I. Objet de l'arpentage. Base productive

I7ist7-U77ients de mesure.

Mesure des lo7îg7ieu7's. — Jalons. Chaîne d'arpenteur. Mesure d'une distance jalonnée. Stadia ; son réglage, son emploi. — V. Ai^pentage {Instru77ienfs d').

II. Mesure des angles. — Équerre d'arpenteur. .Alidade. Graphomètre ; vérification et mise en station. Vernier. — V. Arpentage {I/istniments d').

III. Planchette. Boussole. Vérification et mise en station de ces instruments. — V. Arpentage

{I?lSt7-U77ie?îfs d').

IV. Mesiwe des différences de niveau. — Niveau à bulle d'air. Niveau d'eau. Mire : mire parlante. Xiveau d'Égault. Vérification et mise en station de ces instruments. V. Arpe7itage [l/istru77ie7ds d').

Lever des 2}la7is.

V. Notions générales sur le lever des plans. Base. Polyi^one topographique. Lever à la chaîne seule. Lever à la chaîne et à l'équerre. — V. Lever des pla/is.

VI. Lever à la planchette. Méthode par rayonnement, méthode par cheminement. — V. Lever des pla/is.

VII. Lever au graphomètre. Lever à la boussole. V. Lever des plans.

Nivelle7ncnt.

VIII. Notions générales. Nivellement simple. Nivellement composé. Registre de nivellement. — V. Nivellc/ne'd.

IX. Notions sur le figu7^é du relief. Courbes horizontales. Profils. — V. Nivelle/Jient.

T/'acé des plans.

X. Mise au net de la minute. Signes conventionnels. Teintes conventionnelles. — V. Lever des plans.

XI. Réduction des plans. Méthode des carreaux. Pantographe. — V. Lever dcsplans.

ARPENTAGE

Arpentage proprement dit.

XII. Mesure d'un terrain dont la forme est un triangle, un parallélogramme, un trapèze, un polygone, une figure en partie curviligne ; méthode des emprunts. — V. Arpentage proprement dit.

XIII. Cas où l'intérieur du terrain est inaccessible. Mesurage des forêts, des étangs. Cas où l'on opère dans un pays de montagne. — V. Arpentage proprement dit.

Problèmes d'arpentage et de nivellement.

XIV. Mesure des distances de points inaccessibles. Mesure de la hauteur d'un édifice, d'une montagne. — V. Problèmes d'arpentage.

Division des héritages.

XV. Cas où le terrain considéré a partout la même valeur. Cas où le terrain se compose de parcelles de valeurs différentes. Rectification des limites. Bornage. — V. Partage des terres.

ARl'ENTAGE PROPREMEiNT DIT. — La uiesurc effective des surfaces dont on a levé le plan est une question de pure géométrie, et rentre dans la mesure des aires. (V. Aires).

1. Si la forme du terrain est un triangle, on choisira pour base l'un des côtés, le plus grand par exemple ; on abaissera du sommet opposé sur cette base une perpendiculaire qui sera la hauteur; on mesurera la base et la hauteur; on en fera le produit, et l'on prendra la moitié de ce produit. Supposons, par exemple, que la base ait été trouvée de 2 18'", 50 et la hauteur de 197™, GO ; le produit de ces deux nombres étant 43i75i"q,GO, la moitié de ce produit, ou 2l587n'q,SO, c'est-à-dire 2 hectares 15 ares et environ 88 centiares, sera la surface du terrain.

2. Si le terrain a la forme d'un parallélogramme, on mesurera le plus grand côté, et la distance de ce côté à celui qui lui est parallèle ; le procTuit des deux nombres obtenus exprimera l'aire du parallélogramme.

Supposons, par exemple, que le côté mesuré ait été trouvé de .322™, et la distance de ce côté à son opposé de 10G™,4; la surface du terrain sera exprimée par le produit de ces deux nombres, c'est-à-dire par 34260ii<!,80 ou 3 hectares 42 ares et environ Gl centiares.

3. Si le terrain a la forme d'un trapèze, on mesurera les deux bases parallèles, ainsi que la perpendiculaire qui exprime la distance des bases, ou la hauteur du trapèze ; on fera la somme des bases, on la multipliera par la hauteur, et l'on prendra la moitié du produit.

Soient, par exemple, MI^jGO et 95™, 2 les deux bases et 109"", 7 la hauteur; la somme des nombres 141"», 60 et 9.^"", 2 est 23G'°,80; le produit de cette somme par 100™, 7 est 2597C""!,9C; la surface demandée est la moitié de ce nombre, c'est-à-dire 12988'"q,48 ou 1 hectare 29 ares et environ 88 centiares et demie.

Pig. 1.

