la plus grande partie de ses soldats, laissant les autres sans commandement. Cependant le centre, oii étaient les mercenaires grecs, et la droite, où éuit le gros de la cavalerie perse, résistaient avec énergie. Alexandre se rabattit sur les mercenaires grecs, les chargea en flanc et les écrasa. La cavalerie perse, qui avait franchi la rivière et qi\l dut la repasser sous les yeux de l'ennemi, fut presque détruite. La poursuite fut vivement menée : elle coûta à l'armée plus de monde que la bataille même. Un butin immense trouvé dans le canip de Darius, sa mère, sa sœur, sa fournie et ses enfants, qu'il avait amenés avec lui pour être témoins de son triomphe, restèrent aux mains d'Alexandre.

Conséqtiences de la victoire (tissus: soumission de la Pninicie; siège de Tyr. — Cette victoire donnait aux Macédoniens un prestige qui doublait leur force. L'immense armée perse n'existait plus. Rien n'arrêtait la marche du conquérant. H pénétra immédiatement en Phénicie. La possession de la Phénicie avait une grande importance. C'était dans ses chantiers que se construisait le matériel, dans sa population que se recrutaient les équipages de la flotte perse. Les Phéniciens passèrent presque tous sans résistance sous la domination d'Alexandre. Seule la grande ville de Tjnr résista. Située sur un Ilot entouré de tous côtés par la mer qui lui faisait un vaste fossé, protégée par de hautes murailles, défendue par une population énergique et nombreuse, elle crut pouvoir braver le vainqueur d'Issus. Alexandre l'attaqua. Les Tyriens se défendirent avec la plus grande énergie et pendant sept mois retinrent devant leurs remparts l'armée macédonienne. A la fin la place bloquée, du côté de la terre au moyen d'une digue immense dont Alexandre avait dirigé la construction, du c6i6 de la mer au moyen des vaisseaux qu'avaient fournis au conquérant les cités phéniciennes et les rois de Cjrpre, mt enfin enlevée d'assaut. Presque tous les citoyens périrent en combattant; les femmes et les enfants rarent ven dus comme esclaves.

Conquête de la Palestine, — Rejetant les propositions de Darius qui lui offrait, avec 10000 ulents comme ran;;on des siens, la main de sa fille et la cession de tout le pays compris entre la mer Egée et l'Euphrate, Alexandre reprit sa marche vers le sud de Tyr Jusqu'à la frontière d'Egvpte ; la ville de Gaxa fut la seule oui résista. Les Juifs envoyèrent des présents à Alexandre; suivant une

ALEXANDRE

légende, le héros macédonien eendt allé faire une visite ao temple de Jérusalem. Il était dans le caractère d'Alexandre de ménager les mœurs et les cvnances des peuples soumis ou vaincus, et il est po«%Ude ^*il soit allé au temple de Jérusalem, comme il alla plus tard au temple d^Ammon.

Cdynjyéie de tSgypte; fondation d'Alexandrie. — Vteypte encore frémissante de ses révoltes contre les Perses , n'était pss disposée à se battre en ieor faveur. Elle accepta sans résistance la e(>ry)uète macédonienne. Alexandre passa cinq mois en Egypte. Il y fonda la ville qui porte son nom. Sans déBte. Alexandrie n'eut pas dès lors l'importance cvnsidérable qu'elle acquit plus tard. Mais sa posiii'^a, admirablement choisie, la destinait à un grand iTeoir. La petite lie de Pfaaros lui permettait d'établb deux ports excellents et d'attirer le commerce maritime; le lac Maréotis et les canaux du Nil facJIcaient les relations avec l'intérieur de l'Egypte. L^s historiens s'accordent à louai- la fondation d Alexandrie, mais beaucoup désapprouvent la visite d'Alexandre au temple d'Ammon et surtout Forgueli insensé avec lequel» prenant à la lettre les réponses complaisantes de l'oracle, il se proclama le fils de Jupiter.

Alexandre M'engage dan$ f intérieur de l'Asie. — Dq plan qu'avait formé Alexandre la première partie était réalisée. Depuis le Pont-Euxin Jus^ qo'atix bouches du Nil, l'ancien littoral de l'empire p^rse était conquis. On pouvait dès lors s'engacer dans rintérieur de l'Asie (331). L'armée macédo- Lieane se mit en marche, franchit TEuphrate au gné de Thapsaque, puis le Tigre près de l'emplacement de l'ancienne Ninive.

Troisième victoire; batailles et Ar belles (381). ^ D4rius, voyant ses propositions repoussées, avait invaillé à se refaire une armée. Une foule énorme d" soldats, ramassés dans les provinces orienul^^s de l'empire, fut dirigée vers les plaines du Tizre. D'après des évaluations sans doute exagérétrs, l'armée perse comptait 1000000 de fantassins et 40006 cavaliers. Darius devait pourtant sa- Tct? par expérience ce que valaient ces immenses aiTiititudes. Il déplova ses troupes dans la vaste pUine de GaugameUi, située entre le Tigre et la nHe d'Arbelles, oui a donné son nom à la bataille. Alexandre avait 40000 lanUssins et 7000 chelaQx : comme à l'ordinaire, il plaça au centre la pha- !an^, la cavalerie et les troupes légères sur les ailes. Mais il eut soin, en raison du grand nombre d-6 ennemis, de disposer en arrière un corps de résenre. Pendant qu à la droite, Alexandre, après aïoir battu la cavalerie bactrienne et scjrthe, mettait en déroute les corps d'élite serrés autour de birios, au centre un parti de. cavalerie ennemi profitait d'un vide qui s était produit dans la ligne inacédonienne. La réserve accourut et chargea ces assaillants, qui furent défaiu. A l'aile gauche, Parménion (ut aussi vainqueur. Tous les corps de Tannée perse se confondirent, comme après Issus, àans une immense déroute. Cétait la dernière fois r\xkf* Darius pouvait affronter , dans une bataille ranzée, son formidable adversaire (331).

i^uife de la marche tt Alexandre, conquête de la Pttte et de la Médie. ^ Alexandre entre sans résistance dans Babylone, puis dans Suse, les deux tins grandes villes de l'Empire Perse ; puis dans i capitale Persépolis, ou'il incendie, en représailles des dévastations au même genre autrefois commises par Xerxès en Grèce . Darius s'était retiré dans la Médie, à Ecbatane. A l'approche des Micédoniens, il reprit sa fuite vers Test. Alexandre le soirit à marches forcées ; mais il ne put l'atteiodre. A Rhagae (ville située en Médie) il apprit qo" Bessus, satrape ae la Bactriane, et les autres K%.)éraat avaient enlevé le commandement à Darius et le traînaient avec eux, chargé de chaînes, Boins comme un roi que comme une victime.

