MESURE DES ANGLES

Deuxième leçon. — Il est nécessaire d'expliquer avant tout comment on détermine la di-

Fig. 3

rection d'un rayon visuel , ou celle du plan vertical qui le contient. C'est à cela que sert Validode. Cet instrument se compose d'une règle

ARPENTAGE

(fig. 3), ordinairement en cuivre, aux extrémités de laquelle s'élèvent deux branches percées chacune d'une fente verticale, et que l'on appelle des pinnules. Vers le haut de l'une et vers le bas de l'autre la fente s'élargit de manière à former une sorte de fenêtre rectangulaire, traversée verticalement en son milieu par un fil de crin. Pour viser un signal avec l'alidade, on la pose sur un plan horizontal, et on la dirige de telle sorte qu'en regardant par la fente de la pinnule P, on aperçoive le signal coupé dans le sens vertical par le fil qui traverse la fenêtre de la pinnule P', ou vice versa. Le bord AB de la règle, auquel on donne le nom de ligne de foi, est alors parallèle à la projection horizontale du rayon visuel, et peut être regardé comme se confondant, sans erreur sensible, avec cette projection même, parce que si elle n'est pas dans le plan vertical des deux fils, elle n'en est qu'à une distance négligable par rapport à la distance du signal.

On vérifie une alidade en la retournant bout à bout ; il faut qu'en visant par la fente de la pinnule

P' on aperçoive le signal coupé verticalement par le fil qui traverse la pinnule P, sans que la ligne de foi ait changé de direction.

Quelquefois la pinnule P' est percée d'une fente verticale traversée par un fil, mais la pinnule P n'est percée que de trois œilletons, ou petits trous circulaires placés sur une même verticale ; on vise par l'un de ces œilletons suivant la hauteur du signal. On peut, sans inconvénient, viser un signal plus haut ou plus bas que l'œil, pourvoi que la différence de hauteur ne soit pas trop grande.

On verra plus loin que l'usage de la planchette exige l'emploi d'une alidade indépendante ; mais, dans plusieurs autres instruments, l'alidade entre comme élément essentiel, soit fixe, soit mobile.

8. — Il y a encore un autre élément des instruments servant à mesurer les angles dont il est nécessaire de parler avant d'aller plus loin. La circonférence ou limbe des instruments dont il s'agit n'étant souvent divisée qu'en degrés, l'angle mesuré ne pourrait être obtenu qu'à un quart de degré près environ. Pour rendre la lecture plus précise,

on fait usage d'un vernier circulaire (fig. 4). C'est un arc de cercle, de même rayon que le limbe, qui est porté par l'extrémité du bras mobile qui porte également l'alidade. Voici le principe de ce petit appareil. Soit ab un arc compté sur le bras mobile, dans le même sens que la graduation du limbe, et embrassant 9 divisions de ce limbe. On a divisé cet arc en 10 parties égales. Dès lors, si un trait de ce petit arc, qui constitue le vernier, coïncide avec un trait du limbe, les deux traits précédents du côté du zéro ne coïncident pas ; et le trait du vernier est en avant du trait correspondant du limbe d'une quantité égale à ^ de division. Si l'on considère les deux traits qui précèdent ceuxlà (toujours du côté du zéro), on voit que le trait du vernier est en avance de ^q de division sur le trait correspondant du limbe ; l'avance est de ^ pour le trait précédent; et ainsi de suite. Il en résulte que si le trait du vernier qui est en coïncidence avec un trait du limbe occupe le rang 7i par rapport au zéro, ce zéro lui-même est en avance de ^ de division sur le trait correspondant du limbe. Si donc on veut mesurer l'arc compris entre le zéro du limbe et le zéro du vernier, après avoir compté le nombre entier de divisions comprises, on évaluera la fraction, s'il y en aune, en

cherchant le trait du vernier qui est en coïncidence avec un trait du limbe ; le rang de ce trait par rapport au zéro du vernier donnera le nombre de dixièmes qu'il faut ajouter au nombre entier de divisions. Si, par exemple, le nombre entier de divisions comprises entre les deux zéros est 27, et que le trait du vernier en coïncidence avec un trait du limbe occupe le sixième rang à partir du zéro, on en conclura que la fraction à ajouter à 27 est j^Q ; ce qui donne 27o,6 à Jg de degré près.