4. Supposons maintenant que le terrain ait une forme polygonale et qu'on puisse opérer dans son intérieur. - Soit ABCDEFGHIA (fig. 1) le polygone

considéré; on joint par une droite AF, appelée directrice, les deux sommets les plus éloignés; et de tous les autres sommets on abaisse des perpendiculaires sur cette directrice ; on mesure toutes ces perpendiculaires, B6, C-, Dd, Ee, Gg, Eh, li, ainsi que la distance des points A, b, i, li, c, g, d, e,F h un même point 0 pris sur la directrice, d'où l'on déduit les longueurs Ab, Ai, ih, bc. hg, cd, de, eF, gF. La figure se trouvera décomposée en triangles rectangles et en trapèzes rectangulaires, dont on sait évaluer l'aire, la somme de toutes les aires partielles donnera l'aire totale. Si S désigne cette aire totale, on aura

S^l^Ab.Iib + l{Bb + Cc).bc-\-^- (Ce + Dd) . cd

H- l (D(Z +Ee) . de + 1 eF . Ee +lgF . Gg

+ l {Gg + Eh) .gh+^ [Eh + li) . hi -+- \ Ai . \i.

Supposons, par exemple, que l'on ait obtenu les mesures suivantes :

Bè = 47'»,5: Ce = 64"; T)d = 40"; Ee = 50",5; G7 = 76"" : Éh = \i = 51°',5 ; A/j = 41'".5 ; bc= lO-S""; cd = 45'°,5 : de = 40°',50 ; eF = 34'",50 ; F^ = 76°; gh = 65"" ; hi = 49°" ; Ad = 75".

En effectuant les calculs indiqués par la formule ci-dessus, on obtiendra, à moins d'un mètre carré, 23542'nq, ou 2 hectares 35 ares et 42 centiares.

5. Le terrain h mesurer peut être terminé, en tout ou en partie, par des lignes courbes. Si les sinuosités sont peu considérables, comme dans la fig. 2, par exemple, on substitue aux diverses parties du contour des droites qui s'en éloignent peu ; ainsi le contour de la fig. 2 pourrait être remplacé par le quadrilatère ABGD. Ce procédé n'est point rigoureux; il conduit cependant à des résultats suffisamment approchés quand l'arpenteur en a l'habitude. On l'appelle la méthode des emprunts, parce qu'elle consiste à emprunter fictivement sur les propriétés voisines des portions de terrain, et à leur en restituer d'autres, de manière à établir autant que possible une exacte compensation.

Il existe une autre méthode, plus exacte, mais plus longue, qui consiste à prendre sur le contour du terrain des points assez rapprochés pour que les arcs de courbe qui les joignent puissent être regardés comme sensiblement rectilignes ; le contour curviligne réel se trouve alors remplacé par un contour polygonal qui a ces points pour sommets, et l'on rentre dans la cas du n° 4.

G. Quand on ne peut pas opérer dans l'intérieur du polygone, on lui circonscrit une figure que Ton sache mesurer, ordinairement un rectangle, tel

Fiç. 3.

que MNOP (fig. 3). Des sommets C, E, F, H qui ne sont pas situés sur le contour de ce rectangle, on

ARPENTAGE

abaisse sur les eûtes les plus voisins les perpeudiculaires Ce, Ee, Ff, Wi. L'espace compris entre le polygone à mesurer et le rectangle circonscrit se trouve ainsi partagé en triangles rectangles, tels que AIM, BCe, F/G, Gllh, et en trapèzes rectangulaires, tels que CcND, DOeE, eEFf. AilIP. On peut donc mesurer aisément cet espace, et en le retranchant du rectangle, préalablement mesuré aussi, on obtient Taire du polygone.

Supposons, par exemple, qu'on ait trouvé MX = UO"; MP = 36°': AM = li'": Bo = S.-.-": cN= 12""; XD = 21°', d'où DO = li"": Oe= 14'°: «/■=10"';/lG = 28'°; 0^ = 20'": par suite ÂP= 18'": etPI = 2-.i'"; d'où MI= 14-"; puis Cc=8'";Ee = 1-3'": F/'=G°; HA = :•".

On trouvera successivement :

PourIciectangleMXOP 90"> x 3C°" ou :i240"iq

Pour le triangle BCc. - . 23'» . S-» 10Û°>q

Pour le trapèze C.DXc. -(S-^ + 21) . 12°' 174"q

Pour le trapèze ODEe. - (lo» + 13°>) . 14" lOG-q

Pour le trapèze EefF.. - (13" + G-") . lO" OS-^q

Pour le triangle GFf.. - . 2S"> . 6 ï

Pour le triangle GHA. . - . 20"» . 7™

Pour le trapèze PIH/i.. i (T-" + 22°=) . 18 £61

Pour le triantrlc AMI.