Quelques Jours après, Tavant-garde macédonienne trouvait le grand roi mourant sur la route, où l'avaient abandonné , après l'avoir percé de coups, ses lieutenants révoltés (330.)

Poursuite de Bessus. —Alexandre poursuivit Bessus avec plus d'acharnement peut-être qu'il n'en avait mis à atteindre Darius. Ce rôle de vengeur d'un ancien ennemi avait un air de grandeur qui flattait son orgueil. Il importait d'ailleurs do ne pas laisser aux satrapes le temps de se refaire et d'organiser la résistance dans les provinces de l'empire.

Laissant à peine respirer ses soldats, 11 reprit sa course vers l'est, soumit en passant toutes les provinces qui correspondent au Hérat et à l'Afghanistan actuels, entre autres la Bactriane, et atteignit enfin Bessus an fond de la Sogdiane (grande Boukharie). Alexandre le livra aux parents de Darius, qui le firent périr dans les supplices.

Crimes d'Alexandre. — Cette partie de l'histoire d'Alexandre est illustrée par des actions d*éclat : marches hardies à travers des pays inconnus, en« lèvement de positions considérées comme imprenable» ; on regrette d'y trouver des supplices et des assassinats. Philotas, fils de Parménion et chef lui-mèn)e de la cavalerie d'élite des Compagnons^ fut accusé de conspiration contre la vie du roi, torturé et mis à mort. Parménion lui-même, sans défiance dans son commandement d'Ectabane, fut poignardé par un messager d'Alexandre. Quelque temps après, h Maracanda (Samarcande), un autre vétéran de Philippe, Clitus, qui avait au Granique sauvé la vie à Alexandre, fut tué dans un banquet de la main même du roi. Enfin un des rhéteurs grecs qui suivaient l'armée, CSallisthène, connu pour la liberté quelquefois agressive de ses propos, fut impliqué dans une conspiration, torturé et nendu.

Ces actes révèlent une violence de caractère impossible à réfréner, un orgueil que les moindres atteintes faisaient tourner en cruauté. Sann les excuser, il faut remarquer cependant qu'Alexandre frappa surtout des adversaires de sa politique. Parménion, Philotas et Clitus reorésentaient Tandenne armée de Philippe, Caliistnène la tradition de l'esprit grec, railleur et indiscipliné. Tous cri tiquaient hautement les innovations de leur jeune chef. Alexandre pensait par exemple «qu'il fallait imposer aux populations orientales par le déploiement d'im luxe inoui et par le prestige d'une origine surnaturelle. Il pensait aussi que, pour donner auolque solidité à sa conquête, il était nécessaire 'opérer entre les Grecs et les Asiatiques un rapprochement et même une fusion. On le voyait revêtir le costume et déployer la pompe des anciens rois de Perse ; des troupes du pays étaient enrôlées diuis son armée et chargées même de veiller sur sa personne, il engageait ses officiers et ses soldats à épouser des femmes indigènes et lui-même leur donnait l'exemple. C'étaient donc à la fois ses passions personnelles et ses combinaisons politiques qm le poussaient à ces violences.

Conauite de l'Inde. •— L'armée macédonienne était allée Jusqu'aux extrêmes limites de l'empire perse. On était parvenu aux confins de l'Inde. Alexandre n'hésita pas à pousser encore en avant sa marche. Il passa l'Indus, reçut .la soumission dun des rois du pays, Taxile. Sur les bords de THydaspe (Jelum actuel) il trouva rangée en bataille 1 armée d'un roi moins accommodant, nommé Porus. Malgré leurs éléphants et la bravoure personnelle de leur chef, les Indiens furent complètement battus. Porus ne dut la vie qu'à la capricieuse clémence de son vainqueur.

Alexandre s'apprêtait à franchir l'Hvphase (Sutledge)pour marcher vers le Gange. Mais ses soldats, épuisés de fati^e, effravés par la perspective d'une expédition dont le terme reculait

ALEXANDRE

ALGÈBRE

toujours devant eux, reftisèrent d'aller plus loin. Âleiandre se décida à céder et donna l'ordre du retour (326).

Retour dt Alexandre. — Il Youlut au moins profiter de cette retraite qu*on lui imposait pour s'affermir dans ses conquêtes et en préparer de nouvelles. Il choisit une route absolument différente de celle par où il était venu. Une flotte de 2000 naTires ou bateaux fut réunie sur THydaspe. Alexandre lui-même s'y embarqua, pendant (|ue ses lieutenants longeaient les rives avec deux divisions de l'armée.

La flotte arriva ainsi à l*Indus, dont elle suivit le cours Jusqu'à son embouchure. Ce voyage dura neuf mois, pendant lesquels on s'arrêta à chaque instant

Brar combattre les riverains non encore soumis, eux de ces peuples firent une résistance très-vive. Alexandre fût grièvement blessé en donnant l'assaut à un fort des Malliens. A l'embouchure de rindus la flotte et l'armée se divisèrent : la flotte, sous les ordres de Néarque, dut aller par le golfe Persique de l'embouchure de Tlndus à celle du Tigre, révélant ainsi aux navigateurs grecs des mers Jusqu'alors inconnues. Cétait une véritable exploration. Alexandre lui-même, avec l'armée, traversa au prix de souffrances inouïes les déserts de la Gédosie (Béloutchistan), se refit un peu en Carmanie et arriva enfin à Persépolls, puis à Suse.