Dans les instruments précis, où le limbe est divisé en demi-degrés, le vernier embrasse quelquefois 29 divisions du limbe, et est divisé en 30 parties égales ; dans ce cas les arcs peuvent être lus à ^^^ près d'une division, c'est-à-dire à moins de -^ de demi-degré, ou à moins d'une minute. Mais une pareille précision est rarement nécessaire dans l'arpentage.

9. — Le plus précis des instruments employés dans l'arpentage pour la mesure des angles est le graplK'inètre (fig. 5) ; c'est un grand rapporteur porté sur pieds. Un demi-cercle ALB, établi sur trois pieds auxquels il s'articule au moyen d'un genou à coquilles, peut prendre toutes les inclinaisons par rapport au plan horizontal. Le diamètre AB est formé d'une alidade fixe, dont la ligne de foi

ARPENTAGE

passe par le centre O du demi-cercle. Autour du même centre peut tourner une alidade mobile CD, dont les extrémités, munies de verniers, parcourent la circonférence, ou limbe, du demi-cercle. Le diamètre du graphomètre est le plus souvent deO^jlG ou de 0",12; son limbe est divisé de droite à gauche.

Pour mesurer avec cet instrument un angle dont les côtés sont horizontaux, ou pour réduire à l'horizon l>ngle de deux rayons visuels dirigés vers deux signaux, après avoir installé l'instrument au sommet de l'angle, de manière que le centre du Jimbe soit dans la verticale de ce sommet, ce dont on s'assure à l'aide d'un fil à plomb, on commence par rendre horizontal le plan du limbe, en se servant pour cela du niveau à bulle d'air dont il sera parlé plus loin.

Fi g. 5.

On fait tourner le demi-cercle autour de son «entre de manière à viser le signal de droite à l'aide de l'alidade fixe ; on fait alors tourner l'alidade mobile CD de manière à viser le signal de gauche; l'angle BOD, que l'on peut lire sur le limbe et évaluer à l'aide du vernier, est l'angle qu'il s'agissait de mesurer.

10. — On peut avec un graphomètre mesurer un angle dans son plan, ce qui est utile dans diverses circonstances. On amène pour cela le plan du limbe dans la direction du plan déterminé par les deux rayons visuels ; on reconnaît que cette condition est remplie, lorsque, en faisant tourner l'alilade mobile, on peut viser successivement les deux signaux. On fait alors tourner le plan du limbe •amour de son centre, de manière à viser le signal de droite avec l'alidade fixe; on vise le signal de gauche avec l'alidade mobile, et l'angle se mesure comme ci-dessus.

11. —Il y a plusieurs vérifications à faire subir au graphomètre. Pour vérifier la graduation, on porte sur le limbe une ouverture de compas embrassant, par exemple, 7, 11 ou 1-3 divisions; il

faut qu'en promenant cette ouverture de compas sur la circonférence, elle embrasse toujours le même nombre de divisions. Il faut, en second lieu, qu'en amenant l'alidade mobile sur l'alidade fixe les fils des quatre pinnules soient bien dans un même plan. Pour s'assurer que l'appareil est bien centré, on commence par rendre le limbe horizontal, et l'on dirige l'alidade fixe sur une droite jalonnée; on vise avec l'alidade mobile un point P éloigné, et l'on mesure l'angle aigu que fait le rayon visuel avec la droite Jalonnée. On fait tourner alors le limbe de manière à amener l'alidade fixe dans la direction du point P, et l'on amène l'alidade mobile dans la direction de la droite jalonnée, mais en sens contraire ; on mesure l'angle obtus adjacent à celui qui a été mesuré d'abord; il faut que la somme des deux angles ainsi mesurés ne diffère de 1 80° que d'un dixième ou d'un vingtième de degré, suivant que le limbe est divisé en degrés ou en demidegrés.

12. Troisième leçon. — Après le graphomètre, l'instrument le plus fréquemment employé dans l'arpentage pour la mesure des angles est la boussole. Cet instrument est fondé sur la propriété qu'a l'aiguille aimantée , librement suspendue par son centre sur un pivot vertical, de se diriger constamment, non pas vers le nord comme on le dit souvent, mais vers un point de l'horizon qui, en ce moment, et à Paris, est situé à environ 17" 1/2 ouest du point nord. On sait qu'on donne ordinairement à l'aiguille la forme d'un losange allongé ; le plan vertical qui passe par la plus grande diagonale indique la direction du méridien magnétique. L'angle qu'une direction quelconque fait avec ce méridien est l'azimut magnétique de cette direction. Pour éviter toute ambiguïté, on compte les azimuts depuis zéro jusqu'à 360°, toujours dans le même sens à partir du nord, savoir : Nord, Ouest, Sud, Est, Nord. La pointe de l'aiguille qui se dirige constamment vers le pôle magnétique est ordinairement colorée en bleu.