La somme des parties comprises entre le polygone est donc 1078°"i ; en retranchant ce nombre de 3240""!, on trouve pour la surface du polygone 2162""! ou 21 ares 62 centiares.

7. On pourrait combiner ce procédé avec la méthode de l'emprunt si le polygone, dans l'intérieur

Fis. 1.

duquel on ne peut opérer, avait un contour curviligne. C'est ce qu'indique la figure 4. Ce procédé trouve son application dans l'évaluation de la surface des étangs, des lacs, des simples mares. On assimile leur contour à celui ■d'un polygone, que l'on inscrit dans une figure qu'on sache évaluer; on mesure les parties comprises entre la pièce d'eau et cette figure; et, en les retranchant de l'aire de cette figure môme , on obtient celle de la pièce d'eau,

8. La méthode précédente s'applique aussi à la mesure de l'aire des pays boisés^ dans l'intérieur

desquels 1(!S opérations d'arpentage seraient im- [jossiblos. Elle s'applique encore, dans les pays de montagnes, aux portions de terrain dont la déclivité est trop rapide pour qu'il soit possible d'y exécuter des opérations directes. Après avoir déterminé les limites de ces terrains en pente, on les entoure d'un poljgone dont on puisse mesurer directement l'aire ; on mesure les portions de terrain comprises entre ces limites et le contour du polygone, et, en les retranchant de l'aire de ce polygone, on obtient celle des parties déclives, qui ne pourraient être déterminées directemont.

Le coup d'oeil et surtout l'expérience sont les véritables guides de l'arpenteur dans ces circonstances plus ou moins délicates. C'est par une constante pratique qu'il arrive à trouver, dans chaque cas, les procédés les plus avantageux.

[H. Sonnet.]

ARPENTAGE (Instruments d'I.—Prer/z/ère^on.

Les instruments employés dans l'arpentage peuvent être divisés en trois catégories, en j' comprenant ceux qui se rapportent au nivellement : les instruments destinés à la mesure des distances, les instruments destinés à la mesure des angles, et enfin les instruments destinés plus particulièrement à la mesure des diff'érences de niveau. Nous les décrirons dans cet ordre.

MESIFIE DES DISTANCES.

1° Pour mesurer une droite sur le terrain, il faut d'abord en assurer la direction, en fixant les points extrêmes et un certain nombre de points intermédiaires : ce qui se fait à l'aide de jalons. Un jalon est un piquet de bois de chêne, de 2 mètres de haut, ferré par un bout, et que l'on peut planter verticalement.' Son extrémité supérieure est fendue longitudinalement pour recevoir un carré de papier, ou un voyant peint de deux couleurs, blanc et rouge, qui, vu de loin, se détache toujours soit sur le ciel, soit sur les bois ou sur le terrain lui-même. Supposons que les deux extrémités de la droite à mesurer soient ainsi marquées par des jalons A et G (fig. 1). Pour planter un jalon B entre A et C, on se place derrière le jalon A, et. par des signes de la main, on fait déplacer, soit à gauche, soit à droite, l'aide qui porte le jalon B, jusqu'à ce que, en visant dans la direction des jalons A et C, le jalon C paraisse caché par les jalons A et B. Par le même procédé on multiplie les jalons intermédiaires autant qu'il le faut pour que leurs distances consécutives ne dépassent pas 20 ^ à 25 mètres.

C'est ce que l'on appelle jalonner une distance.

Pour mesurer une distance jalon-

née, on Qra\)\oiQ la. chaîne d'arpetitcw 2° La chaîne d'arpenteur a un décamètre de long.

Elle se compose de 50 chaînons en gros fil de i'er, de 2 déc i m è t r e s chacun, réunis par dos anneaux en fer. qui sont remplacés

de cinq en cinq par des anneaux en cuivre. Le milieu de la chaîne est marqué par une petite

ARPENTAGE

tige en cuivre; la chaîne se termine par des poignées en fer dont la longueur est prise sur les chaînons extrêmes. On donne quelquefois à la chaîne 4 ou 5 millimètres de plus que le décamètre pour compenser le défaut de tension absolue qui est inévitable. L'instrument est représenté ci-contre (fig. 2).

Pour mesurer à la chaîne une ligne horizontale jalonnée, l'opérateur et son aide tendent la chaîne en la tenant chacun par une poignée, et en la maintenant le plus horizontalement possible. L'opérateur appuie la poignée qu'il tient contre le premier jalon, et l'aide tend la chaîne dans la direction du second jalon. Il est muni de 10 fiches en fer de 40 centimètres de long, terminées d'un côté par une pointe et de l'autre par un anneau. Quand la chaîne est dans la direction de la droite à mesurer, l'aide plante une fiche contre sa poignée, en dedans de cette poignée. L'opérateur et son aide transportent alors la chaîne dans la direction des jalons, en la maintenant tendue et horizontale. Arrivé à la fiche, l'opérateur appuie sa poignée contre cette fiche, extérieurement, et l'aide plante une seconde fiche en dedans de sa poignée. L'opérateur ramasse la première fiche, et continue à s'avancer avec son aide dans la direction des jalons. Quand les neuf premières fiches ont passé ainsi des mains de l'aide dans celles de l'opérateur, l'aide place la dixième fiche, qui est plus longue, et qui marque une distance de 100 mètres, appelée ;jor/ee; l'opérateur remet les premières fiches à son aide, et l'opération continue.