De retour dans la Perse proprement dite, Alexandre reprit l'exécution de ses plans politiques. Il avait déjà épousé une princesse bactriane. Roxane ; il épousa encore la fille de Darius et celle d'un autre roi. En un seul Jour 80 de ses officiers durent contracter de gré ou de force des mariages analogues. En même temps il incorporait duis son armée des contingents indigènes, notamment 80 000 soldats levés dans les provinces orientales^ qu'il admit au même titre que les Macédoniens. Le corps d'élite des Compagnons dut ouvrir ses rangs à des Jeunes gens des familles nobles de la Perse.

Les vétérans de l'armée, irrités de ces mesures qui blessaient leur amour-propre national, menacés d'être renvoyés dans leurs foyers comme impropres au service, faillirent se mutiner. Alexandre leur tint tête, fit mettre à mort los plus bruyants, et, malgré une réconciliation solennellement célébrée, en désigna 10000 pour retourner en Europe.

n voulait se faire ainsi une armée nouvelle et plus docile, prête à le suivre partout ; car son ambition n'était point encore satisfaite, et il rêvait des conquêtes nouvelles. Il avait fait sur l'Euphrate et en Phénicie de grands préparatifs pour une expédition contre l'Arabie. Dans sa marche sur Babylone il recevait des ambassadeurs venus du fond de l'Europe, de l'Italie, de la Gaule même, des bords du Danube. Cen était assez pour éveiller sa pensée inquiète et reculer les bornes de son ambition.

Ce fut alors que la mort vint le surprendre. Au milieu des fàtes et des orgies par lesquelles il avait voulu célébrer les funérailles de son ami Epbestion, il fut saisi d'une fièvre qui l'emporta en

Quelques Jours. Suivant certaines versions ii aurait té victime d'un empoisonnement. La violence de eon propre caractère, les passions qui s'agitaient autour de lui donnent quelque vraisemblance à cette opinion. Cependant elle n'est appuyée d'aucune preuve, et, d'autre part, le genre de vie mené par Alexandre, los excès auxquels il venait de se livrer, suffisent à expliquer sa mort par des causes naturelles. Il laissait après lui le souvenir d'exploits héroïques, des entreprises immenses commencées, mais une œuvre encore incomplète. Il réussit à faciliter l'expansion du commerce et des idées helléniques dans toute l'Asie, il prépara une sorte de fusion entre ces deux mondes Jusqu'alors si étrangers l'un à l'autre. Biais, s'il avait rêvé de constituer un vaste et durable empire, cette espérance fut

cruellement déçue. Selon le mot qu on lui prête, ses lieutenants allaient, eu s'arrachant les lambeaux de son héritage, « lui faire de sanglantes funérailles. >

Dlot6«. — Bossnet, DUeowrt iur fhittove universeUe. Partie III, fin du cfaap. v : Alexandre fit son entrée à Babylone, etc. (p. 480-461 de Téd. Olleris).

[Maur. Wahl.]

ALGEBRE. — Branche des mathématiques qui a pour but de résoudre d'une manière générale les questions relatives aux nombres ; c*est-àrdire que, dans cette partie de la science, on ne se borne pas à chercher la solution particulière d*un problème, mais on recherche la solution générale de tous les problèmes de même genre. Lorsque en effet on résout par les procédés de l'arithmétique un problème dont les données sont des nombres, le résultat qu'on obtient n'offre aucune trace des opérations qu'il a fallu faire pour l'obtenir. On a donc été conduit à chercher une solution générale indiquant, indépendamment des données particulières, les calculs à effectuer, dans toutes les questions analogues, pour arriver au résultat cherché. Pour y parvenir, on représente par des lettres les grandeurs connues et inconnues que l'on a à considérer, et, à l'aide de signes abrévUtifs, déià usités pour la plupart en arithmétique, on écrd les relations que l'énoncé du problème établit entre ces grandeurs; l'algèbre donne ensuite des règles pour déduire de ces relations la valeur des inconnues. Uexpression de chacune d'elles est une formuk algéirique, qui indique les opérations à efl^ectucr sur les données ; et, dans chaque cas particulier, on n'a plus qu'à remplacer les lettres par les râleurs particulières que l'énoncé leur attribue.

Quelques exemples sont nécessaires pour éclaircir ces sénéralités; et ils formeront la matière de

la PBSMIBRB LEÇON dU COUTS.

1 . Soit proposé ce problème de mélange : On a 60 hectolitres de blé à 25' rhectoltire ; combien faut-il y qfouter de blé à W, pour faire un mélange valant 22'^0 ^hectolitre? On sait comment on raisonne en arithmétique pour obtenir la solution. Sur chaque hectolitre à 25f que l'on vendra 22',20 on perdra 2^80; pour les 60 hectolitres, la perte sera donc de 60 fois 2^80, c'est-à-dire de 168^ Mais sur chaque hectolitre à 18' que Ton vendra 22',20 on gagnera 4',20 ; pour que le gain compense la perte, il faut donc prendre un nombre d'hectolitres à 18' tel, qu'en multipliant 4',20 par ce nombre on obtienne 168'. Ce nombre est donc le quotient de 16»' par 4 ',20, c'est-à-dire 40; ce qu'il est facile de vérifier.

Mais, dans ce résulut 40, on ne volt aucune trace des opérations qui l'ont fourni. Traitons donc le même problème d'une manière générale. Soit n le nombre primitif d'hectolitres à a francs, et x le nombre d'hectolitres à b francs qu'il faut y ajouter pour obtenir un mélange à c francs l'hectolitre. En raisonnant comme ci-dessus, on voit que sur chaque hectolitre à a francs que l'on vendra c francs, on perdra a—c francs, et pour n hectolitres la perte sera le produit de a—c paru, que Ton peut écrire (a — c).ii. Mais sur chaque hectolitre à 6 francs que l'on vendra e francs, on gagnera c — & francs, et pour x hectolitres le gain sera le produit de c — 6 par «, que l'on peut écrire (c — o). x. Pour que le gain compense la perte il faut donc que l'on ait

Il en résulte qu'on aura le nombre cherché x en divisant (a— c).n parc — b; ce qui peut s'écrire

ia'-^c).n

Telle est la formule générale qui résout tous les problèmes du même genre. Si l'on demande, p^ exemple, combien à 80 hectolitres à 24 fhtncs ilfotti

ALGÈBRE — 71

ifheetoiitres à 19 francs pour obtenir un itiiugevahnt 21 flranes tnectoUtre, il faudra dans oSîtZnrale remplacer n par 80, a par 24, b par 1 9, et c par 31 : ce qui donne

ALGÈBRE

Ceqn'oD Térifiera facilement.