1.3. — La partie principale de la boussole est une aiguille aimantée AB (fig. 6), placée au fond d'une boite carrée et reposant par une chape d'agate sur un pivot vertical en acier. Ses extrémités parcourent un limbe divisé en degrés dans le sens N., E., S., 0., N., c'est-à-dire dans un sens inverse de celui dans lequel se comptent les azimuts magnétiques ; on verra bientôt pourquoi. Les diamètres du limbe qui sont parallèles aux côtés de la boîte répondent: l'un aux divisions 0 et iSO», c'est la ligne N.-S. ; l'autre aux divisions 90° et 270°, c'est la ligne O.-E. La boîte est recouverte d'une glace placée très près de l'aiguille, de sorte que, lorsqu'on retourne la boîte sens dessus dessous, l'aiguille ne tombe pas de son pivot, Un levier l, que l'on manœuvre à l'aide d'un bouton V, sert à, appliquer l'aiguille contre la glace, quand on veut arrêter ses oscillations. Un couvercle à coulisse recouvre la glace quand on ne se sert pas de l'instrument.

La boîte repose par son centre sur un pied à trois branches au moyen d'un genou à coquilles, en sorte que le limbe peut être rendu parfaitement horizontal, ce dont on s'assure à l'aide des deux niveaux à bulle d'air nn et n'n' placés rectangulairement dans la boîte ; le limbe est horizontal quand la bulle de chacun des niveaux est exactement placée entre ses repères. La boîte peut en outre tourner librement autour d'un axe vertical passant par son centre. Sur le côté de la boîte est établie une lunette LL', mobile autour d'un axe horizontal perpendiculaire à la paroi, et dont l'axe optique se meut par conséquent dans un plan vertical parallèle à cette paroi et à la ligne 0 — 180° ou N.-S., que l'on appelle la ligne de foi. Quand on ne doit opérer que sur de petites distances, la lunette est souvent remplacée par un

ARPENTAGE

simple tube en bois, h section carrée, dont les bouts sont percés de fenêtres comme les pinnules d'une alidade.

Quand le limbe est hori^ontal, le plan vertical dans lequel se meut l'axe optique de la lunette, et le plan vertical de la ligne de foi, qui sont parallèles, font avec le plan vertical mené par la grande diagonale de l'aiguille un angle qui est précisément l'azimut magaiétique de la direction

dans laquelle on vise ; et cet angle a pour mesure l'arc compris sur le limbe entre la pointe bleue de l'aiguille et le point zéro ou N. — Ainsi, dans la figure 1, si le point B est l'extrémité de la pointe bleue de l'aiguille, l'azimut de la direction visée par la lunette LL' a pour mesure l'arc BEiV.

14. — Il est facile de comprendre, d'après ce qui précède, comment on peut mesurer un angle avec la boussole, par exemple l'angle formé par les rayons visuels menés d'un même point du terrain vers deux jalons ou deux signaux quelconques. On établit l'instrument au sommet de l'angle à mesurer, de manière que le centre du limbe soit à peu près sur la verticale de ce sommet, et que le limbe soit horizontal. On fait tourner la boîte autour de son axe vertical jusqu'à ce que, ayant la lunette à sa droite, on puisse avec cette lunette viser le signal de droite ; et on lit sur le limbe l'arc compris entre la pointe bleue de l'aiguille et le point N. On fait de nouveau tourner la boîte jusqu'à ce que, ayant toujours la lunette à droite, on puisse avec cette lunette viser le signal de gauche ; et on lit de nouveau sur le limbe l'arc compris entre la pointe bleue de l'aiguille et le point N. La différence des deux lectures est l'expression de l'angle qu'il s'agissait de mesurer. — Il faut bien remarquer que