Quand on a dépassé le dernier jalon, on compte les portées, le nombre des longueurs de chaîne formant une fraction de portée, le nombre de chaînons dépassant la dernière chaîne, depuis son extrémité jusqu'au dernier jalon, enfin la fraction de chaînon, s'il y en a une, que l'on évalue à l'aide de divisions tracées sur le dernier chaînon. La somme de ces diverses longueurs forme la distance mesurée. Si, par exemple, elle se compose de quatre portées, de trois longueurs de chaîne, de sept chaînons, et d'une longueur de 12 centimètres, elle équivaut à 400"! -l-3um-M"',4 -HO"», 12, c'est-àdire 431'»,52.

3° On vérifie la chaîne d'arpenteur en la comparant avec une longueur de 10 mètres tracée avec soin sur un sol bien horizontal.

Mais, en général, le mesurage à la chaîne d'une longueur horizontale peut donner lieu à une erreur relative de j^L, ce qui tient non-seulement au défaut d'horizontalité ou de tension de la chaîne, mais aussi à l'erreur presque inévitable que l'on commet à chaque déplacement de la chaîne sur la pose de la fiche et son contact avec la poignée.

On remplace quelquefois la chaîne par un ruban en acier, enroulé autour d'une bobine renfermée dans une boîte ronde, et que l'on désigne sous le nom de roulette. Cet instrument, très-portatif, est analogue à la roulette dont se servent les couturières. Les divisions y sont marquées par des clous en cuivre. Ce ruban se tend plus exactement que la chaîne et donne de bons résultats.

4* Nous avons supposé implicitement que l'on opérait sur un terrain horizontal. S'il y a une faible pente, comme on ne tient compte dans l'arpentage que de la projection horizontale des distances, on peut encore opérer comme il a été expliqué cidessus, en ayant soin de tenir la chaîne horizontalement.

Si la pente est un peu considérable , on peut l'évaluer à l'aide de la boussole -éclimètre, instrument dont nous parlons à la fin de cet article (V. p. 199). On multiplie alors la distance parallèlement au sol par un facteur qui varie avec la pente, conformément au tableau suivant :

2"= PARTtF.

eales

Multiplicateurs.

Pentes.

Multiplicateurs

Si, par exemple, la distance mesurée parallèlelement au sol a été trouvée de 375", 62 et que la pente observée ait été trouvée de 19 degrés, la projection horizontale de la distance considérée sera 375'n,62 X 0,9455 ou 355", 15.

5° On peut encorej, quand le terrain est fortement incliné, se servir de fiches pesantes qui s'implantent d'elles-mêmes dans le sol quand on les laisse tomber de l'extrémité de la chaîne horizontalemeni tendue. Mais cette opération est toujours difficile ; et l'erreur relative du résultat peut s'élever jusqu'à-ji^ ou même^, selon la pente.

e*- Quand le terrain est très-tourmenté, les mesures à la chaîne peuvent devenir tout à fait impossibles ; on peut recourir dans ce cas à l'emploi de la lunette Stadia.

La partie principale de cet instrument est une lunette portée sur un pied et pouvant prendre toute;? les inclinaisons possibles. Au foyer de son objectif sont disposés deux fils horizontaux dont on peut faire varier la distance à l'aide d'une vis micrométrique. On règle cette distance de manière qu'en plaçant, à 100 mètres en avant de l'instrument, une mire, ou règle divisée placée verticalement, les images des deux fils interceptent sur cette mire une distance de 1 mètre. Si l'on transporte la mire à une distance quelconque, l'intervalle intercepté par les images des fils reste sensiblement proportionnel à cette distance ; en sorte que, pour obtenir cette distance, il suffit de multiplier par 100 l'intervalle observé sur la mire. Si, par exemple, on place la mire à une distance telle que l'intervalle intercepté par les images des fils sort de 1™,375, on en conclura immédiatement que la mire est à 137"', 50 du centre de l'objectif. Les distances peuvent être obtenues ainsi aussi exactement qu'avec la chaîne, quand elles ne dépassent pas 500 mètres. L'emploi de la stadia est surtout utile dans les pays de montagnes, où la mesure directe des distances est souvent impossible.