}. Tniions encore le problème siiWant : La joasg de deux nombre est 47, et leur différence tsi M; quds sont ces deux nombres? On reconnaît qoe, si Ton ajoute 47 et 15, la somme 62 se eomçosen da plas grand nombre augmenté du plus petit, et du plus grand nombre diminué du plus petit, c'est-à-âire qu*elle sera le double du plus pwL Ce plus grand nombre est donc la moitié de â, ou 11. Par suite^ le plus petit nombre est 47-31, on 16.

Mais les nombres SI et 16 n'offrent aucune trace dei opérations oui les ont fournis. Soient généralement X et y aenx nombres dont la somme est a et II différence 6.

On ferra, comme ci-dessus, que si Ton ijoute a et 6, la somme sera le double du plus grand wàin X. On aura donc

' 5- ou X^j+y

Dès Ion on aura y en retranchant x de a, ce qui

doDiie

Ces deux formules générales nous apprennent m» le plus grand des deux nombres demandés est êgilk h demi-somme des nombres donnés, augwMtkàe leur demi-différence; et que le plus petit des deux nombres cherchés est égal a la dem-somme des nombres donnés diminuée de leur demi^fférence.

Si, par exemple, la somme donnée est 113 et la différeace SI, on aura

113^51 164 .« lis 51 62 ,,

Les règjies d'intérêt simple, d^escompte, d*alliage, de partage proportionnel peuvent également fournir des exemples de formules générales propres à faire comprendre aux élèTOs le but de Tailgèbre et la généralité de ses procédés.

S. DiDxiftu LBçoir. — La seconde leçon du ooon sera consacrée à passer eu revue les stanes érériatifs, et en général les notations de ralgèbre, ainsi qai distinguer les diverses espèces à'exprestint oloébriques*

Le signe-fs*énonoe pha: placé entre deux quantités, Uindique qii*on en fait la somme. Ainsi a + 7 Bgnifle la somme des quantités a et 7 ; de môme a^5^ 7 exprime la somme des quantités a, 6

en.

Le siene — s'énonce moms; placé entre deux quantités, il indique qu*on en fait la différence. Ainsi a— 7 exprime ce qui reste de a^uand on en retranche 7. De même a— 6 — 7 indique ce qui reste de a quand on en a retranché successivenent 6 et 7.

Le ngoe X s'énonce multiplié par; placé entre deu qoantités, il indique qu on en fait le produit. AinfiaX7 indique le produit de a par 7. De même 0XbX7 exprime le produit des trois facteurs a» 6 et 7. On remplace souvent le siçne X par un ûmple point. Ainsi aX6 peut s'écrire a. 6. Plus Mavent encore on indique la multiplication en toiant simplement les facteurs à la suite les uns

des autres, sans aucune interposition de signes. Mais cette notation ne s'étend pas aux facteurs numériques, à moins qu'il n'y en ait qu'un seul, qui prend alors le nom de coefficient ^ et se place le premier. Ainsi aXôX7 s'écrira lab. Le produit 3XôXaX^Xa; s'écrira 3X5.ate.

Quand un produit renferme plusieurs facteurs égaux, on se contente d'écrire l'un d'eux, et Ton place à la droite, et un peu au-dessus, le nombre qui indique combien il y a de ces facteurs égaux. Ainsi au lieu de 7X7 on écrira 7«; au lieu de aXûXû on écrira a\ Ce nombre, qui indique ( combien il y a de facteurs égaux à celui qu on '

a* est la troisième puissance de a. Une expression -. telle que tc^b^x mdiquerait le produit du facteur 7 par la troisième puissance de a, par la seconde puissance de b, et par le facteur x, ou le produit IXaXaXaXàXbXx,

Le signe : s'énonce divisé par; placé entre deux quantités, il indique que la première est divisée par la seconde. Ainsi a : 7 indique le quotient do a par 7. On indique encore la division en écrivant le quotient comme une fraction qui aurait pour numérateur le dividende et pour dénominateur le diviseur. Par exemple

,, . a a:l peut s écrire y*

Le signe yT indique la racine carrée de la quantité placée au-dessous, c'est-à-dire une quanuté qui, multipliée par elle-même, reproduirait la quantité placée sous le signe. Ainsi V4» exprime la racine carrée de 49, c'est-à-dire 7. Le signe V indique la racine cubique àe la quantité placée au-dessous, c'est-à-dire une quantité qui, prise trois fois comme facteur, donnerait pour produit la quantité placée

sous le signe. Ainsi V^^ exprime la racine cubique

de 125, c'est-à-dire 5. Les signes V ..V », etc., indiqueraient de môme la racine quatrième^ l^ racine cinquième, etc., de la quantité placée au-dessous, c^est-à-dire une quantité qui, pnse 4 fois, S fois, etc., comme facteur, donnerait pour produit la quantité placée sous le signe. Ce signe porte en

général le nom de radical^ et le nombre placé auessus, dans son ouverture, est Vmdice du radical.

Ainsi dans V , 3 est l'indice du radical. ^

Les parenthèses ( ) expriment le résultat des opérations indiquées sur les quantités qu'elles enveloppent: les signes qui affectent les parenthè8(?8 indic^uent les opérations à effectuer sur ce résultat. Ainsi

indique que de la quantité a on retranche le résultat obtenu en retranchant 7 de b.

{a+1)Xà ou simplement (o-f-7)6 indique que la somme des quantités a et 7 est multipliée par b.