ce n'est pas l'angle des deux rayons visuels euxmêmes que l'on mesure ainsi, mais l'angle de leurs projections horizontales, ou, suivant l'expression consacrée, cet angle réduit à l'horizon; or c'est précisément cet angle ainsi réduit dont on a besoin dans le lever des plans. — Les angles mesurés à la boussole ne peuvent jamais être obtenus avec une grande approximation ; avec le plus grand soin possible on ne peut pas répondre de ne pas commettre une erreur de | ou même { de degré. Cela tient d'une part aux oscillations continuelles de l'aiguille ; on peut bien en diminuer peu à peu l'amplitude en agissant sur le levier / pour arrêter l'aiguille un instant ; mais, à moins de perdre un temps considérable, on est toujours forcé on définitive de juger de la position finale de l'aiguille par la moyenne de ses excursions à droite et à gauche, ce qui laisse toujours quelque incertitude. De plus, la déclinaison de l'aiguille aimantée est sujette à des variations diurnes qui peuvent aller jusqu'à | de degré dans la belle saison, ce qui constitue une seconde cause d'incertitude. Aussi la boussole n'est-elle employée que dans les opérations de détail qui n'exigent pas une précision rigoureuse ; encore faut-il avoir soin, dans ces opérations, d'éviter la proximité des masses de fer ou de fonte qui pourraient dévier l'aiguille et introduire une nouvelle cause d'erreur.

15. — Avant de se servir dune boussole il est nécessaire de la vérifier.

1° La première chose à faire est de voir si l'axe de figure de l'aiguille, c'est-à-dire la grande diagonale du losange, coïncide avec l'axe magnétique. Pour s'en assurer, après avoir rendu le limbe horizontal, on vise un point éloigné, et on lit sur le limbe l'azimut de la direction du rayon visuel ainsi mené. On enlève la glace qui recouvre le limbe et l'on retourne l'aiguille sur elle-même, de manière qu'elle repose sur son pivot par l'autre côté de sa chape; on vise de nouveau le point déjà visé, et l'on fait une seconde lecture. Si les deux arcs obtenus sont égaux, l'axe de figure et l'axe magnétique coïncident. S'il y a une différence, elle exprime le double d'une erreur de pointé qui se reproduira à chaque opération. On pourrait en tenir compte; mais il sera préférable de faire corriger le défaut de l'aiguille.

2° Il faut s'assurer ensuite que l'axe optique de la lunette, quand elle est horizontale-, est bien parallèle à la ligne de foi NS. Pour cela, on vise ua

objet éloigné X (fig. 7) ; on fait faire à la boUc u:v demi-tour complet autour de son axe vertical, et en même temps on fait faire également un demi-tour

ARPENTAGE

ARPENTAGIS

à la lunette autour de son axe horizontal ; puis on Nise de nouveau le même point X'(fig. 8); les deux azimuts obtenus devront différer exactement de 180», car les droites LX et LX' dans les deux figures peuvent être regardées comme parallèles, à cause de l'éloignement du point visé.

3° Il faut s'assurer que le centre de rotation de laiguille coïncide avec le centre du limbe. Il suffit pour cela de mesurer deux angles adjacents ; leur somme doit donner exactement 180° ; ce qui n'aurait pas lieu si le iimbe était mal centré.

4" Il faut encore vérifier si le mouvement de rotation de la boite s'exécute bien autour d'un axe perpendiculaire au limbe. Il suffit pour cela, après avoir rendu le limbe horizontal, de faire tourner la boite; il faut que, dans ce mouvement, les

bulles des deux niveaux ne quittent point leurs re pères.

ô" Enfin il faut vérifier la graduation du limbe. Il suffit, pour cela, do prendre avec une ouverture de compas l'intervalle de deux divisions éloignées de 7, 13 degrés, ou en général d'un nombre premier de divisions; il faut qu'en promenant cette ouverture de compas sur le bord du limbe, elle embrasse toujours le même nombre de degrés.

IG. — La planchette (fig. 9), dont nous avons maintenant à nous occuper, ne sert pas. à proprement parler, à mesurer les angles que forment les rayons visuels menés à divers signaux, mais bien à faire des angles égaux à ceux-ci. Sa partie principale est une planchette bien dressée PP, et solidement encadrée comme une planche à dessin.

Fit:. 10

Elle a 60 centim. de long sur 50 à 55 de large. Ses plus longs côtés sont munis de rouleaux r,r, pouvant tourner dans des collets fixés à la planchette; ils servent à tendre la feuille sur laquelle on doit opérer.

La planchette porte er. dessous deux traverses longitudinales TT le long desquels peut glisser une tablette carrée AA qui tient au pied de l'appareil : on peut ainsi enlever et remettre à volonté la planchette en la faisant glisser parallèlement aux traverses.

La pièce carrée AA est liée au plateau MM, qui termine le support à trois branches, à l'aide dune articulation qui porte le nom de genou à la Cugnot. Elle se compose de deux cylindres égaux C et C, dont les axes se coupent à angle droit. Le système de la planchette peut tourner autour de l'axe du cylindre C, et ce cylindre lui-même peut tourner autour de l'axe du cylindre C ; la planchette peut prendre auisi toutes les directions ; les écrous V et V servent à la fixer dans celle

qu'on veut lui donner, c'est-à-dire dans la position horizontale. On vérifie celle-ci à l'aide du niveau h bulle d'air, dont il sera question plus loin.

17. — La planchette étant ctabhe horizontalement au-dessus du sommet de l'angle à observer, on marque sur la feuille, en s'aidant d'un fil à plomb, le point situé dans la verticale de son sommet, ou très près de cette verticale. On plante en ce point une aiguille. On se sert alors d'une alidade, dont on appuie l'arête contre l'aiguille, on vise l'un des deux signaux qui déterminent l'angle à mesurer, et l'on se sert de l'arête de l'alidade comme règle pour tracer sur la feuille la projection horizontale de ce premier rayon visuel. On opère de même pour le second; et l'on a, sur la feuille, l'angle des deux rayons visuels réduit à l'horizon. On peut alors ou mesurer cet angle au rapporteur, ou faire un angle égal sur une autre feuille à l'aide des procédés géométriques connus.

On verra à l'article Lever des plans l'usage de la planchette dans les opérations de ce genra.

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18. — L'instrument le plus fréquemment employé dans l'arpentage est ïéquerre d'arpenteur, qui sert à faire des angles droits, c'est-à-dire à déterminer une direction perpendiculaire à une droite déjà tracée sur le terrain. Cet instrument (fig. 10) se compose d'une boite cylindrique de 8 à 1 0 centimètres de haut sur 5 à 6 de diamètre, percée de 4 fenêtres verticales répondant à deux plans perpendiculaires passant par son axe. La disposition de ces fenêtres est celle des pinnules d'une alidade : deux fenêtres opposées déterminent une direction, et les deux autres une direction perpendiculaire à la première. — Indépendamment de ces 4 fenêtres, il y en a 4 autres qui répondent aux plans bissecteurs des angles formés par les plans des premières; on a ainsi deux nouvelles lignes de visée perpendiculaires entre elles, et faisant avec les premières des angles de 45°. Elles se distinguent des premières par la forme des fenêtres, qui ne présentent qu'une fente verticale terminée en haut et en bas par un œilleton.

La boîte se termine intérieurement par une douille qui peut s'adapter à un bâton ferré, qu'on appelle le bâton d'équerre, et que l'on plante verticalement dans le sol quand on veut se servir de l'appareil.

19. — Pour élever en un point A d'une droite jalonnée AB une perpendiculaire à cette droite, on plante le bâton d'équerre au point A, on fait tourner l'équerre autour de son axe jusqu'à ce que, en regardant derrière le point A par deux fenêtres opposées, on aperçoive le point B coupé par les fils réunis des pinnules. Si l'on regarde alors par les deux autres fenêtres opposées, qui déterminent une ligne de visée perpendiculaire, on pourra faire planter un jalon C dans cette direction, et l'angle BAC sera droit.

Pour abaisser, au contraire, d'un point donné M une perpendiculaire sur une droite jalonnée AB, on place l'équerre sur cette ligne, de manière qu'en regardant par deux fenêtres opposées, dans un sens ou dans l'autre, on aperçoive un des jalons qui déterminent la droite ; en transportant alors l'équerre sur cette droite, sans changer sa direction, on arrivera à une position dans laquelle, en regardant par les deux fenêtres qui déterminent la direction perpendiculaire, onaperçoivele point M. Le point où se trouvera alors l'équerre sera le pied de la perpendiculaire demandée.

1Q. — Pour vérifier l'équerre, on détermine avec son aide, sur le terrain, deux directions perpendiculaires AB, AC, le pied de l'équerre étant au point A. Il faut alors qu'en faisant tourner l'équerre jusqu'à ce que l'une des directions à 45" vienne passer par le point B, l'autre vienne passer par le point C.