(a — 5):ô ou

indique que l'on divise par b la différence des

quantités a et 6. De même

fa -L. 7)3

(a+7)»:(6+8)(é-8) ou ^t+8)(«-3)

exprime que la troisième puissance de la somme de a et de 7, est divisée par le produit obtenu en multipliant la somme des quantités 6 et 3 par leur différence. . , ^ . j

Le signe = s'énonce égale; placé entre deux

ALGÈBRE

quantités, il indique çue leurs Taleurs sont égales. • Ainsi a 4-^**^ 7 signifie que la somme des quantités a et 6 est égale à 7.

Le signe >>s*énonce/7/tiJ grand que; placé entre deux quantités, il indique que la première est plus grande que la seconde. Ainsi a > 7 signifie que la quantité représentée par a est plus grande que 7.

Le signe < s*énonce pitts petit que; placé entre deux quantités, il exprime que la première est plus petite que la seconde. Ainsi a<7 exprime que a est plus petit que 7.

4. Les expressions algébriques les plus simples sont les lettres mêmes de Talphabet, destinées à représenter des quantités connues ou inconnues. On emploie ordinairement les premières lettres de Talphabet, a, 6, c, d, etc., pour représenter des quantités supposées connues, mais dont on ne particularise pas la valeur numérique. Les dernières lettres de Talphabet, x, y, x, etc., désignent, au contraire, des quantités inconnues.

On représente parfois des quantités analogues par une môme lettre chargée de plusieurs accents. Ainsi les notations a, a', a'* ar, qui s'énoncent a prime, a seconde, à tierce, serviraient à représenter des quantités analogues.

Tout ensemble de lettres, ou de lettres et de nombres, réunis par quelques-uns des signes énumércs plus haut, constitue ce que Ton appelle une expression algébrique. Ainsi

est une expression abgébrique.

Une expression algébrique est dite rationnelle, quand elle ne contient point de signe radical. Elle est irrationnelle, dans le cas contraire. Une expression algébrique est dite entière lorsque aucune lettre n'y figure en dénominateur. Elle est fractionnaire, dans le cas contraire. On s'occupe d*abord des quantités rationnelles et entières.

Une quantité rationnelle et entière peut être monôme ou polynôme. Elle est monôme lorsqu'il n'y a pas d autres opérations indiquées que des multiplications. Ainsi 7 a^b^x est un monôme. Dans un monôme, il y a quatre éléments à distinguer : \* Le signe dont il est précédé^ et qui peut 6tre-h ou — ; le monôme est dit positif àuis le premier cas, et négatif AuïB le second. Tout monôme qui n'est précédé d'aucun signe est supposé précédé du signe -^. 2* Le facteur numérique, s'il y en a un ; ce facteur, appelé coefficient, comme nous l'avons vu, se place toujours le premier. Un monôme qui n'a pas de coefficient est censé avoir pour coefficient l'unité. 3* Les lettres, qui comuosent les autres facteurs. 4" Les exposants de ces lettres, ou lus nombres écrits au-dessus ou un peu à droite, et qui indiquent combien de fois la quantité représentée par la lettre que chacun d'eux affecte, entre de fois comme facteur dans le produit. Toute lettre qui n'a pas d'exposant est censée avoir l'exporini 1. Amsi dans — bà^b^x le signe est —, le coefficient est 5, les lettres sont a, b, x; et leurs exposants respectifs sont 2, 3 et 1. Dans iab^sfly le signe est +, le coefficient est 4, les lettres sont a, b, X, y ; et leurs exposants sont 1, 2, 3, 1.

Quana on attribue des valeurs numériques aux lettres qui entrent dans un monôme, ce monôme se réduit lui-même à une valeur numérique, entière ou fractionnaire, précédée du signe -+- ou du. signe —, selon que le monôme est positif ou négatif. Si, par exemple, on suppose

fl = 5,6==3,ac»

le monôme — ba*b^x deviendra

— 5.23.27.2 ou 6950

et le monôme 4a6*x*y deviendra

+ 4.5.9.8.1 ou + 960«

C'est surtout sous cette forme numérique, précé» dée d'un signe + ou —, qu*il faut se représenter les monômes.

On nomme degré d'un monôme le nombre de facteurs littéraux qu'il renferme, ou la somme des exposants des lettres qui y entrent. Ainsi le mo\. nôme — ba^b^x est d'un degré marqué par^ 2-i- 8-j-l ou 6; et le monôme 4- 4aA»x'y est du degré l-f2 + 3-hl J)u7.

5. Une expression algébrique est dite polynôme lorsqu'elle se compose de plusieurs monômes, séparés par les signes -j- ou — . Ainsi Texpression

ax^ -f 2a»x> — 5a** -f 3a*

est un poljmôme. Les différents monômes dont un polynôme se compose sont les terme» de ce polynôme. Un polynôme qui n*a que deux termes prend le nom de binôme ; s^il a trois termes, il prend le nom de trinâme.

Un polynôme est dit homoaène quand tous ses termes sont du môme de^. C'est ce qui a lieu pour le polynôme écrit ci-dessus, dont tous les termes sont du 4« degré.

Un polynôme est dit ordonné par rapport aux puissances d'une même lettre, lorsque les exposants de cette lettre vont constamment en diminuant ou constamment en augmentant d'un terme à l'autre. Ainsi, le polynôme écrit plus haut est ordonné par rapport aux pubsances décroissantes de la lettre x, ou par rapport aux puissances croissantes de la lettre a. La lettre par rapport à laquelle le polynôme est ordonné prend le nom de lettre ordonnatrice.

On peut toujours ordonner un polynôme par rapport à l'une quelconque des lettres qui y entrent, car l'ordre dans lequel les termes se succèdent est évidemment arbitraire et n'altère en rien la valeur numérique du polynôme, qui équivaut toujours à la somme des valeurs numériques des termes positifs, diminuée de la somme des valeurs numériques des termes soustractifs.

On appelle termes semblables, dans un polynômer les termes qui contiennent les mêmes lettres affectées des mêmes exposants, et qui ne diffèrent par conséquent que par le coefficient ou par le signe. Ainsi, dans le polynôme

2a''b - Zab* + 8ûô« - 5aô« -h 2a6«

les quatre derniers termes sont semblables.

On peut toujours réduire les termes semblables en un seul. Dans l'exemple ci-dessus, quelle que soit la valeur numérique ae ab*, on voit qu'on aura à ajouter 8 fois cette valeur, plus 2 fois cette valeur, soit 10 fois cette même valeur, et à en retrancher d'abord 3 fois, plus 5 fois, soit en tout 8 fois cette valeur, ce qui revient en définitive à ajouter à 2a<6 deux fois la valeur de a6*, et donne

2a«ô-h2aô«.

Pour opérer la réductum des termes semblableSy on fait la somme de tous les coefficients de ces t^^^ qui ont le signe -f-, et la somme de tous les coefficients qui ont le signe —, on retranche la fl^ P^' tite somme de la plus grande, on donne à la <li]fy rence le signe de la plus grande, et on écrit à la suite la partie littérale commune» D'après cette ^ ■'•gie^ l'ensemble des termes semblables

4û'j: — lOa^x — Za^x -f* Bah: — a*x

se réduit à

9a'jc— 14a»x or. en fôfinitive à — 5û»j.

ALGÈBRE

S. TioisiÈMB LEÇON. — Addition algébrique. — Oti sQppose d'abord que les expressions algébriques à additionner sont positives, soit qu'il s^apste de deux monômes isolés, soit que, s il s*agit dir polynâmes, la partie additive remporte en valeur afaeolue sur U partie soustractive. Avec cette restriction on peut dire qu'additionner deux expt^essiuni algéhriguet, c'ett en forwer une troisième dimf la valeur absolue soit la somme des valeurs ù^uef des deux autres, infiépendamment des va- ^ïp'jn paiictUUres attribuées aux lettres qui y

atrfSlt.

SII s*a^t de deux monômes, on indiquera Top^raùon en écrivant le second à la suite du premier et les séparant par le signe +. Si les d;ax monômes adaitionnés sont dissemblables, le rr^dut ne sera susceptible d'aucune simpllflcalifiD ; ainsi la somme des monômes 5a*6 et lab* Kt simplement Sa*6 + 7a6*. Mais si les deux monômes sont semblables, ils se réduiront à un seul ; liasi

SMf + la^b ^ iZo^b.

Supposons maintenant qu'il s'agisse de deux polynômes; et, pour simplifier, considérons les bîji'jme» a — b et c — d. Si à a — b nous ajoutons d'ibord le terme c, et que nous écrivions a— 6-Hc, ce résultat sera tron grand de la quantité d dont il aorait fallu préalablement diminuer c; pour lui reoilre sa valeur, il faudra donc en retrancher d ei écrire a — 6 -|- c — rf. On voit dans ce résulut qœ le terme c, qui était censé avoir le signe -f pmsqn'il n'était précédé d'aucun signe, se retrouve m total avec le signe -f- ; et que le terme d, qui éuit précédé da signe —, se retrouve au toul aT?c le signe — .Le môme raisonnement s'appliquerait à des polynômes quelconquei^ d'où l'on déduit cette règle :

Pour addUionner deux polynômes, il suffit dkrirt le second à la suite du premier, en consfnmt à chaque terme son signe,

Soiu par exemple, à additionner

ox* — Itfix -h 4a» et 5«x* 4- 2fl«x — 8a». La somme sera

ai» — 2a»x -4- 4a»4- 5ax» -h fUAjc — 3a»,

ou, en opérant la réduction des termes semblables

6ax«-f 0».

On pourra proposer aux élèves les exemples «lisants:

a»6 — 5a*6» -h 7aA» — 86* 8q»6 — 2q«6« — lab» -f 36*

Somme. -Ia«6 — 7û«6» — 56*

eox» — 8a*x» + 10a»j? — 7a* 5aj» -H 9a*3fl — 9a^x -¥- 6q*

Somme, lloar» -H a^x — a*

ûS— 5at64- lCte»6«— I0a^6»+5a6* — 6»

a»-h5a*64- 10a»6«-4-taa«6»--H5a6* + 6»

Somme . îo» -h 20a»6» + 10a6* a» — 3ajc» -f 9a«x

Somme.. .. Sx» — Aai^ 4- 10a»x

U restriction admise en commençant peut être ^'^vtée; et la règle de Taddition, telle qu'elle a àé donnée ci-dessus, peut être étendue à des expressions algébriques négatives, en vertu de la t^:idaoce qu'a l'algeore à généraliser ses procédés linsi qne nous le verrons par la suite.

*. . SouMbraction algébrique. — Avec la restriction . jQdiqaée pour l'addition, on peut dire que soustraire •

deux expressions algébriques c'est en former une troisième dont la valeur numériaue soit la différence entre les valeurs numériques aes deux premières. indépendamment des valeurs particulières attribuées aux lettres qui y entrent.

S'il s'agit de aeux monômes, on indiquera l'opération en écrivant le second à la suite du premier et les séparant par le signe — . Si les deux monômes donnés sont dissemblables, le résultat ne sera susceptible d'aucune simplification : ainsi la différence des deux monômes 8a»6 et 3a6t est 8a^6 — 3a6». Mais si les deux monômes sont semblables, ils se réduiront à un seul ; ainsi

Supposons maintenant qu'il s'agisse de deux polynômes ; et soit à soustraire c^d de a — 6. Si 1 on soustrait d'abord c et qu'on écrive û — 6 — c, ce résultat sera trop petit; car ce n'était pas c qu'il fallait soustraire, mais c préalablement diminué de d. Le résultat est donc trop petit de d; et, pour lui donner sa véritable valeur, il faut y ajouter d et écrire a— 6 — c-+-rf. On voit dans ce résultat que le terme e, oui était censé avoir le signe 4-, a maintenant le signe — ; et que le terme <f, qui était précédé du signe —, a maintenant le signe -f. Le même raisonnement pouvant s'appliquer à des polynômes quelconques, on en déduit cette rè^le :

Pour soustraire un polynôme d*un fiutre, tl faut récrire à la suite de cet autre en changeant le signe de chacun de ses termes.

Supposons, par exemple, que du polynôme 6ûx» 4- a' on veuille soustraire le polynôme 5ax* -H 2a*x — Za^. On aura, en appliquant la règle,

6ax» 4- 0» — 5ax» — îa»x -f 8a»

ou, en opérant la réduction des termes semblables, et ordonnant

ox»— 2a»x-H4a».

On pourra proposer aux élèves les exemples suivants:

De 6x» — 6ax» -h 9a«x

soustraire 2x» — 5ax» — a»x.

Différence.... 3x» — ax»-|-10a»x.

De 4a* 4- 5a86 — 6a»6« - 7a63

soustraire a*-i*-a»6 — 4a»6* 4- «63.

Différence.... 8a* 4- 6aS6 -^ 2a»6» — 8a6».

soustraire

Différence...

. Aab.

soustraire

Différence.... a^b — 2a»6»— 7a6» -f 36*.

Nous verrons plus loin que la restriction admise au commencement peut être écartée.

8. Quatrième leçon. — Multiplication algébrique. — Avec la restriction déjà indiquée pour Tadaition et la soustraction, on peut dire que multiplier l*une par l'autre deux expressions algébriques, c'est en former une troisième dont la valeur numérique soit le produit des valeurs nwmériques des deux autres, indépendamment des valeurs particulières attribuées aux lettres qui y entrent.

Soit d'a'bord à multiplier deux monômes positifs, par exemple 8a*x» et ibafl. Ces monômes peuvent s'écrire 3 XflXaXxX^Xx et 2X6xa;Xx.

Or on a vu en arithmétique que, pour multiplier une quantité par un produit de plusieurs facteurs, on peut multiplier successivement par chacun des

ALGÈBRE

fitcteurs de ce produit. L'opération qa*on a en vue donnera donc pour résoltat

Mais on sait aussi qu*on peut, sans changer un produit, intervertir Tordre des facteurs ; on pourra donc écrire

ZX^XaXaXbXxXxXxXxXx.

Enfin, au lieu de multiplier successivement par plusieurs facteurs, on a vu qu*on pouvait multi-

Slier par le produit effectué de ces facteurs, on crira donc le résultat

Sii sera le produit des deux monômes jproposés. n voit que ce produit s*obtient en multipliant les coefficients 3 et 3, en écrivant tels qu'ils étaient les facteurs a* et b qui n'entraient chacun que dans Tun des monômes, et en écrivant le facteur x qui entrait dans tous les deux, avec un exposant égal à la somme de ceux qu'il avait dans ces deux monômes.

On verrait de même que

5a&c« X *«*« = I0cfibx% Wànx X îoB» = 2na^b^x\

et ainsi de suite. La règle de la multiplication des monômes positifs est donc la suivante : Multiplier ki coefficients, écrire à la mite toutes les lettres qui entrent dans les deux tnon&mes, et affecter chacune dtun exposant égal à la somme de ceux qu^elle a dans les deux facteurs,

9. Soit maintenant à multiplier un polynône par un monôme positif, par exemple a — b par m. Pour fixer les idées, supposons que m ait pour

valeur g* Le but de Topération sera de prendre les

g de a — 6. Si Ton prend les -de a, ou ^X^* Ce résultat sera trop fort, puisqu'on avait à prendre les - de a préalablement diminué de b; et il sera

trop fort des r de b, ou de ^Xg* La vraie valeur

de ce résultat sera donc a X ? — 6 X ?> ou

am — bm; et l'on arrivera au même résultat algébrique quelle que soit la valeur numérique attribuée à m. On voit donc que, pour multiplier un polynôme par un monôme positif, il faut multiplier chaque terme du polynôme par ce monôme, en conservant les signes.

On trouverait ainsi que

(a»« — ôto-f fl») X ax — aW — aôW + a*».

10. Soit enfin à multiplier un polynôme par un polynôme, par exemple a^b par c^d. Si l'on multiplie d^abord a — 6 par e, on trouve, d'après la règle ci-dessus, ae—bc. Mais comme ce n'était pas par e ^u'il fallait multiplier, mais par e préalablement diminué de d^ le résultat obtenu est trop fort du produit de a ~ 6 par d, c'est-à-dire de ad-— bd. Pour lui rendre sa véritable valeur, il faudra donc de oc — bc retrancher ad — bd, ce qui donne, d'après la règle de la soustraction,

ae — bc^ad-^bd.

En examinant ce résultat, on voit : 1* qu'il contient les produits partiels de chaque terme du multiplicande par chaque terme du multiplicateur ; 2"* que les termes a et c, <^ui avaient le même signe +1 ont donné un produit positif; que les termes a et d, qui avaient des signes contraires, ont donné un produit négatif; que les termes b et

c, qui avaient des signes contraires, ont aussi donné un produit négatif; enfin que les termes b et d, qui avaient le signe — , ont donné un produit positif. On énonce ces remarques en disant aue deux termes de même signe donnent un pronuit positif, et que deux termes de signe contraire donnent un produit négatif. (Test en cela que consiste ce que l%n appelle la règle des signes.

11. Comme les mêmes raisonnements seraient applicables à deux polvnômes quelconques, on en conclut que, pour multiplier deux polynômes l'un par Vautre, il faut multiplier c/taque terme du polynôme muàipUcande par chaque terme du polunôme multipacateur, en ayant égard à la règle aes signes. Il ne reste plus qu'à opérer, s'il y a lieu, la réduction des termes semblables.

Soit, par exemple, à multiplier

«c» — 2a^« -H 8fl»x -f5a* par oz* -h îoa;* — 4a'

aW — 2a»x* -h 3a*x» -h 5o»xt

-h 2a»x» — 4a*x* -4- 6a»x«-h lOo^

on trouve pour produit

<fia^— 6û*x»-f I9a«x» — Jjcfix — 20a».

n faut avoir soin d'ordonner les deux polynômes

Sar rapport aux puissances d'une même lettre, et 'écrire les produits partiels de manière <)ue les termes semblables se correspondent, ce qui en facilite la réduction.

On peut remarquer qu'il y a toujours an moins deux termes qui ne se réduisent pas avec d'autres ; ce sont ceux qui proviennent de la multiplication du premier terme du multiplicande par le premier terme du multiplicateur, ou du dernier terme du multiplicande par le dernier terme du multiplicateur, attendu que l'un contient la lettre ordonnatrice à une puissance plus élevée qu'aucun autre terme, et que l'autre contient au contraire cette lettre à la plus petite puissance. Cette observation est importante, car on verra tout à l'heure qu'elle sert de base à la division.

On pourra proposer aux élèves les exemples suivants :

Multiplicande.. a> -f a>6 -f ab^ + 6»

Multiplicateur, a — 6 Produit..

Multiplicande., x* -f Sox +0*

Multiplicateur. g« — 2aj -t- g*

Produit a?^ — 2a>x« -♦- a*

Il y a trois produits qu'il est bon de retenir par cœur, parce qu'on en fait un fréquent usage ; ce sont les suivants :

(a-Jfb) (a-f 6) «a»-^ 2a6 + 6«; (a — A) (a — 6) = a» - 2aô -f ô« ; (a-+-6)(a — 6) = a« — 6«.

12. Cinquième leçon. — Division algébrique. — Cette opération a pour but, étant donné le produit de deux quantités algébriques, et l'une d'eues, de retrouver Vautre.

Soit d'abord à diviser un monôme positif Sà^bx* par un autre monôme positif 3a*x*. Le quotient sera nécessairement un monôme, car un polynôme multiplié par un monôme donnerait un polynôme. Dès lors il résulte de la règle de la multiplication des monômes que le coemcient 6 du dividende est le produit du coefficient 3 du diviseur par le coefQcient inconnu du quotient; on obtiendra donc ce coefQcient inconnu en divisant 6 par .1, ce qui donne 2. La lettre a, entrant au dividende et au diviseur avec le même exposant, ne doit pas entrer au quotient. La lettre 6, n entrant qu'au dividende, doit se retrouver au quotient. Enfin la lettre x

ALGÈBRE

cntmit an dividende et au diviseur, son exposant S an difidenda est la somme de son exposant 3 an éfiaear et de son exposant au quotient; cet expo- OBC est donc l'excès de & sur 3, c*est- à-dire 2. Le ^tieat clierché est donc 2&c*. On tire de là cette règle : Pour diviser deux monâmes posilifs tmpar Fatitre, divisez le coefficient du dividende par le coefficient du dwiseur, écrives à la suite du çtttorf les lettres qui entrent à la fois au dividende dœtàinseur, em affectant chacune cTun exposant égslà feaxèt de son exposant au dividende sur KM exposant au diviseur; s'il y a des lettres pti n'aUrtnt q%^au dividende, écnvez-les au quotient sue ieitr exposant; si une lettre entre avec le même exposant au dividende et au diviseur, elle ne doit pas entrer au quotient.

On trouvera ainsi

fse le quotient de.. 28a^6x^ par 7ax* est AtJ^b^x

— .. Ibaà^ par bbx^ est ^bx

— •. Séo^Âx* par 6a«x* est habx*.

IS. Telle est la règle de la division des mosftmes positifs. Mais, de même que, dans la multiplication des polynômes, on peut avoir à multiplier entre eux des termes qui ne soient pas tous deux positifs, de môme on verra que, dans la divisoD des polvnômes, on peut avoir à diviser l'un pu Fautre oeux monômes n*ayant pas tous deux le lifne +• Ia règle des signes de la division se dôdsit de celle de la multiplication. Si le dividende aie signe +, le quotient doit être de môme signe qoe le diviseur ; si le dividende a le signe —, le jnotient doit être de signe contraire au diviseur, utte règle s'énonce parfois sous cette forme abré- Sée, ({oi s'applique également à la multiplication :

-t- par + donne -h -^- par — donne — — par + donne — ^ par — donne +

14. Passons à la division d'un polynôme par un polynôme. Soit, par exemple, à diviser

dix» — 5a**» -I- 19a»a;« — !tofix — 20a'' par ax« — 3a*x* + 8aSx -|-5a*.

Les deux polynômes étant ordonnés par rapport aux puissances d'une môme lettre, il resuite de ce qui a été dit à propos de la multiplication que lo

Sremier terme du dividende est le produit exact u premier terme du diviseur par le premier terme du quotient; on obtiendra donc celui-d en divisant a*x^ par ox*, ce qui donne ao:*. Le dividende contient tous les produits partiels des termes du diviseur par ceux du quotient; si l'on multiplie le diviseur par ax* et qu*on retranche le produit du dividende, on obtient pour reste

+ 2a»x* — 8a*jc» -f Utflafi - Hcfix — 20a'.

Ce reste, qui forme un second dividende partiel, est le produit exact du diviseur par l'ensemble des termes inconnus du quotient. Comme il est ordonné par rapport à la môme lettre que le diviseur, son premier terme est le produit exact du premier terme du diviseur par le premier des termes inconnus du quotient. On aura donc ce second termo du quotient en divisant + Sa'x^ par ox', ce qui donne -h 2a*a;. Multiplions le diviseur par ce second terme, et retranchons le produit du second dividende partiel, nous obtiendrons pour reste

— 4fl*a:» -h 8a»x« — I2a«x — 20a^

Ce troisième dividende partiel étant oi-donné comme les polynômes précédents, son premier terme est le produit exact du premier termo du diviseur par le premier des termes inconnus du quotient; on obtiendra donc ce troisième terme du

auotient en divisant — 4a*x» par -h ox», ce qui onne — Acfl. Multipliant le diviseur par ce troisième terme et retranchant le produit ou troisième dividende partiel, on obtient pour reste xéro ; le quotient est donc ax« + 2a'x — 4 x».

On dispose l'opération come il est indiqué cidessous :

^ atafi — 2a»x* — 8a*x«

— 5a*x» + 19a»x« — 2a«x — 20a' | ax» — 2a«x« -h 3a»x -f 5a*

2» div. part, -h 2a»x* — 8a*x« -H I4a»x« — 2a«x — 20a' ~-2a>x* + 4a*x»— 6a»x« — 10a«x

«•div. part — 4a*x»-t- 8a»x« — 12a«x — SOa'